专题05 椭圆8种常见考法归类-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题05 椭圆8种常考题型归类 求椭圆的方程 1．（2023秋•昆明期末）把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆” 的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若周长为16，则“正椭圆” 方程为 　　． 2．（2023秋•玉溪期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若的中点为，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•官渡区期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•昭阳区校级期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上、下顶点分别为，，是线段的中点．若，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 椭圆的焦点三角形问题 5．（2023秋•昭阳区期末）椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为5，则点到另一个焦点的距离为　　 A．7 B．5 C．4 D．1 6．（2022秋•西山区校级期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则△的周长为　　 A．8 B．10 C． D．12 椭圆的离心率问题 7．（2023秋•西山区校级期末）如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•楚雄州期末）已知，分别是椭圆的左、右两个焦点，点是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为 　　． 9．（2022秋•保山期末）已知椭圆，，，过点且斜率为的直线与相交于，两点，若直线平分线段，则的离心率等于 　　． 10．（2024春•红河州期末）已知椭圆，的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•大理州期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为 　　． 12．（2023秋•昭阳区期末）斜率为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 　　． 13．（2024春•昭通期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则　　 A． B． C． D． 14．（2023春•昆明期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•保山期末）已知点是椭圆上的一点，左、右焦点分别为点，，，点在的平分线上，为坐标原点，，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 16．（2024春•昭通期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，则椭圆的离心率为 　　． 17．（2023春•玉溪期末）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 18．（2023春•大理州期末）已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，△的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 　　． 19．（2022秋•东川区校级期末）已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为线段垂直平分线与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率为 　　． 20．（2022秋•官渡区期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆外一点，线段与交于点，的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上．设为坐标原点，若，则的离心率为 　　． 椭圆的弦长问题 21．（2023秋•昭阳区期末）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于，两点，求的面积． 22．（2024春•昆明期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程． 23．（2024春•麒麟区期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求△面积的最大值． 椭圆的中点弦问题 24．（2022秋•五华区校级期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 　　． 25．（2023春•麒麟区校级期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　 A． B． C． D． 椭圆的向量问题 26．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）设点，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是　　 A．1 B．3 C．5 D．4 27．（2022秋•东川区校级期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，椭圆过和两点，点在线段上，则的取值范围为　　 A． B． C．， D． 28．（2022秋•保山期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程． 29．（2023春•麒麟区校级期末）椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的横坐标为，且，当面积等于时，求的取值． 30．（2023秋•沾益区校级期末）已知椭圆的短轴长和焦距相等，长轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，原点到直线的距离为．点在椭圆上，且满足，求直线的方程． 椭圆的最值问题 31．（2022秋•临翔区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 32．（2022秋•德宏州期末）已知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点是椭圆上的一个动点，点的坐标为，则的范围为 　　． 33．（2023秋•五华区校级期末）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，设，是椭圆的左、右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围． 34．（2024春•曲靖期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 　　． 35．（2022秋•五华区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，记点关于轴对称的点为．若直线与轴相交于点，求面积的最大值． 椭圆的定点、定值问题 36．（2023春•富源县期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3． （1）求椭圆的方程． （2）设，是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于，两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 37．（2023秋•云南期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点．求证：为定值． 38．（2023春•保山期末）已知椭圆经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点，，，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若以，为直径的圆恒过点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 39．（2023春•楚雄州期末）椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，是椭圆在第一象限内的一动点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求椭圆的方程； （2）试判断直线是否经过定点．若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由． 40．（2023秋•迪庆州期末）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）不经过的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，连接并延长交椭圆于点，求证：直线过定点． 41．（2024春•昭通期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设不经过点的直线与曲线相交于，两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 42．（2024春•师宗县校级期末）已知椭圆的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 43．（2023秋•玉溪期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点．垂直于轴的动直线与椭圆相交于不同两点，，直线与椭圆的另一个交点为（异于点，直线恒过定点，则点的坐标为 　　． 44．（2022秋•西山区期末）已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，设，，，，，的斜率分别记为，，以下各式为定值的是　　 A． B． C． D． 45．（2024春•会泽县期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程． （2）设，是椭圆上异于的两个动点，直线，的斜率分别为，．若，试判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 46．（2023秋•大理州期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•西山区期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则　　 A． B． C．1 D．2 48．【多选】（2023秋•楚雄州期末）已知椭圆，则　　 A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 49．【多选】（2024春•师宗县期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是　　 A． B．离心率 C．△面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 50．（2023秋•禄劝县校级期末）已知椭圆，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限． （1）若，证明：直线和的斜率之积为定值； （2）若，求四边形的面积的最大值． 51．【多选】（2024春•楚雄州期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为△的内心，记，，△的面积分别为，，，则　　 A． B．的离心率为 C． D． 52．【多选】（2023秋•西山区校级期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，过且垂直于的直线与交于、两点，则　　 A．椭圆的焦距为2 B． C．的面积为 D．的周长为8 53．【多选】（2023春•麒麟区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则　　 A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使 D．的最小值为2 54．【多选】（2023秋•西山区期末）设，为椭圆的左右顶点，，为的左、右焦点，点在上，则　　 A．当椭圆与直线相切时， B．在椭圆上任意取一点，过作轴的垂线段，为垂足，动点满足，则点的轨迹为圆 C．若点不与，重合，则直线，的斜率之积为 D．不存在点，使得 55．（2023秋•保山期末）已知椭圆，且椭圆的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由． 56．【多选】（2023秋•保山期末）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”．利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线．说法中正确的有　　 A．椭圆的“伴随圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦、都与椭圆相切，则面积的最大值为6 57．（2022秋•官渡区期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，焦距为2，为椭圆上一点，且，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点，若直线交椭圆于点，直线交轴于点，求证：． 58．【多选】（2022秋•保山期末）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有　　 A．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则△的周长为 B．若是“黄金椭圆”，则 C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，，则 D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，，设直线，的斜率分别为，，则 59．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与交于，两点，△的周长为8．若在外，点在上，记的离心率为，则　　 A．的最小值为5 B． C．存在点，使得 D．当时，点在上且满足，则有 60．（2022秋•玉溪期末）已知曲线，且点和点在曲线上． （1）求曲线的方程； （2）若点为坐标原点，直线与曲线交于，两点，且满足，试探究：点到直线的距离是否为定值．如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆8种常考题型归类 求椭圆的方程 1．（2023秋•昆明期末）把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆” 的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若周长为16，则“正椭圆” 方程为 　　． 【解析】、为“正椭圆” 的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若周长为16， 则，可得， 又离心率为， ，可得； ； “正椭圆” 方程为． 故答案为：． 2．（2023秋•玉溪期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若的中点为，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】不妨设椭圆方程为， 由题意得：，两式作差得：， 整理得：， 因为的中点为， 所以， 所以，所以， 又因为，，所以，． 故选：． 3．（2023秋•官渡区期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得，，又， 解得，， 故椭圆方程为． 故选：． 4．（2023秋•昭阳区校级期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上、下顶点分别为，，是线段的中点．若，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得，且点是线段的中点， 所以，又，则，解得， 所以椭圆方程为． 故选：． 椭圆的焦点三角形问题 5．（2023秋•昭阳区期末）椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为5，则点到另一个焦点的距离为　　 A．7 B．5 C．4 D．1 【解析】椭圆，所以，，由椭圆的定义可知： 椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为：7． 故选：． 6．（2022秋•西山区校级期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则△的周长为　　 A．8 B．10 C． D．12 【解析】因为，，所以，故△的周长为． 故选：． 椭圆的离心率问题 7．（2023秋•西山区校级期末）如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意如图所示：设，，， 即短轴长，长轴长，即， 所以椭圆的离心率． 故选：． 8．（2023秋•楚雄州期末）已知，分别是椭圆的左、右两个焦点，点是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】因为，， 所以，又， 所以，， 则， 解得，即椭圆的离心率为． 故答案为：． 9．（2022秋•保山期末）已知椭圆，，，过点且斜率为的直线与相交于，两点，若直线平分线段，则的离心率等于 　　． 【解析】设，，，，则， 故，即， 因为为的中点，故，即， 所以，即． 故答案为：． 10．（2024春•红河州期末）已知椭圆，的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设，，，， 则，两式作差得：， 线段的中点为，故， 所以， 且直线过和， 则直线的斜率：， 故， 解得． 故选：． 11．（2024春•大理州期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则， 则在△中，， 即，所以． 故答案为：． 12．（2023秋•昭阳区期末）斜率为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】设，，，， 因为为线段的中点， 所以直线斜率，， 即，， 因为，，，在椭圆上， 所以，两式相减得， 代入化简得，， 由题意知，，，所以化简得， 则，显然，椭圆的焦点位于轴， 所以椭圆的离心率． 故答案为：． 13．（2024春•昭通期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则　　 A． B． C． D． 【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，由正弦定理得， 解得，则， 故选：． 14．（2023春•昆明期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】线段的中点在轴上，设的横坐标为，， ，则，即与的横坐标相等，可知轴， ，， ，， 则， 解得． 故选：． 15．（2024春•保山期末）已知点是椭圆上的一点，左、右焦点分别为点，，，点在的平分线上，为坐标原点，，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设的平分线与轴的交点为，设，，， 由内角平分线定理可得，即， 由，且，可得，即为，即， 可得，化为， 由，可得△为直角三角形， 由勾股定理可得，即有， 化为，则． 故选：． 16．（2024春•昭通期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】由椭圆知，椭圆的右顶点为， 上顶点为，过，作椭圆的切线， 则交点坐标为， 因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 所以在上， 所以，解得：， 则椭圆的离心率为． 故答案为：． 17．（2023春•玉溪期末）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设，则直线，由，得，即， 而，，由，得，即， 有，又，因此， 所以的离心率为． 故选：． 18．（2023春•大理州期末）已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，△的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，△的内切圆的半径为，椭圆焦距为， 取线段的中点，设点的纵坐标为， ， ， ，即， ，，三点共线，且， ， ， ， 又， ， ， 椭圆的离心率． 故答案为：． 19．（2022秋•东川区校级期末）已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为线段垂直平分线与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】设，， 将代入椭圆的方程，可得， 即， 设为线段的垂直平分线与轴的交点，则为直角三角形， ，在中，不妨设， ，． 由勾股定理可得， 即，， 又，， ， 或（舍去）， ， 椭圆的离心率． 故答案为：． 20．（2022秋•官渡区期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆外一点，线段与交于点，的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上．设为坐标原点，若，则的离心率为 　　． 【解析】设的内切圆的圆心为，则， 由于内切圆圆心恰在线段上， 可得，且平分， 则， 且为线段的中点，可得， 因为，所以， 即有， 则． 故答案为：． 椭圆的弦长问题 21．（2023秋•昭阳区期末）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于，两点，求的面积． 【解析】（1）因为长轴是短轴的倍， 所以，① 因为右焦点为， 所以，② 又，③ 联立①②③， 解得， 则椭圆的标准方程为； （2）不妨设，，，， 联立，消去并整理得， 解得或， 即， 此时， 易知点到直线的距离， 则的面积． 22．（2024春•昆明期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）因为椭圆的短轴长为2，离心率为， 所以， 解得，， 则的方程为； （2）当直线的斜率不存在时， 可得，不符合题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程，，，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得，，， 由韦达定理得，， 所以， 整理得， 即， 解得或． 故直线的方程为或． 23．（2024春•麒麟区期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求△面积的最大值． 【解析】（1）因为椭圆短轴长为，且经过点， 所以，， 解得， 则椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，，， 又， 所以， 此时周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立， 则周长的最大值为； （3）设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得， 所以， 此时△面积， 令，， 易知函数在，上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为4， 则当时，△面积取得最大值3． 椭圆的中点弦问题 24．（2022秋•五华区校级期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 　　． 【解析】设，，， ①， ②， 是线段的中点， ，①②两式相减可得， 整理得，即， 弦的斜率为， ，即， ． 故答案为：． 25．（2023春•麒麟区校级期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为． 则，， 两式相减得，， 又， 代入解得，． 故选：． 椭圆的向量问题 26．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）设点，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是　　 A．1 B．3 C．5 D．4 【解析】由椭圆，得，，则． ，， 设，，则，，，， 由，得，，，即①， 又点在椭圆上，②， 联立①②，得． 要使成立的点恰好是4个，则． 则． 实数的值可以是3或4． 故选：． 27．（2022秋•东川区校级期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，椭圆过和两点，点在线段上，则的取值范围为　　 A． B． C．， D． 【解析】椭圆过点和， ，，可得， ，， 设，由题意直线的方程为，即， 点在线段上， 满足，， 则，，， 当时，，当时，， 的取值范围为． 故选：． 28．（2022秋•保山期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程． 【解析】（1）设，因为直线的斜率为，， 所以，解得． 又，解得，则， 所以椭圆的方程为． （2）设，、，， 由题意可设直线的方程为：， 联立，消去得， 当△，所以，即或， 由根与系数的关系可得，，， 由，得，代入上解得，即， 又， 点到直线的距离， 所以， 此时直线的方程为：或． 29．（2023春•麒麟区校级期末）椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的横坐标为，且，当面积等于时，求的取值． 【解析】（1）设，由，知， 解得， 由知， 解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）直线的方程为， 联立，得， 且△，，则， 直线的方程为， 令得， 由， 所以， 即，， 若面积等于，则，， 解得或1（舍． 所以． 30．（2023秋•沾益区校级期末）已知椭圆的短轴长和焦距相等，长轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，原点到直线的距离为．点在椭圆上，且满足，求直线的方程． 【解析】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的短轴长和焦距相等，长轴长是， 所以，解得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时满足的点显然不在椭圆上，可得直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，，，，， 联立方程，消去后整理为， 可得，， 由△，可得， 又由，可得，， 将点的坐标代入椭圆的方程，有，所以， 又由原点到直线的距离为，可得， 联立方程，可得， 解得或或或， 又由， 可得直线的方程为或或或． 椭圆的最值问题 31．（2022秋•临翔区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】由椭圆，得，， 点在上，且满足的点有四个， ，解得且， 的取值范围为，，． 故选：． 32．（2022秋•德宏州期末）已知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点是椭圆上的一个动点，点的坐标为，则的范围为 　　． 【解析】由椭圆标准方程可知，，，， 又点在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以， 所以， 易知，当且仅当，，三点共线时等号成立， 又， 所以，即的范围为． 故答案为：． 33．（2023秋•五华区校级期末）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，设，是椭圆的左、右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）因为椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上， 所以，① 又，② 联立①②，解得，， 则椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率不为0， 由（1）知， 不妨设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△恒成立， 由韦达定理得， 所以， 此时， 椭圆的内接平行四边形面积为， 令，则， 不妨设， 易知函数在，上单调递增， 所以，， 则，， 故平行四边形的面积取值范围为，． 34．（2024春•曲靖期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 　　． 【解析】依题意得，，设，，则， 由椭圆的定义得， 因为，， 所以，， 所以，，，， ，， 则， 设，， 则在，上单调递减，在，上单调递增， 所以，，则，， 故的最大值与最小值之和为． 故答案为：． 35．（2022秋•五华区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，记点关于轴对称的点为．若直线与轴相交于点，求面积的最大值． 【解析】由椭圆的定义，可知． 解得． 又． 所以椭圆的标准方程为． （Ⅱ）由题意，设直线的方程为，．设，，，，则，． 由，消去，可得． 因为△，所以 所以，． 因为，所以直线的方程为． 令，可得． 所以，所以． 所以． 令，． 则，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为． 椭圆的定点、定值问题 36．（2023春•富源县期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3． （1）求椭圆的方程． （2）设，是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于，两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）设，，，，由题意可得，，则，， 直线的方程为：， 令，可得， 所以， 直线的方程为：， 令，可得， 所以， 所以为定值， 所以为定值，且定值为4． 37．（2023秋•云南期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点．求证：为定值． 【解析】（1）当直线垂直于轴时，直线的方程为， 联立，解得， 所以不妨设，， 所以，① 又因为离心率，② ，③ 由①②③解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得， 直线的方程为， 联立，得， 设，，，， 所以，， 所以 ， 设线段的中点为， ，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，得， 所以，， 所以， 所以． 38．（2023春•保山期末）已知椭圆经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点，，，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若以，为直径的圆恒过点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）由题意知：，可得：， 则椭圆的标准方程为． （2）证明：当直线的斜率不存在时，设， 联立， 解得， 所以，， 又， 所以由， 解得或（舍去）， 此时直线方程为； 当直线的斜率存在时，设， 联立，消得到． 由△得，， 由韦达定理知，，， 因为以，为直径的圆恒过点， 由， 将，代入整理得， 即， 所以或， 当时，直线为， 此时直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线为， 此时直线过定点， 综上，直线恒过定点． 39．（2023春•楚雄州期末）椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，是椭圆在第一象限内的一动点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求椭圆的方程； （2）试判断直线是否经过定点．若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【解析】（1）由椭圆的左、右顶点分别为，， 上顶点为，可得，， 所以椭圆的方程为． （2）依题可设直线的方程为，其中． 联立方程组，整理得， 由，得， 则， 直线的方程为， 联立方程组，解得，， 由，，三点共线，得， 解得， 直线的方程为， 整理得， 联立方程组， 解得，， 故直线经过定点，该定点坐标为． 40．（2023秋•迪庆州期末）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）不经过的直线与轴垂直，与椭圆交于，两点，连接并延长交椭圆于点，求证：直线过定点． 【解析】（1）由题意，椭圆上的点到的最大距离为， 所以， 所以椭圆方程为； （2）证明：显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，，， 则，，由， 可得， △， ， 所以直线的方程为， 令，可得 ， 所以直线过定点． 41．（2024春•昭通期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设不经过点的直线与曲线相交于，两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 【解析】（1）设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切， 所以． 因为动圆于圆外切， 所以， 此时， 由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为， 可得，， 则， 故曲线的方程为； （2）当直线斜率存在时， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 则△， 即． 由韦达定理得， 因为， 所以， 可得， 此时， 即， 因为， 所以， 整理得． 因为， 所以， 解得， 则直线的方程为， 故直线过定点； 当直线斜率不存在时，设直线的方程为，且， 此时， 所以， 解得， 则直线的方程为， 此时直线过定点． 综上所述，直线过定点． 42．（2024春•师宗县校级期末）已知椭圆的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意可得，即， 又，即， 由，解得，， 则椭圆的方程为； （2）证明：由，设直线的方程为，， 联立椭圆方程， 化为， 设，，，，可得，， 设的中点为，则，，即，， 即，， 则的垂直平分线方程为， 令，可得， 即，， 所以， 又， 则； 若直线的斜率为0，则直线的方程为，，，可得， 则为定值． 43．（2023秋•玉溪期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点．垂直于轴的动直线与椭圆相交于不同两点，，直线与椭圆的另一个交点为（异于点，直线恒过定点，则点的坐标为 　　． 【解析】因为椭圆的离心率为， 椭圆过点椭圆的标准方程为，由题可知直线的斜率存在， 设直线，则，， 联立直线与椭圆方程得， 则， 所以，整理得， 又 ， 所以直线的方程为，故直线过定点． 故答案为：． 44．（2022秋•西山区期末）已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，设，，，，，的斜率分别记为，，以下各式为定值的是　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，根据题意易得：，， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， （与有关，不是定值），选项错误； 又是定值，选项正确； （与有关，不是定值），选项错误； （定值），选项正确． 故选：． 45．（2024春•会泽县期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程． （2）设，是椭圆上异于的两个动点，直线，的斜率分别为，．若，试判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为； （2）由题，设，，，，直线的斜率为，则直线的斜率为， 设直线的方程为，即， 联立方程，消去得， 因为，为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得， 所以， 因为 ， 所以直线的斜率为， 即直线的斜率为定值1． 46．（2023秋•大理州期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，解得． ，则点的坐标为． 故选：． 47．（2023秋•西山区期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则　　 A． B． C．1 D．2 【解析】根据题意可得，， 又抛物线的焦点与的右焦点重合， ，． 故选：． 48．【多选】（2023秋•楚雄州期末）已知椭圆，则　　 A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【解析】对于，当时，椭圆的长轴长为，故错误； 对于，当时，椭圆方程为，则的焦点在轴上，故正确； 对于，当椭圆的焦距为或时，方程均有解，故正确； 对于，椭圆的短轴长与长轴长的平方和为，为定值，故正确． 故选：． 49．【多选】（2024春•师宗县期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是　　 A． B．离心率 C．△面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 【解析】由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点为，， 根据椭圆的定义，故正确； 离心率，故错误； 所以△面积的最大值为，故错误； 由原点到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确； 故选：． 50．（2023秋•禄劝县校级期末）已知椭圆，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限． （1）若，证明：直线和的斜率之积为定值； （2）若，求四边形的面积的最大值． 【解析】（1）证明：设，，则，， ，，， ，在椭圆上，， 为定值． （2）解：设，依题意：，点在第一象限，， 联立：得：， ， 设到的距离为，到的距离为， ， ． 又（当 时取等号）， ． 故四边形的面积的最大值为． 51．【多选】（2024春•楚雄州期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为△的内心，记，，△的面积分别为，，，则　　 A． B．的离心率为 C． D． 【解析】 因为，所以为正三角形，且点在以为直径的圆上， 所以，即，故正确． 不妨设， 则的离心率为，故错误． ，故正确． 设△的内切圆半径为，则， ， ，所以，故正确． 故选：． 52．【多选】（2023秋•西山区校级期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，过且垂直于的直线与交于、两点，则　　 A．椭圆的焦距为2 B． C．的面积为 D．的周长为8 【解析】椭圆的，，，即有，，焦距为2，故正确； 由，直线的斜率为，直线垂直于直线，可得直线的斜率为， 直线的方程为，与椭圆方程联立，可得， 设，，，，则，，则，故正确； 由到直线的距离为，可得，故错误； 因为线段的中点为，，且，又直线垂直于直线， 可得直线垂直平分线段，可得，，所以的周长为，故正确． 故选：． 53．【多选】（2023春•麒麟区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则　　 A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使 D．的最小值为2 【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率， 即椭圆的离心率的取值范围是，故正确； 当时，， 所以的取值范围是，， 即，故正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 所以存在点使得，故正确； ， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故错误． 故选：． 54．【多选】（2023秋•西山区期末）设，为椭圆的左右顶点，，为的左、右焦点，点在上，则　　 A．当椭圆与直线相切时， B．在椭圆上任意取一点，过作轴的垂线段，为垂足，动点满足，则点的轨迹为圆 C．若点不与，重合，则直线，的斜率之积为 D．不存在点，使得 【解析】根据题意可得，，， ，，，，，， 对选项，联立，可得， 令△，得， 当椭圆与直线相切时，，选项正确； 对选项，设，则根据题意可得， 又在椭圆上， ，点的轨迹方程为， 点的轨迹为圆，选项正确； 对选项，设，则，， ，选项错误； 对选项，设的最大值为， 则，又，，， 的最大值为，存在点，使得，选项错误． 故选：． 55．（2023秋•保山期末）已知椭圆，且椭圆的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的长轴长为4， 所以， 解得， 因为椭圆的离心率为， 所以， 解得， 则， 故而椭圆的方程为； （2）不妨设，，，，，，，，，， 易知切线的方程为，切线的方程为， 因为是切线，的公共点， 所以， 则所在的直线为， 易知直线的斜率存在， 不妨设直线的方程为， 联立， 解得， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 因为，，， 所以 ， 而， 故． 56．【多选】（2023秋•保山期末）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”．利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线．说法中正确的有　　 A．椭圆的“伴随圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦、都与椭圆相切，则面积的最大值为6 【解析】已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线． 对于，因为点在伴随圆上，所以方程为， 因为，又，所以，，故正确； 伴随圆程为，面积为，故正确； 对于：直线的方程为，椭圆方程，组成方程组去得， △，所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为， 故错误； 由伴随圆的定义可知，，则为伴随圆的直径， 连接， ， ， 设，， ， 又（当且仅当时取等号）， ，即 ，故错误． 故选：． 57．（2022秋•官渡区期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，焦距为2，为椭圆上一点，且，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点，若直线交椭圆于点，直线交轴于点，求证：． 【解析】（1）由题意得， 因为，所以， 又因为， 解得，， 椭圆的标准方程为． （2）证明：设直线，点，，，， 联立，得， 由题意知，△， 所以，， 所以， 故直线与直线关于轴对称，即轴平分， 由角平分线性质易知：． 58．【多选】（2022秋•保山期末）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有　　 A．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则△的周长为 B．若是“黄金椭圆”，则 C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，，则 D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，，设直线，的斜率分别为，，则 【解析】对于选项，，， △的周长为，正确； 对于选项，当，时，，； 当，时，，，不正确； 对于选项，，，， 要使椭圆为“黄金椭圆”，则，， ，，， 又，， ，，正确； 对于选项，，，设点坐标为，， 则，又点在椭圆上， ，， ，又动点在“黄金椭圆”上， ，，又， ，即， ，故正确． 故选：． 59．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与交于，两点，△的周长为8．若在外，点在上，记的离心率为，则　　 A．的最小值为5 B． C．存在点，使得 D．当时，点在上且满足，则有 【解析】中，在椭圆上，可得， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以的最小值为4，所以不正确； 由题意及△的周长为8，可得，则， 因为在外，可得，可得，即， 所以，即，可得，，所以正确； 中，因为，所以以为直径的圆在轴上的交点在椭圆外，所以椭圆上存在，使以为直径的圆过点，即，所以正确； 中，由，，可得，，则椭圆的方程为， 可以为极点，为极轴，建立极坐标系，由，，可得椭圆的极坐标方程为， 由，设，，，， 则 ，故正确． 故选：． 60．（2022秋•玉溪期末）已知曲线，且点和点在曲线上． （1）求曲线的方程； （2）若点为坐标原点，直线与曲线交于，两点，且满足，试探究：点到直线的距离是否为定值．如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【解析】由已知可设曲线的方程为，， 及点在曲线上， ，解得：， 曲线的方程为； （2）设，，，， ①若直线斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， △， ，，又， 可得，此时△， 又点到直线的距离， ； ②当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称， 而且当时，代入方程，可得， 直线的方程为， 此时点到直线的距离，符合题意． 综上所述，点到直线的距离为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$