专题07 数列（新题速递，22题）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题07 数列（新题速递，22题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 2．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 3．（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 4．（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 5．（2024·上海徐汇·一模）已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 6．（2024·上海青浦·一模）对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·上海虹口·一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 8．（2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 9．（2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 10．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 11．（2024·上海崇明·一模）已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 二、填空题 12．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 13．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 14．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 15．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝ ． 16．（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前n项和，若则的值为 ． 17．（2024·上海嘉定·一模）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 18．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 19．（2024·上海青浦·一模）已知数列满足，则 . 三、解答题 20．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 21．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 22．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列（新题速递，22题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. 2．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据及数列是无穷数列对各选项进行判断. 【详解】当时，. 当时，，所以， 两式相减得：，因为，所以. 所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且. 所以. 同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 所以. 若，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确； 若，这与矛盾，故B错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意及数列是无穷数列这两个条件的应用. 3．（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【分析】给出①的反例，然后结合可控数列的含义以及等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案. 【详解】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于②的判断，解答时要利用等比数列的性质并结合不等式恒成立进行求解. 4．（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【分析】由可知的边为定值，由，，可知为定值，结合双曲线定义可知动点在以，为焦点的双曲线上，再根据面积公式可得单调性. 【详解】    由已知，即的边为定值，不妨设，为定点，如图所示， 又，， 则， 即为定值， 又， 所以为定值， 即， 所以动点到定点，的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义， 所以动点的轨迹为以，为焦点的双曲线， 如图所示， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列为递增数列， 所以当增大时，变大，即变大， 此时向远离处运动，即变大， 所以变大， 即数列为严格增数列，且，均为严格增数列， 故选：B. 5．（2024·上海徐汇·一模）已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 【答案】A 【分析】根据题意，对于①，设等差数列的公差为，由等差数列的性质可得可得，即可得①正确；对于②，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式分析，可得，可得②不正确，综合即可得答案. 【详解】对于①，设等差数列的公差为，则， 代入 可得 ，即可得到，①正确； 对于②，设等比数列的公比为，则， 代入， 可得 要使其为常数，化简后会发现很难对于任意的都满足为常数（因为公比）， 故不存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列. ②不正确. 故选：A 6．（2024·上海青浦·一模）对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特例可知①推不出②，根据反函数可知满足②能推出①，结合充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】取，存在，使得成立， 此时由函数定义知，不存在函数，使得， 当存在函数，使得 成立时， 由于与为一一对应关系，所以就可以写成的反函数， 即可以用表示，即存在函数， 所以存在， 综上可知，①是②的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对于新概念问题需要去理解，本题理解了之后，可以根据函数的概念去判断 ①②之间的推出关系得解. 7．（2024·上海虹口·一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象：    可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 8．（2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可判断①，根据等比数列为常数列时，即可判断②. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，若，，则显然不成立， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B 9．（2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】对于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得数列中的项的取值范围，可得其正误； 对于③④，根据递推公式，利用赋值法求得当数列为常数列时所取的数值，进而求得首项，结合举例，可得答案. 【详解】对于①，当时，，，解得， 当时，恒成立，故①错误； 对于②，当时，，，解得或， 易知，由①可知，当时，数列单调递增，， 所以一定存在，当时，，故②正确； 对于③，当时，，令，可得，解得或， 令，解得或， 当时，可得当时，，故③正确； 对于④，当时，，令，则，解得或， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 当时，当时，，故④错误. 故选：B. 10．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【答案】C 【分析】由条件易知函数在I上严格递减，构造，因数列的各项均不相同，由的大小比较，利用函数单调性可得的大小关系，即得结论. 【详解】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减， 由，，因数列的各项均不相同，且， 若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减； 若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增. 综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题. 解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函数单调性得出偶数项的大小关系. 11．（2024·上海崇明·一模）已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可. 【详解】对于①：因为数列、均为等差数列， 设，则， 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 若，可知的符号不变，不满足交错数列； 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确； 对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为 不妨假设，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 同理若，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 二、填空题 12．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 【答案】36 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，进而求出其前8项的和. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：36 13．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 14．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 【答案】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 15．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝ ． 【答案】 【分析】根据对称轴在数轴上的位置分类讨论，结合二次函数的性质研究最值，进而求解. 【详解】由题意知， 当，即时，根据二次函数的性质可知，数列在上单调递增， 此时的最小值为，故， 可得，化简得， 因为，所以方程无解，故不符合题意； 当，即时，根据二次函数的性质可知， 的最小值为，故， 即，解得； 综上所述，. 故答案为： 16．（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前n项和，若则的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题得即， 所以. 故答案为：. 17．（2024·上海嘉定·一模）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【详解】数列的前项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 18．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 19．（2024·上海青浦·一模）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】由所给等式得，两式相减可求得的通项公式，代入通项即可得解. 【详解】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 20．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算两颗骰子点数相等的概率即可得到两颗骰子点数不同的概率. （2）设掷一次两颗骰子的点数和为，则，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得结果. （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得甲第轮获胜的概率为，由无穷等比数列求和公式计算可得结果. 【详解】（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为            所以两颗骰子点数不同的概率为. （2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以.                另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； .               所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 .          若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；     由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；               于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 21．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 22．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$