专题11 排列组合与二项式（新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题11 排列组合与二项式（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海金山·期末）已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（   ）个． A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【分析】设，分到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所有点，即可得答案. 【详解】设，情况如下： ①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且， 由具有对称性，不妨讨论，， 满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上， 即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，如图两点， 同理，，和，也各有2个满足题意的点，故共6个； ②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且， 若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和（舍）； 若到和中的两个距离一样，由具有对称性， 不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图， 同理，和也各有1个满足题意的点，共4个； 综上，共有10个满足题意的点. 故选：D 【点睛】关键点点睛：依据题意将问题分成到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且两类为关键. 二、填空题 2．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】5 【分析】写出展开式的通项，令的指数为即可； 【详解】由题意可知：，令，所以常数项为. 故答案为： 3．（2024·上海徐汇·一模）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 【答案】5 【分析】令，解出即可. 【详解】因为，且各项系数和为32， 令，则，解得， 所以正整数的值为5. 故答案为：5. 4．（2024·上海宝山·一模）在的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式通项，即可直接求解. 【详解】由题知，设展开式中通项为， 令，则，. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海金山·期末）的二项展开式中，项的系数为 ． 【答案】135 【分析】写出二项式的通项，取，即得项的系数. 【详解】的通项为 使，解得，即得项的系数为. 故答案为：135. 6．（2024·上海虹口·一模）在的二项展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【分析】先求出的通项，再令，代入计算可得答案. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以. 故答案为：. 7．（2024·上海长宁·一模）的二项展开式中的常数项是 ． 【答案】 【分析】由题可得展开式的第项，令指数为0，可得常数项对应，即可得答案. 【详解】由题的二项展开式的第项为. 令，则常数项为. 故答案为：. 8．（2024·上海崇明·一模）的二项展开式中的系数为 ． 【答案】35 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以二项展开式中的系数为. 故答案为： 9．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 10．（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】通过古典概率的计算公式计算，，由独立得，解方程即可. 【详解】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 11．（2024·上海青浦·一模）的展开式中， 项的系数为 . 【答案】 【分析】写出展开式的通项，利用通项求出项的系数. 【详解】展开式的通项为，， 所以含的项为，即项的系数为. 故答案为： 12．（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 【答案】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 13．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解. 【详解】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 14．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 【答案】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 15．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 【答案】14 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解. 【详解】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给取3个自变量，则对应1个自变量，有种， 给取2个自变量，则对应2个自变量，有种， 给取1个自变量，则对应3个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式， 故答案为：14 三、解答题 16．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a、b的值； (2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1)，； (2)； (3)平均数为88，方差为19. 【分析】（1）根据频率直方图，应用频率和为1及等比中项性质列方程求参数； （2）根据分层抽样的等比例性质有来自的分别为2人、5人，结合组合数及古典概型的概率求法求概率； （3）由平均数、方差公式求剔除数据后的平均数和方差. 【详解】（1）由题设，且， 所以且，故， 所以，. （2）由题图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. （3）由题设得，， 假设剔除的两个为，则平均值为， 此时方差为. 17．（24-25高三上·上海黄浦·期末）A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？ (2)若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率； (3)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01） 【答案】(1)男、女生各有名 (2) (3) 【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数； （2）利用古典概型计算公式可得结果； （3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果. 【详解】（1）根据题意可知，抽样比为， 所以该校高一学生中男生有名， 女生有名； （2）从这66名学生中随机抽取两名共有种， 两名都是男生的抽法共有种， 所以这两名都是男生的概率为 （3）根据题意可设正确的31个数据为， 易知，可得； 所以原始数据平均值为； 由方差定义可得， 因此，可得； 原始数据的方差为 即原始数据的方差为. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 排列组合与二项式（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海金山·期末）已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（   ）个． A．3 B．6 C．7 D．10 二、填空题 2．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 3．（2024·上海徐汇·一模）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 4．（2024·上海宝山·一模）在的展开式中的系数为 . 5．（24-25高三上·上海金山·期末）的二项展开式中，项的系数为 ． 6．（2024·上海虹口·一模）在的二项展开式中，项的系数为 ． 7．（2024·上海长宁·一模）的二项展开式中的常数项是 ． 8．（2024·上海崇明·一模）的二项展开式中的系数为 ． 9．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 10．（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 11．（2024·上海青浦·一模）的展开式中， 项的系数为 . 12．（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 13．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 14．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 15．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 三、解答题 16．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a、b的值； (2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 17．（24-25高三上·上海黄浦·期末）A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？ (2)若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率； (3)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01） 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$