专题13 导数应用的高峰：综合问题解析与策略(9大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题13 导数应用的高峰：综合问题解析与策略 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型1：构造函数解不等式问题 题型2：证明不等式 题型3：恒成立问题 题型4：能成立问题 题型5：零点问题 题型6：方程的根问题 题型7：双变量问题问题 题型8：实际应用问题 题型9：极值点偏移问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 构造函数解不等式问题 1．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 证明不等式 1．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 2．当时，证明：. 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 4．已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 5．已知函数． (1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有． 恒成立问题 1．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求整数k的最大值. 4．已知函数． (1)已知在处取得极小值，求a的值； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 5．已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的取值范围. 能成立问题 1．已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 2．已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 5．已知函数． (1)求的单调增区间； (2)若方程在有解，求实数m的取值范围． 零点问题 1．已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 2．已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 3．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 4．已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 5．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 方程的根问题 1．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 2．已知. (1)求的图象的以为切点的切线方程； (2)过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 3．已知是函数的一个极值点. (1)求的值； (2)求的图象在处的切线方程； (3)若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 4．已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 5．已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 双变量问题问题 1．已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 2．已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 3．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 4．设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 实际应用问题 1．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 2．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点，在边上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设．某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．    3．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.    (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； (2)多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 4．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 5．立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器． (1)试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小； (2)设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值． (3)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 极值点偏移问题 1．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 2．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 3．已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 4．已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 5．已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 1．已知函数. (1)若，且恰有3个零点，求的取值范围； (2)若，证明:当时，. 2．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 3．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，证明对任意，恒成立． 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 5．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 6．已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)证明：对任意的，有； 1．函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)恒成立，求a的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 5．设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 6．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 3．（2024年天津高考数学真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 导数应用的高峰：综合问题解析与策略 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型1：构造函数解不等式问题 题型2：证明不等式 题型3：恒成立问题 题型4：能成立问题 题型5：零点问题 题型6：方程的根问题 题型7：双变量问题问题 题型8：实际应用问题 题型9：极值点偏移问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 构造函数解不等式问题 1．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2．设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， ∵，∴，， 函数在上单调递增，又，∴， 由，可得，即， 又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为. 故选：A． 3．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则的定义域为，且， 因为，即，注意到，可得， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，即； 当时，，即； 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 证明不等式 1．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【解析】（1）函数， ，令，解得， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，， 要证， 即证，即证. 令函数， 则， 令，解得或， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以， 故， 即当时，得证. 2．当时，证明：. 【解析】证明：令， 则，， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即， 所以当时，. 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【解析】（1）解， 令 得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 【方法二】证明：令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， ， 又当时，在区间上单调递减， ， 当时，得证. 4．已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，注意到，即1是函数的零点， 下证1是的唯一零点， 易知1是函数的唯一零点， 设函数，则． 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以， 所以，所以单调递增，而， 所以1是函数的唯一零点， 所以1是函数的唯一零点，证毕． （2）设函数，则， 由（1）知，结合， 可得， 故，所以在区间单调递增， 又，所以当； 当时，． 综上所述，当时， 5．已知函数． (1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有． 【解析】（1）函数，求导得， 由函数在上为增函数，得对任意恒成立，且， 则对任意恒成立，而当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围是. （2）当时，，由（1）知，函数在上为增函数， 当时，令，则， 因此，即， 于是，则， 而，所以，得证. 恒成立问题 1．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【解析】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，； 当时，， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求整数k的最大值. 【解析】（1）. 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； （2）当时，， 则对于恒成立，即对恒成立， 令，则. 令，则， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在，使得， 且在上单调递减，在上单调递增，所以. 又，所以， 所以，所以， 经验证时，恒成立， 所以整数k的最大值为1. 4．已知函数． (1)已知在处取得极小值，求a的值； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）因为，定义域为 所以 因为在取得极小值，所以，所以， 检验：，定义域为， ， x 3 - 0 + ↓ 极小值 ↑ 所以； （2）因为对恒成立 所以令 ①即时，恒成立， 在单调递增恒成立， ②即时，， x 1 - 0 + 0 ↓ 极小值 ↑ 所以，与题意不符，舍去， 综上所述：． 5．已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，， 当时，，所以单调递增， 又趋向于0时， 趋向于， 故不恒成立； 当时，，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 由恒成立，可得， 因为，所以，解得 综上，a的取值范围为. 能成立问题 1．已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）易得， 令，则或（舍去）. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为. 又，，， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故在上的最大值为，最小值为. （2）易知的定义域为， 故不等式可化为. 记，则原不等式有解可转化为， 易得，令，则， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故. 于是，解得. 所以实数a的取值范围为. 2．已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. （3）原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 3．已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 4．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【解析】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 5．已知函数． (1)求的单调增区间； (2)若方程在有解，求实数m的取值范围． 【解析】（1），             令，解得或，                 即的单调增区间为，． （2）方程在有解，即m的范围等价于在的值域； 由（1）知在单调递增，单调递减，单调递增．    且，，，， 所以在的值域为， 所以m的取值范围为． 零点问题 1．已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【解析】（1）， ， 所以,解得. （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，,时，， 所以实数m的取值范围为． 2．已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 【解析】（1）函数，求导得， 令，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则在上单调递增， 且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则函数有两个零点，且分别在区间和内， 设的两个零点为， 当时，，当或时，， 则在上单调递减，在，上单调递增， 所以有两个极值点，且分别在区间和内. （2）依题意，，而， 即， 因此，解得， 由，得，且为整数，则或0， 故整数的值为或0. 3．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【解析】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 4．已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 【解析】（1）因为，，， 所以，， 所以， 所以． 由，得． 因为是增函数， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 所以函数没有极大值，只有极小值， 且当时，取得极小值， 所以的极小值为． （2）证明：因为，， 所以， 所以． 由，， 解得， 所以当时， ，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 最大值为． 因为，所以，所以． 所以当时，函数没有零点． 5．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 方程的根问题 1．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【解析】（1）定义域为； ； 令  或 列表如下： 1 ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极大值； 当时，取得极小值. （2）方程 ， 有三个不同的实数解， 等价于函数 与直线 有三个不同的交点； 当时，，；∴； 当时，，，∴； 由（1）知，只需； 即. 2．已知. (1)求的图象的以为切点的切线方程； (2)过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 【解析】（1），所以， 由导数的几何意义可得，以为切点的切线的斜率为， 又，所以切点坐标为， 所求切线为，即. （2）设切点为， 由，所以切线斜率为 得切线方程为：， 所以，化简得：. 设， 由题意可知与的图象有三个公共点， ， 当或时，；当时，； 所以当时取极小值；时取极大值； 且， 所以时，中切点横坐标有三个不同的解. 故过点可对的图象作出三条切线时，实数的取值范围为 3．已知是函数的一个极值点. (1)求的值； (2)求的图象在处的切线方程； (3)若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，又， 因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验符合题意. （2）由（1）知，则， 所以，切点为，切线的斜率为， 所以所求的切线方程为. （3）由（2）知的定义域为且， 令，解得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，当时，当时， 又， 因为直线与的图象有3个交点，所以， 即的取值范围为. 4．已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【解析】曲线与直线有且仅有两个交点， 可转化为方程有两个不同的解， 方程，化为，两边取对数得，即， 即方程有两个不同的解. 令，则， 令，解得， 当时，,此时单调递增； 当时，，此时单调递减. 故，且当时，， 又，所以，解得或， 故的取值范围是. 故答案为：. 5．已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【解析】（1）， 当时，；当时，， 在单调递增，单调递减， 的极大值点为1，无极小值点； （2）方程在区间上只有1个解，理由如下： 令， 则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 在有一个零点，在无零点， 所以方程在区间上只有1个解. 双变量问题问题 1．已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解析】（1）为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. （2），，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 2．已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 3．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【解析】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 4．设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 【解析】（1）当时，，则定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由， 若，则恒成立，即在上单调递增， 若，令得，即在上单调递增， 令得，即在上单调递减， 综上所述当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）得当时，在上单调递增， 当趋近于时，趋近于，不符合题意， 故，则， 所以， 令， 显然当时，，时，，故在时单调递减， 在上单调递增，即， 所以，即 实际应用问题 1．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【解析】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形， 所以，解得，即的值为； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为， 其底面积为， 所以三棱柱容器的容积为，； 求导数得，令，解得或（舍去）， 所以时，，单调递增，时，，单调递减； 所以时，取得最大值，为， 所以的最大值为． 2．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点，在边上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设．某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．    【解析】因为，则，， 可得， 则． 可得． 令，得（舍去）或． 当时，，在内单调递增； 当时，，在内单调递减． 所以在时取极大值，即最大值． 此时包装盒的底面边长为，高为， 所以当时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为． 3．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.    (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； (2)多大时，盒子的容积最大？并求出最大值. 【解析】（1）如图，， 则盒子的高， 所以盒子的底面积， 所以盒子的容积， （2）由（1）可得， 所以， 令，解得（舍去）， 所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时取得极大值，即最大值， 所以当米时，盒子的容积最大为立方米. 4．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 【解析】（1）设日销售量为，则， 则，且日销售量为件， 所以日利润，． （2）由（1）得，则． 因为，则， ①当时，则， 当时，，在内单调递减． 可知当时，取最大值，最大值为； ②当时，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则当时，取最大值，最大值为． 综上所述：. 5．立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器． (1)试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小； (2)设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值． (3)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 【解析】（1）正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为． 如图所示：在正三棱锥中，   高， （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得： 三棱柱的高，其底面积， 则三棱柱容器的容积， 即所求函数关系式为， ， 令，即， 解得：， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 在时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为： （3）如图， 分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形． 以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形， 可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱， 再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱． 极值点偏移问题 1．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【解析】（1）函数的定义域为， ， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令函数， 代入化简得， 令，求导得， 当时，，即在上单调递减，于是， 则当时，，即， 所以时，， 由题意不妨令，则， 又，所以， 根据（1）知在上单调递增， 而，所以，故得证. 2．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【解析】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 3．已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【解析】（1）定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 4．已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 【解析】（1）令，，， 令，解得：；令，解得：， ∴在递增，在递减，则， ∴恒成立，即. （2）∵，，∴， 令，解得：；令，解得：； ∴在递增，在递减. 又∵，，，，且，. 要证，即证. ∵，∴， 又∵，∴只证即可. 令，， 恒成立， ∴在单调递增. 又∵，∴，∴， 即，∴. 5．已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 【解析】（1）令，即，则 函数在上有零点等价于方程在上有解， 设，则， 故函数在上是减函数，在上是增函数，故 所以a的范围是. （2）因为，故， 因为，所以得， 故在上是减函数，在上是增函数 因为，， 所以不妨设，， 设（）， 故， 所以在上是增函数， 所以，即， 故，即， 因为，，且， 所以， 因为在上是减函数， 所以，故. 1．已知函数. (1)若，且恰有3个零点，求的取值范围； (2)若，证明:当时，. 【解析】（1）由，得或，由恰有3个零点， 得方程有两个不等的非零根，而，则， 又，于是，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，， 当时，令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，因此， 所以. 2．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则， 所以所求切线方程为，即； （2），即， 即，即对恒成立， 令，则， 当时，，当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 3．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，证明对任意，恒成立． 【解析】（1）当时，，则， ，则， 则曲线在点处切线的方程为， 整理得； （2）， 令，有，， 由且， 当时，，则当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当时，，则当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； （3）由，故在、上单调递增，在上单调递减， 故当时，单调递减， 若，则，符合要求； 若，则，则， 则要证，只需证， 即只需证， 令，，， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 由，由对勾函数性质可知， 故恒成立，即在上单调递增， 故，即有，即得证. 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）， 当时，在上是减函数. 当时，是增函数.令，解得. 当时，； 当 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2），即. 令函数，则，所以， 因为在上单调递增， 所以，即. 令函数，则. 当时，；当. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故的取值范围为. 5．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【解析】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 6．已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)证明：对任意的，有； 【解析】（1）求导，令，则.且. 运用点斜式，化简得到. （2）因为， 令，则， 又因为，，单调递减； ，，单调递增； 所以的极小值为，无极大值． （3）令， 可得，令， ，，单调递增，， ，，单调递减； ，，单调递增； 所以， 所以， 所以，即得， 所以． 1．函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 2．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为的定义域为，若， 可得，整理可得， 构建，则， 可知在内单调递增，则， 令，则对任意恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以a的取值范围为. 3．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【解析】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【解析】（1）由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 5．设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【解析】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 6．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 【解析】（1）设，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，即. （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， 由①②得， 所以 ， 即. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 3．（2024年天津高考数学真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【解析】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$