专题10 复数（新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题10 复数（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 二、填空题 2．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 3．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 4．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 5．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为 . 6．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 7．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 9．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 10．（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 11．（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 12．（2024·上海虹口·一模）已知非零复数满足，则的虚部为 ． 13．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 14．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 复数（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 二、填空题 2．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 【答案】10 【分析】由一元二次方程，复数根互为共轭复数根，一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），因此圆心在轴上，据此分类讨论可求得结论. 【详解】 ， 对比系数可得，， ，， 复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点 情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，， ，， ， 类似计算可得， ，， 因为， 所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个， 情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，，，， 计算可得，， ，， 因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性， 从而可得，此时集合的个数为5个， 综上：满足条件的不同的个数为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：重点在于一元二次方程，复数根互为共轭复数根，进而确定一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，从而4个根两两互为共轭复数根，进而确定圆心，从而分类讨论求解. 4．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可； 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 5．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解法一：明确集合A，B的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围. 解法二：先证明不属于的复数，恰好是那些区间上的实数，再利用该结论得到取值范围. 【详解】解法一：由于，设， 则 ， 设z对应点，则， 所以，其中， 当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集， 即平面上除去线段的点的集合，其中， 集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a， 如果，则该圆与线段无公共点， 结合图形可知的取值范围为； 解法二： 先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 下设是复数. ①情况一：不是实数，也不是纯虚数. 设，，并令，. 则对，有，即. 假设，则，矛盾，所以，从而. 又因为， 所以. 此时，假设：由于， 故. 同理，根据可以得到. 对和相加和相减， 就能得到，. 若假设，则，从而或， 这和情况一的定义矛盾，所以. 若假设，则，从而，这和情况一的定义矛盾，所以. 这就得到，所以，所以， 即. 这就得到. 所以或，无论哪种情况都能得到是实数，故可设. 若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾. 若，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾. 故前面的假设不成立，所以结合可知， 一定存在使得，结合可知. ②情况二：是纯虚数. 此时设，则满足， 且 . 故. ③情况三：是实数，且. 此时满足， 且，故. ④情况四：是实数，且. 此时满足， 且，故. ⑤情况五：是实数，且. 假设，则存在复数使得，且，设. 则. 从而，，而由可知， 所以，故. 这就得到，矛盾. 所以假设不成立，从而. 综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于中包含的每个实数都不属于. 一方面，若中包含一个实数，满足. 则，，从而. 另一方面，若，则实数满足，. 故中包含一个实数，满足. 这就说明，中包含一个实数满足的充要条件是. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对复数知识和三角恒等变换的使用. 6．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 7．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 【答案】 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 9．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 10．（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 【答案】四 【分析】求出复数的共轭复数即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以复数对应的点在第四象限. 故答案为：四 11．（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 12．（2024·上海虹口·一模）已知非零复数满足，则的虚部为 ． 【答案】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 13．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 14．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$