专题12 代数与统计综合训练-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题12 代数与统计综合训练 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（2024·辽宁·中考真题）越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大型产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·成都·期中）如图是某家新华书店以下5类书籍：小说、儿童读物、专业书、工具书、摄影绘画集，某月的销量情况的扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（　　） A．扇形统计图能反映出该书店本月小说类比工具书类销售出的书籍多 B．小说类和儿童读物类书籍本月的销量占比之和为总销量的一半 C．摄影绘画集类书籍本月的销量所对应的扇形圆心角的度数为 D．专业书类和摄影绘画集类书籍本月的销量占比相同 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列化简过程，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·云南昆明·期末）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个组成，第③个图案由10个组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·模拟预测）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学进行兴趣爱好调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示的两幅统计图．据图可知学校这次调查共抽取了 名学生． 7．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）2023年4月，国务院办公厅发布了《关于进一步释放消费潜力促进消费持续恢复的意见》要求促进消费，恢复经济．某品牌的空气净化器每台的标价为900元，双十一期间让利促销，商场在标价的九折的基础上再让利40元出售，此时仍可获利10%，则该品牌的空气净化器每台的进价为 元 8．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 9．（23-24七年级上·四川成都·期末）计算： (1)；(2)． 10．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： (1) (2) (3)． 11．（23-24七年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 12．（23-24七年级上·河南郑州·期末）临近春节，小龙一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后继续向东走了6千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向西走了21千米到达外公家，傍晚返回，在返程中点处有一加油站，给车加油后，返回家中． (1)若以小龙家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示3千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来；(2)求加油站与超市间的距离； (3)若轿车每100千米耗油8升，求小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期中）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 (1)这次抽取了_____名学生的竞赛成绩进行统计，其中____，_____；(2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）当时，代数式的值为，则当时，的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆南岸·模拟预测）按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需，，，，，，七道工序．施工要求如下： ①先完成工序，，，再完成工序，，，最后完成工序； ②完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ③完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 24 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成． （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 4．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 5．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 6．（23-24七年级·重庆渝中·培优）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 7．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 8．（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）列方程解应用题： 今年暑假期间，黄冈市某校区对校园进行了整改，整个校园面貌焕然一新． (1)7月份甲工程队先接到了铺设地砖的施工任务，铺设了后，为了赶工期，提高了铺设速度，又施工4天后，完成全部任务，求甲工程队提速后每天铺设地砖多少？ (2)8月份增加乙工程队与甲工程队同时施工．若甲工程队按（1）中提速后的施工速度进行施工，则两队需要13天完工．为了不影响正常开学，实际施工时，甲工程队的施工速度提高了，乙工程队的施工速度提高了，结果11天完工，求乙工程队原计划每天铺设地砖多少？ 9．（23-24七年级上·广东·期末）【阅读】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉．例如：二次多项式，二次多项式经过处理器处理得到一次二项式． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器处理得到一次二项式，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，则 ；（2）若，求关于的方程的解； 【延伸】（3）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的关于的一次二项式，求关于的方程的解． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为a米，计算： (1)窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计）（用含a的式子表示，结果保留） (2)窗户内外框的总长是多少？（用含a的式子表示，结果保留） (3)某公司需要购进扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙厂商 元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？（取3） 11．（23-24七年级上·江苏·期末）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；(2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y；(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 12．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）：①代数式的最小值是________；②代数式的最小值是________；③代数式的最小值是________． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如： 等，下列说法： ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．其中正确说法有 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 4．（24-25七年级上·山东德州·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则_____；（2）如果，求的值． 【拓展探索】（3）如果，．求的值． 5．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______；(4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 6．（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题：(1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 7．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如：①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”．类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果：①____；②_______； (2)计算：(3)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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【详解】解：A．扇形统计图中，小说类比工具书类占比大，能反映出该书店本月小说类比工具书类销售出的书籍多，此选项正确； B．小说类和儿童读物类书籍本月的销量占比之和是，为总销量的一半，此选项正确； C．摄影绘画类书籍本月的销量占比为，所以摄影绘画类书籍本月的销量所对应的扇形圆心角的度数为，此选项错误； D．专业书类和摄影绘画类书籍本月的销量占比相同，为，此选项正确；故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列化简过程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据整式的加减运算法则计算即可得出答案，解题的关键是熟记合并同类项的法则． 【详解】、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，原选项计算不正确，不符合题意； 、，原选项计算不正确，不符合题意； 、，原选项计算正确，不符合题意；故选：． 5．（23-24七年级上·云南昆明·期末）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个组成，第③个图案由10个组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握探究规律的方法．探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：①中的个数，②中的个数③中的个数，， 第个图案中的个数，故选：C． 6．（2024·云南·模拟预测）某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学进行兴趣爱好调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示的两幅统计图．据图可知学校这次调查共抽取了 名学生． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，共抽取了（名），故答案为：． 7．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）2023年4月，国务院办公厅发布了《关于进一步释放消费潜力促进消费持续恢复的意见》要求促进消费，恢复经济．某品牌的空气净化器每台的标价为900元，双十一期间让利促销，商场在标价的九折的基础上再让利40元出售，此时仍可获利10%，则该品牌的空气净化器每台的进价为 元 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该品牌空气净化器的进价为每台x元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出该品牌空气净化器的进价． 【详解】解：设该品牌空气净化器的进价为每台x元， 依题意得：，解得：．故答案为：． 8．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查倒数数，绝对值的意义，科学记数法和有理数乘方，运用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 利用有理数的分类可对①进行判断；根据绝对值的意义对②进行判断；根据倒数的意义对③进行判断；根据乘方的定义对④进行判断；利用科学记数法可对⑤进行判断；根据绝对值的意义可得⑥进行判断． 【详解】解：①整数和分数统称为有理数是正确的；∴原说法成立，①正确； ②倒数等于它本身的数只有，∴②正确；③的底数为2，∴③错误； ④20200精确到千位为，∴④错误； ⑤∵，∴a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当a，b，c都是正数，即时，则； 当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则， 综上所述，或，∴⑤正确．故答案为：①②⑤． 9．（23-24七年级上·四川成都·期末）计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相应的运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先算乘方和绝对值里面的减法运算，然后将除法转化为乘法同时计算绝对值，接着进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）先算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： (1) (2) (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题的关键； （1）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 即； （2）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 即； （3）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 即． 11．（23-24七年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)8(2)(3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值． （1）根据有理数的加减混合运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序进行计算即可； （3）先将括号去掉，再合并同类项，最后将x和y的值进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 当，时，原式． 12．（23-24七年级上·河南郑州·期末）临近春节，小龙一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后继续向东走了6千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向西走了21千米到达外公家，傍晚返回，在返程中点处有一加油站，给车加油后，返回家中． (1)若以小龙家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示3千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来；(2)求加油站与超市间的距离； (3)若轿车每100千米耗油8升，求小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量． 【答案】(1)作图见解析(2)9千米(3)3.36升 【分析】本题考查画数轴表示位置、正负数意义及有理数混合运算的应用，读懂题意，准确画出数轴，并灵活掌握有理数加减乘法运算是解决问题的关键． （1）根据题意，画出数轴，由题中描述即可在数轴上标出超市、爷爷家、外公家、加油站的位； （2）由（1）中数轴上加油站与超市的位置得到距离的单位长度，再由1个单位长度表示3千米，计算即可得到答案；（3）由题意，利用有理数加法运算法则得到小龙一家走的路程，再由乘法运算即可得到答案． 【详解】（1）解：画数轴，将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来，如图所示： （2）解：由（1）中数轴可知加油站与超市间的单位长度为， 用1个单位长度表示3千米，（千米），答：加油站与超市间的距离为9千米； （3）解：小龙一家走的路程：（千米），共耗油：（升）， 答：小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量为3.36升． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期中）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 (1)这次抽取了_____名学生的竞赛成绩进行统计，其中____，_____；(2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】(1)200，70；(2)见详解(3)420人 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，读懂频数分布直方图和频数统计表是解题的关键．（1）用第一个分数段的频数除以它的频率可得到调查的总人数，然后用总人数乘以得到m的值，用24除以总人数可得到n的值；（2）利用表格可补全频数分布直方图； （3）估计样本估计总体，用1500乘以前面两分数段的频率之和可估计出该校安全意识不强的学生数． 【详解】（1）解：抽取的总人数为：人， ；故答案为：200，70；； （2）解：补全图形如下： （3）解：，所以该校安全意识不强的学生约有420人． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）当时，代数式的值为，则当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键． 由题意知，，即，根据当时，，代值求解即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴，∴， 当时，，故选：B． 2．（2024·重庆南岸·模拟预测）按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键． 【详解】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数，…， 第n个图案中黑色小正方形地砖的块数， ∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数．故选：C． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需，，，，，，七道工序．施工要求如下： ①先完成工序，，，再完成工序，，，最后完成工序； ②完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ③完成工序后方可进行工序；工序可与工序，同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 24 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成． （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 85 29 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据施工要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，分析缩短的各个工序天数情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：28天，先完成工序，，同时完成工序，则完成工序，，所需最少时间为：天， 完成工序所需最少时间为：24天，∴该施工任务最少完成时间为：（天）， 即在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少85天完成；故答案为：85； （2）∵工序，，每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，∴工序增加的投入最少，先缩短工序2天，使工序和工序，之和相同，增加的投入万元；之后只能工序，，一起缩短才行，此时工序增加的投入最少，工序最多缩短天，使工序，总时间与完成工序时间一致，增加的投入万元；最后一天同时缩短，一天，增加的投入万元； ∴所增加的投入最少是万元．故答案为：29． 4．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意，解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 5．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 【答案】 12 22 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于23，可得出三个大圆圈上的数字之和为63，结合9个小圆圈的数字之和为45，可求出，由，结合9个小圆圈上的数字的平方和为285，可得出，再代入，即可求出的值． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，， ∴三个大圆圈上的数字之和为， ∵各小圆圈上的数字之和为， ∴，∴； ∵， ∴，∴ ∴，∴∴．故答案为∶12，22． 6．（23-24七年级·重庆渝中·培优）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则，从而． 若，则，从而． 因此，．故答案为：2． 7．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，代数式求值，根据给出的数字，概括出，进而求出的值，求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴，∴， ∴；故答案为：． 8．（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）列方程解应用题： 今年暑假期间，黄冈市某校区对校园进行了整改，整个校园面貌焕然一新． (1)7月份甲工程队先接到了铺设地砖的施工任务，铺设了后，为了赶工期，提高了铺设速度，又施工4天后，完成全部任务，求甲工程队提速后每天铺设地砖多少？ (2)8月份增加乙工程队与甲工程队同时施工．若甲工程队按（1）中提速后的施工速度进行施工，则两队需要13天完工．为了不影响正常开学，实际施工时，甲工程队的施工速度提高了，乙工程队的施工速度提高了，结果11天完工，求乙工程队原计划每天铺设地砖多少？ 【答案】(1)甲工程队提速后每天铺设地砖； (2)乙工程队原计划每天铺设地砖 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． （1）用剩余的工作量除以4即可求出甲工程队提速后的工作效率； （2）设乙工程队原计划每天铺设地砖，根据计划和实际所干的工作量相等列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得：（/天）， 答：甲工程队提速后每天铺设地砖； （2）设乙工程队原计划每天铺设地砖， 根据题意的： 解得：， 答：乙工程队原计划每天铺设地砖． 9．（23-24七年级上·广东·期末）【阅读】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉．例如：二次多项式，二次多项式经过处理器处理得到一次二项式． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器处理得到一次二项式，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，则 ；（2）若，求关于的方程的解； 【延伸】（3）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的关于的一次二项式，求关于的方程的解． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了新定义运算、多项式的定义以及解一元一次方程等知识，根据题意列出一次多项式是解题的关键．（1）根据题意进行计算求解即可；（2）根据题意，得出，进而可得关于的方程为，解方程即可获得答案；（3）根据题意，得出，进而可得关于的方程为，结合题意可知，进而解方程即可获得答案． 【详解】解：（1）若，则．故答案为：； （2）∵，∴， ∴关于的方程可整理为，解得； （3）∵，∴， ∴关于的方程可整理为，∴， ∵，∴，∴． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为a米，计算： (1)窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计）（用含a的式子表示，结果保留） (2)窗户内外框的总长是多少？（用含a的式子表示，结果保留） (3)某公司需要购进扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙厂商 元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？（取3） 【答案】(1)平方米(2)米(3)甲公司购买窗户合算 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）按照正方形与半圆的面积的和即为窗框的面积；（2）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断． 【详解】（1）小正方形的边长为a米， 半圆的半径为a米，半圆的面积为平方米， 下方4个小正方形的面积为平方米，窗户的总面积是平方米． （2）如图可知， 窗户内外框的总长是米． （3）当时，扇窗户玻璃面积（平方米）， 个窗户需要的总铝合金为（米）， 甲：（元）， 乙：（元）， ，在甲公司购买窗户合算． 11．（23-24七年级上·江苏·期末）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 【答案】(1)534，1383(2) (3)甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据收费标准代入求解；（2）根据收费标准计算求解； （3）根据“2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元”列方程求解． 【详解】（1）解：一户3人家庭， 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 故答案为∶534，1383； （2）， （3）若甲户年用气量为， 则燃气费用为，甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 由（2）得，当时，，解得，甲户年用气量约为， 若乙户年用气量为，则燃气费用为， 乙户该年的用气量超过第一阶梯， 若乙户年用气量为，则燃气费用为， 乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯， 设乙户年用气量为，则，解得， 乙户年用气量为． 答：甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 12．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）：①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）：①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）：， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知，材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）：①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是．故答案为：，，． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形规律探索，由题意可知，，，，由，，，得出规律，得出答案，正确理解题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，，，， ，，，， ，∴比多出的火柴棒根数是，故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如： 等，下列说法： ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． 其中正确说法有 【答案】①②③ 【分析】根据绝对值的意义求解．本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 【详解】解：①，故①正确； ②，则，添绝对值变为16，则之和为0，故②正确； ③，可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种，故③正确，故答案为：①②③ 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解，，． 4．（24-25七年级上·山东德州·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则_____；（2）如果，求的值． 【拓展探索】（3）如果，．求的值． 【答案】（1）2025；（2）57；（3）0 【分析】本题考查了已知式子值求代数式的值，整体思想，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把代入进行计算，即可作答． （3）因为，，所以，再整理原式，然后把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵，则；故答案为：． （2）原式， 当时，原式． （3），，， ， 当，时，原式． 5．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______；(4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】本题考查图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键．（1）根据，计算求解即可；（2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可；（3）设，则，，计算求解即可；（4）同理（3）计算求解即可；（5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，，故答案为：； （3）解：设，则，∴，故答案为：； （4）解：令，则， ∴，∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴，解得，，∴的值为． 6．（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题：(1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）利用新定义计算解题即可；（2）根据,且,可得,,再根据当时, ；当时, ,即可求解；（3）由于由可得根据是正数可求，再代入求值即可. 【详解】（1）解：；；故答案为：，； （2）∵,且 ∴, ∴，故的值为； （3）∵为正数,，， ，则(负值舍去)，∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注意公式的灵活应用． 7．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【答案】(1)，(2)5 (3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键．（1）根据相反数和非负数的性质，求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合；（3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，，故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合，∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为，故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小，的最小值为3，故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ，的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4，故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值；故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如：①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”．类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果：①____；②_______； (2)计算：(3)计算： 【答案】(1)①；②(2)(3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：（1）①根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可；②根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可；（2）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （3）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：①，故答案为：； ② ，故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$