专题12 导数基础研析：切线、单调性、极值与最值的探索(5大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题12 导数基础研析：切线、单调性、极值与最值的探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 题型1：切线的综合问题 题型2：含参数单调区间与不含参数单调区间 题型3：已知单调性求参数 题型4：极值问题 题型5：最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 4、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 切线的综合问题 1．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 2．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 3．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4．已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 含参数单调区间与不含参数单调区间 1．设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 2．求函数的单调递减区间. 3．已知函数，．若在上是增函数，求a的取值范围． 4．已知函数，讨论的单调性. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 已知单调性求参数 1．已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 3．已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间内单调递增，求的取值范围． 5．已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 6．函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 极值问题 1．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 2．已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 3．设函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 4．函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 6．已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 最值问题 1．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围． 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 4．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 5．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 6．已知函数.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的最小值. 1．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 3．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 5．已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 6．已知直线与曲线相切，则 . 7．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 8．曲线与在交点处存在公切线，则 ． 9．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 10．已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 1．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 . 2．已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 4．已知函数. (1)当时，求曲线上过点的切线的方程； (2)若__________，求实数的取值范围. ①在区间上单调递减； ②在上存在单调递减区间； ③在区间上存在极小值. 从这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 5．已知点，，函数． (1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 6．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 导数基础研析：切线、单调性、极值与最值的探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 题型1：切线的综合问题 题型2：含参数单调区间与不含参数单调区间 题型3：已知单调性求参数 题型4：极值问题 题型5：最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 4、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 切线的综合问题 1．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 【答案】D 【解析】由，得，又， 的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为1， ，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 的最小值为． 故选：D 2．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 3．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 4．已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】当时，曲线与曲线有唯一交点， 当时，因为和在上单调递增， 故函数在上单调， 因为曲线在上单调递增，且两曲线有相同切线， 所以函数在上单调递增，故， ，，与的交点为， ，在处的切线斜率， ，，解得：. 记，则， 所以在上单调递减，故有唯一解， 即曲线与曲线有唯一交点，满足题意. 故选：D. 5．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 6．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 含参数单调区间与不含参数单调区间 1．设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【解析】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 2．求函数的单调递减区间. 【解析】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 3．已知函数，．若在上是增函数，求a的取值范围． 【解析】由已知条件，得， 在上是增函数， ，即在上恒成立， 而在上是增函数， ．． 的取值范围是． 4．已知函数，讨论的单调性. 【解析】函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【解析】（1）当时，，有， ，， 又所以曲线在点处的切点坐标为，切线斜率为， 得切线方程为． （2）函数，， 因为，所以， ①当时，对任意，均有，此时在区间上单调递增； ②当时，因为，所以，所以，此时在区间上单调递增； ③当时，令，则， 因为，，所以，在区间上单调递减， 又，所以存在唯一使得，即， 当时，单调递增，当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，其中为在上的唯一零点． 已知单调性求参数 1．已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【解析】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 【解析】（1），， ①若，则， ②若，令，得， 当时，，当时，， ③若，则， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减. （2），则， 因为对任意的，函数单调递减， 所以对恒成立，即对恒成立， 则对恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以， 又，故，即实数a的取值范围为. 3．已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【解析】（1）∵时，， ， 令， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数 的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）， 令对恒成立， 即，， 又∵， ∴，即. 4．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 可得， 令，可得或，解得或； 令，可得，解得； 则的增区间为和，单区间为． （2）由函数，可得， 要使得在区间上单调递增，则对于任意，都有， 即在恒成立， 不妨令，则，所以， 由二次函数的性质，可得， 所以的取值范围为． 5．已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 因为函数在处取极小值，所以，解得或. 当时，， 所以当时， 函数在和上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 所以时，有极小值，所以满足题意. 当时，， 所以当时，， 函数在区间和上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以时，有极大值,所以不满足题意. 综上所述，所求的值为2. （2）因为， 当时，由，解得，所以函数的减区间为. 在区间存在单调递减区间，所以， 当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间， 所以不符合题意. 当时，由，解得，所以函数单调递减区间为. 所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 6．函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 【解析】（1）当时，, 令，得或，所以的增区间为，， 令，得，所以的减区间为 故当时，的增区间为和，减区间为. （2）由题可得，要使在上为单调函数， 则在上恒成立， 则，即，解得：, 所以的取值范围为 极值问题 1．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 2．已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 【解析】由题意可得， 设，则． 当时，因为在区间内单调递减， 可知在区间内单调递减，且，， 可得在上有唯一零点，设为． 当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 故在上存在唯一极大值点， 即在上存在唯一极大值点． 3．设函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 【解析】（1）由可得：， 由题意可得曲线在点处的切线斜率为0， 故， 解得. （2）. ①当时，，此时在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不符合题意； ②当时，， 若，则单调递增， 若，则单调递减， 故在处取得极大值，不符合题意； ③当时，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，不符合题意； ④当时，， 在上单调递增，无极值，不符合题意； ⑤当时，，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故在处取得极小值，符合题意. 综上可得，的取值范围是. 4．函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【解析】（1）当时，，定义域为， 则. 令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 令，则， 令， 所以当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，即恒成立， 当时，显然成立； 当时，分离参数，即恒成立， 令，则， 令，可得， 所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当时，，为增函数， 当时，；当时，；当时，；当时，， 画出其大致图像 所以. （3）， ， 因为有三个极值点，所以有三个变号零点， 即有三个变号零点， 容易得到是方程的一个根，不是方程的根， 当时，分离变量，， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 画出其大致图像为 极小值， 因为已经是方程的一个根， 所以要使与有两个交点，即且. 6．已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 【解析】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 最值问题 1．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围． 【解析】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递增，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递增，上单调递减， 则有极大值，无极小值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递减, 又，不等式等价于，解得. 综上的取值范围是． 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【解析】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【解析】（1）依题意，函数的定义域为， ∴，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则；令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符， ∴， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得， ∴a的值为． 4．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 5．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 【解析】（1）， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. （2）由（1）得， 则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，在上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 6．已知函数.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的最小值. 【解析】（1）， 依题意，，解得. （2）由（1）得 ， 令，解得或， 的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 由表格可知，有极小值， 因为当时，， 所以最小值为. 1．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 2．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 3．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得曲线在处的切线斜率为. 由，得曲线在处的切线斜率为. 又曲线上总存在切线满足，且，而， 则， 故， 所以，解得， 即． 故选：D． 4．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 5．已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对求导得，所以，即切点， 所以； 对求导得， 所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 6．已知直线与曲线相切，则 . 【答案】 【解析】由，得，设切点为， 则，，消去得， 函数在上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 7．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 8．曲线与在交点处存在公切线，则 ． 【答案】2 【解析】设两曲线的公切点为，因为，， 依题意得，， 由，解得，将代入， 整理得，令，则，令， 则，令，解得（舍负）， 当时，；当时，， 所以有最小值，所以方程有唯一解，此时，解得． 故答案为：2. 9．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 10．已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【答案】 【解析】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 1．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 . 【答案】 【解析】当时，. 令，， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 的最小值为. 故答案为：. 2．已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，. （2）设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中， 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是. 3．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1），由，可得时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 时，函数取得极小值即最小值； （2）对分类讨论： 若，则，不存在，使得成立； 若，则，满足题意； 若，由(1)可知，函数的最小值为，所以，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 4．已知函数. (1)当时，求曲线上过点的切线的方程； (2)若__________，求实数的取值范围. ①在区间上单调递减； ②在上存在单调递减区间； ③在区间上存在极小值. 从这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）当时，， 所以，则有 ①当点为切点时，，根据函数导数的几何意义可得，函数的图象在点处的切线方程为； ②当点不是切点时，设切点为， 则可得切线方程为. 因为， ， 所以切线方程为， 代入点的坐标化简可得， 解得或（舍）， 所以切线方程为. 综上可得，过点的切线方程为或. （2）因为. 若选①，函数在区间上单调递减， 则有在区间上恒成立，且等号不恒成立， 即在上恒成立， 解得， 即实数的取值范围是. 若选②，函数在上存在单调递减区间， 则有在区间上有解，即在区间上有解. 令， 因为在区间上单调递减， 所以当时，， 故有， 即实数的取值范围是. 若选③，函数在区间上存在极小值， 则有函数的极小值点落在内. 令，恒成立， 求得， 令，解得或；令，解得或， 此时可得在上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极小值点， 即得， 所以当时，不等式恒成立； 当时，， 解得. 综上可得，. 即实数的取值范围是. 5．已知点，，函数． (1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设切点为． 因为，所以． 由题意可得，解得， 所以切线方程为，即． （2）过点，的直线的斜率为． 假设存在点，使得过点的切线与直线平行，设，， 则有，得． 又，所以， 所以在曲线上存在点，使得过点的切线与直线平行， 且点的横坐标为． 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 6．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$