1.3带电粒子在匀强磁场中的运动（知识解读）-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019选择性必修第二册）

1.3带电粒子在匀强磁场中的运动（知识解读）（原卷版） •知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 •知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 •知识点3 带电粒子在组合场中的运动 •知识点4 带电粒子在叠加场中的运动 •作业 巩固训练 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 2、若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 【典例1-1】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．a、b两粒子所带电荷的电性相同 B．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．穿过磁场区域的过程α粒子运动的时间较长 【典例1-2】（多选）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带电小球从O点正上方某处以初速度水平抛出，最后小球恰好经过O点，已知小球质量为，电量为，取重力加速度，，忽略空气阻力，则其经过O点时动能可能为（　　） A．0.020J B．0.350J C．0.425J D．0.740J 【典例1-3】如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 【变式1-1】如图所示，一个粒子从x轴上的P点以速度沿与x轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子从坐标原点O以速度沿与x轴成的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（     ） A．3:1 B．1:3 C．4:1 D．1:4 【变式1-2】（多选）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 【变式1-3】质量为m、电荷量为−q（q > 0）的粒子从M点以速度v射入半径为R的圆形匀强磁场区域，经过圆心O后从N点射出，O、M、N三点刚好构成等边三角形，求： (1)粒子做匀速圆周运动的半径r； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子在磁场中运动的时间t。 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、由qvB＝m，可得r＝。 2、由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 3、圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、半径的确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 【典例2-1】如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为、，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是（    ） A．电子的运动轨迹为PENCMDP B． C．电子从射入磁场到回到P点用时为 D．电子在磁场中受到的洛伦兹力大小是在磁场中受到的洛伦兹力大小的2倍 【典例2-2】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为-q（q>0）的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【典例2-3】2023年10月在沈阳举行第九届中国二次离子质谱会议。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，在下方存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一个带电粒子在O处以速度v垂直磁场边界入射，在磁场中偏转后落在Q处，P、O、Q、在同一直线上。已知O、Q两点间的距离为d，粒子重力不计。求 （1）带电粒子带何种电荷； （2）带电粒子在磁场中运动的时间t； （3）带电粒子的比荷。 【变式2-1】质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 【变式2-2】（多选）带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是（　　） A．碰后粒子做圆周运动的半径不变 B．碰后粒子做圆周运动的周期减小 C．碰后粒子做圆周运动的动量减小 D．碰后粒子做圆周运动的动能减小 【变式2-3】如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 知识点3 带电粒子在组合场中的运动 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。 1、解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 2、“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 【典例3-1】如图所示，在两个边长均为2L的正三角形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，左右两侧有平行于MN、PQ的匀强电场（电场强度大小未知）。质量为m、带电荷量为+q的带正电粒子（不计重力），由电场中a1点由静止释放，恰好从OM边的中点进入磁场区域。已知经过下方磁场区域后，粒子能从OP的中点进入左侧电场，最终能从PQ上某点沿垂直PQ边界方向射出磁场区域，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．从a1到OM中点的距离为L C．从释放到从PQ边界出磁场，粒子运动的时间为 D．带电粒子在磁场中运动时的速度大小为 【典例3-2】（多选）如图所示圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外（未画出）的匀强磁场，磁场边缘上的A点有一粒子源，该粒子源可以在纸面内向磁场中发射速度不同的同种带电粒子。竖直，与平行，且与圆周相切于B点，在的右侧有方向水平向左的匀强电场。当粒子的速度大小为且沿方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）    A．粒子的比荷为 B．速率同为的离子在磁场中运动的总时间与入射方向无关 C．若粒子的速度大小为且沿方向时，粒子第一次在磁场中运动的时间为 D．粒子的速度大小为且方向沿纸面内各个方向时，的圆周上有粒子射出磁场 【典例3-3】如图，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第二象限内存在方向垂直y轴、电场强度为E的匀强电场，一带电粒子从点由静止释放，经电场加速后从点进入磁场，最后从点垂直x轴射出磁场，不计粒子的重力，求： （1）带电粒子的速度大小； （2）带电粒子在磁场中的运动时间。 【变式3-1】如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，射入水平放置，电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为（不计重力，不考虑边缘效应）（　　） A．d随U1变化，d与U2无关 B．d与U1无关，d随U2变化 C．d随U1变化，d随U2变化 D．d与U1无关，d与U2无关 【变式3-2】（多选）如图所示，半径为L的圆边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，、是圆边界的两个互相垂直的直径，边长为L的正方形内存在匀强电场，边长与直径共线，电场与磁场垂直、与平行，质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力）从a点正对圆心O以初速度垂直射入磁场，从d点射出磁场立即进入电场，最后恰好从f点射出电场，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．电场方向由f指向e C．粒子在磁场与电场中运动时间的比值为D．磁感应强度与电场强度大小的比值为 【变式3-3】如图所示，水平放置的两块长直平行金属板、相距为，、间加有电压，板下方空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电的粒子（不计重力），从贴近板的左端以的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝处穿过板进入匀强磁场，最后粒子打到板的处（图中未画出）被吸收。已知到板左端的距离为，求： （1）粒子在电场里面做什么运动？ （2）进入磁场时速度的大小和方向； （3）P、Q之间的距离； 知识点4 叠加场 电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。 1、是否考虑粒子重力 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力。 2、处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路 3、叠加场中三中场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向:正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关 W=qU电场力做功改变电势能 磁场 大小:f=qvB(v⊥B) 方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 【典例4-1】如图所示，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c恰好做匀速圆周运动，比较它们的质量、、间的关系，正确的是（　　） A．最大 B．最大 C． D．最小 【典例4-2】（多选）如图所示，在一个边长为d的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从图中A点以速度v0沿AB方向进入该区域，如果去除电场，粒子恰从D点飞出区域；如果去除磁场，粒子也恰从D点离开区域，不计粒子的重力。则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．匀强电场的电场强度大小为 【典例4-3】如图，水平放置的两块带电金属极板a、b平行正对，极板长度和板间距都为l，板间存在着竖直向下、大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场、磁场只存在于两板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端中央沿水平方向射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若撤去电场，该粒子仍以速度v0从两极板的左端中央沿水平方向射入极板间，为使粒子能从磁场中射出，求磁场的磁感应强度大小范围。      【变式4-1】在一宽度为的区域中，存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一束带电粒子（重力不计）以速度垂直入射时恰好不改变方向。如果粒子入射时只有电场，可测得粒子束穿过电场时沿竖直方向上偏了。若粒子入射时只有磁场，粒子束能从右侧离开磁场时，偏离原方向的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道（管道内径略大于小球直径），下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．磁场和电场的大小关系为 C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动 D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能守恒 【变式4-3】在地面上方存在相互正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁感应强度B=1T，电场强度E=5N/C，方向如图所示。一质量为m=0.5g、电量未知的小球恰好沿与水平方向成的PQ方向由P向Q做直线运动。（当地重力加速度为），求： （1）带电小球的电性和电量；小球运动的速率。 （2）当小球运动到Q点撤去匀强磁场，此时Q距地面的高度为h=10m，小球将经过多长时间到达地面；小球落地点距Q点的水平距离。 一、单选题 1．如图所示，虚线两侧的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ均垂直于纸面向里，磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从虚线上P点沿与虚线成角的方向、以速度垂直磁场方向射入磁场Ⅰ，从虚线上的Q点第一次进入磁场Ⅱ；一段时间后粒子再次经过Q点，P点和Q点的距离为L，不计粒子的重力，则磁场Ⅰ的磁感应强度大小和粒子两次经过Q点的时间间隔分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．如图所示，圆心为、半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，、两点等高，点为圆弧轨道最低点，在轨道的左半边有方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场，点为圆弧上的一点，连线与夹角为45°。一带负电的小球（可视为质点），从轨道右端点无初速度释放，运动过程中始终未脱离轨道，已知点在磁场内，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．小球滑到轨道左侧后，不会到达点 B．小球经过点时的向心加速度大小为 C．小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等 D．小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力大于向右经过点时对轨道的压力 3．如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B方向垂直于纸面向里，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该带电粒子（　　） A．带有电荷量为的负电荷 B．沿圆周逆时针运动 C．粒子运动到最低点的时电势能最低 D．运动的速率为 4．如图所示，在平面直角坐标系中只有第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，点M的坐标为。一电荷量为q、质量为m的带电粒子以某一速度从点M与y轴负方向成37°角垂直磁场射入第四象限，粒子恰好垂直穿过x轴，已知，。若不考虑粒子重力，下列说法正确的是（   ） A．粒子可能带负电 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 C．粒子的速度大小为 D．若仅减小磁感应强度大小（不为零），粒子可能不会穿过x轴 5．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子a、b沿直径方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则两粒子在磁场中（　　） A．运动经历时间之比为 B．做匀速圆周运动周期之比为 C．做匀速圆周运动的速率之比为 D．运动轨迹半径之比为 二、多选题 6．如图所示，在三角形OMN区域内存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，。磁场的边界MN上放置着一长度为L的挡板，挡板中心处有一小孔K。在ON的左侧空间有质量为m、电荷量为+q的粒子流均以初速度v平行OM进入磁场，到达K孔的粒子可沿任意角度穿过小孔，不考虑粒子与挡板碰撞后的运动情况，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子垂直挡板射出小孔K，则粒子的速度大小为 B．若粒子能从小孔K射出，则粒子的最小速度为 C．若粒子以最小的速度通过小孔K，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子的速度大小为且能从小孔K射出，则粒子在磁场中的运动时间为 7．如图所示，在x轴上方有一个无限大的垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在xOy平面内，从原点O处以速率v发射一个带负电的粒子，方向与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，不计重力，则（　　） A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越长 D．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 8．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则（    ） A．液滴带负电 B．液滴顺时针运动 C．液滴做圆周运动的速度大小为 D．液滴做圆周运动过程中，电场力始终不做功 三、解答题 9．真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 10．利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3带电粒子在匀强磁场中的运动（知识解读）（解析版） •知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 •知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 •知识点3 带电粒子在组合场中的运动 •知识点4 带电粒子在叠加场中的运动 •作业 巩固训练 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 2、若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 【典例1-1】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．a、b两粒子所带电荷的电性相同 B．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．穿过磁场区域的过程α粒子运动的时间较长 【答案】D 【详解】A．粒子的运动偏转轨迹相反，根据左手定则可知，粒子电性相反，故A错误； B．粒子沿圆形磁场的直径飞入，做出圆心如图所示： 由图可知 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力 解得 两粒子的质量和电荷量大小相等，所以 故B错误； C．根据左手定则可知洛伦兹力始终与速度垂直，不做功，故C错误； D．粒子在磁场中运动的周期 圆心角为，在磁场中运动的时间 两粒子的质量和电荷量大小相等，所以周期相等，因为 所以穿过磁场区域过程中所用时间 故D正确。 故选D。 【典例1-2】（多选）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带电小球从O点正上方某处以初速度水平抛出，最后小球恰好经过O点，已知小球质量为，电量为，取重力加速度，，忽略空气阻力，则其经过O点时动能可能为（　　） A．0.020J B．0.350J C．0.425J D．0.740J 【答案】CD 【详解】由于磁场处于竖直方向，在竖直方向的分速度不会产生洛伦兹力，水平方向的分速度产生洛伦兹力。将小球的运动分解为以初速度的水平方向匀速圆周运动和竖直方向自由落体运动，对于水平方向匀速圆周运动有 解得轨道半径为 周期为 则小球从水平抛出到经过O点所用时间满足 （n=1,2,3…） 可得小球经过O点竖直分速度为 小球经过O点时的动能 （n=1,2,3…） 代入数据 ，；，；，；， 故选CD。 【典例1-3】如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子将从MQ边射出，设偏向角为，有 解得 可知粒子在磁场中运动时间为 由 解得 【变式1-1】如图所示，一个粒子从x轴上的P点以速度沿与x轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子从坐标原点O以速度沿与x轴成的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则等于（     ） A．3:1 B．1:3 C．4:1 D．1:4 【答案】B 【详解】画出粒子运动轨迹如图 根据几何可知（）粒子运动的半径为 质子（）运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故选B。 【变式1-2】（多选）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 【答案】CD 【详解】A．当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图1所示。由图可知粒子在磁场中运动的最长时间 故A错误； B．当粒子运动轨迹刚好与AB边相切时，从AB边射出的粒子速度最小，轨迹如图2所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从AB边射出的粒子的最小速度 故B错误； C．当粒子运动轨迹刚好与CD边相切时，从CD边射出的粒子速度最小，轨迹如图3所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从CD边射出的粒子的最小速度 故C正确； D．由图2、图3中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度 故D正确。 故选CD。 【变式1-3】质量为m、电荷量为−q（q > 0）的粒子从M点以速度v射入半径为R的圆形匀强磁场区域，经过圆心O后从N点射出，O、M、N三点刚好构成等边三角形，求： (1)粒子做匀速圆周运动的半径r； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆弧经过O、M、N三点刚好构成边长为R的等边三角形，则圆弧的圆心在等边三角形的外心上，由几何关系可知 （2）由洛伦兹力提供向心力 解得 （3）粒子在磁场中运动的圆心角 可得 解得 【点睛】 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、由qvB＝m，可得r＝。 2、由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 3、圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、半径的确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 【典例2-1】如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为、，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是（    ） A．电子的运动轨迹为PENCMDP B． C．电子从射入磁场到回到P点用时为 D．电子在磁场中受到的洛伦兹力大小是在磁场中受到的洛伦兹力大小的2倍 【答案】D 【详解】A．根据左手定则可知，电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运动轨迹为PDMCNEP，故A错误； BD．由题图可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中的运动半径的一半，即 由洛伦兹力提供向心力 可得 可知 所以电子在磁场中受到的洛伦兹力大小是在磁场中受到的洛伦兹力大小的2倍，故B错误，D正确； C．电子从射入磁场到回到P点用时为 故C错误。 故选D。 【典例2-2】（多选）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为-q（q>0）的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【答案】BC 【详解】A．带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误； B．粒子垂直于BC边射出，如图甲所示 则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即 故B正确； C．粒子从C点射出，如图乙所示 根据几何关系可得 解得 则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为 又有 则粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D．由 可知 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示 粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误。 故选BC。 【典例2-3】2023年10月在沈阳举行第九届中国二次离子质谱会议。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，在下方存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一个带电粒子在O处以速度v垂直磁场边界入射，在磁场中偏转后落在Q处，P、O、Q、在同一直线上。已知O、Q两点间的距离为d，粒子重力不计。求 （1）带电粒子带何种电荷； （2）带电粒子在磁场中运动的时间t； （3）带电粒子的比荷。 【答案】（1）正电荷；（2）；（3） 【详解】（1）粒子进入磁场后向右偏转，由左手定则可知粒子带正电荷。 （2）根据匀速圆周运动规律得 根据几何关系可知圆周半径 解得 （3）根据牛顿运动定律得 解得 【变式2-1】质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 【答案】C 【详解】碰撞前，粒子a做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 碰撞过程根据动量守恒可得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 故选C。 【变式2-2】（多选）带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是（　　） A．碰后粒子做圆周运动的半径不变 B．碰后粒子做圆周运动的周期减小 C．碰后粒子做圆周运动的动量减小 D．碰后粒子做圆周运动的动能减小 【答案】AD 【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得 解得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期 ABC．设粒子M的电量为q，质量为，速度为。粒子N的质量为，碰撞前 碰撞前后两粒子动量守恒，则 碰撞后 即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，A正确，BC错误； D．碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，D正确； 故选AD。 【变式2-3】如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示 由周期公式 又由几何关系可知 则粒子在磁场中运动的最长时间 （2）当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为，轨迹半径为R，由几何关系可得 又 解得 当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示， 设此时初速度为，轨迹半径为，由几何关系可得 又 解得 综上可得 知识点3 带电粒子在组合场中的运动 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。 1、解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 2、“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 【典例3-1】如图所示，在两个边长均为2L的正三角形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，左右两侧有平行于MN、PQ的匀强电场（电场强度大小未知）。质量为m、带电荷量为+q的带正电粒子（不计重力），由电场中a1点由静止释放，恰好从OM边的中点进入磁场区域。已知经过下方磁场区域后，粒子能从OP的中点进入左侧电场，最终能从PQ上某点沿垂直PQ边界方向射出磁场区域，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．从a1到OM中点的距离为L C．从释放到从PQ边界出磁场，粒子运动的时间为 D．带电粒子在磁场中运动时的速度大小为 【答案】A 【详解】AB．由题意作出带电粒子的运动轨迹如图所示，粒子从a1到b，由动能定理可得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识可知，粒子从b到c的运动轨迹对应的圆心角为，可知粒子在c点的速度方向与水平方向的夹角为，粒子从c到d做类斜抛运动，则有 联立解得 A正确，B错误； C．粒子从a1点释放，到最后从f点出磁场，粒子在磁场中运动周期为 则有所用总时间 可得 C错误； D．离子从a1到b做匀加速直线运动，从b到c做匀速圆周运动，从c到d做类斜抛运动，从d到e做匀速圆周运动，从e到a2做匀减速直线运动，从a2到e做匀加速直线运动，从e到f做匀速圆周运动，由几何关系可知，粒子在磁场中的运动轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 D错误。 故选A。 【典例3-2】（多选）如图所示圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外（未画出）的匀强磁场，磁场边缘上的A点有一粒子源，该粒子源可以在纸面内向磁场中发射速度不同的同种带电粒子。竖直，与平行，且与圆周相切于B点，在的右侧有方向水平向左的匀强电场。当粒子的速度大小为且沿方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）    A．粒子的比荷为 B．速率同为的离子在磁场中运动的总时间与入射方向无关 C．若粒子的速度大小为且沿方向时，粒子第一次在磁场中运动的时间为 D．粒子的速度大小为且方向沿纸面内各个方向时，的圆周上有粒子射出磁场 【答案】ABC 【详解】A．根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示    根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 则 故A正确； B．当粒子的速度大小为且沿其他方向时，设粒子第一次由点射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示    设粒子运动轨迹的圆心为，轨迹所对圆心角为，由几何关系可知是一个菱形，所以粒子从点离开磁场时的速度方向平行于电场方向，粒子在电场中做匀变速直线运动先减速到零又反向加速从点再次进入磁场，设再次进入磁场后粒子运动轨迹的圆心为，轨迹所对圆心角为，由几何关系可得 速率为的粒子在磁场中做完整圆周运动的周期 所以速率为的粒子在磁场中运动的总时间 与粒子速度方向无关，故B正确； C．若粒子的速度大小为且沿方向时，运动轨迹如图所示    由 轨道半径 图中所示为，则 则 粒子第一次在磁场中运动的时间为 故C正确； D．粒子的速度大小为，轨道半径 则入射点与第一次出磁场的点连线为轨迹圆的直径时对应的磁场圆中的最大圆心角，则 ，如图所示    因为 粒子的速度大小为且方向沿纸面内各个方向时，的圆周上有粒子射出磁场。故D错误。 故选ABC。 【典例3-3】如图，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第二象限内存在方向垂直y轴、电场强度为E的匀强电场，一带电粒子从点由静止释放，经电场加速后从点进入磁场，最后从点垂直x轴射出磁场，不计粒子的重力，求： （1）带电粒子的速度大小； （2）带电粒子在磁场中的运动时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）带电粒子在电场中加速时，由动能定理得 带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力则有 由几何关系得 联立各式得 （2）带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为 带电粒子在磁场中的运动时间为 【变式3-1】如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，射入水平放置，电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为（不计重力，不考虑边缘效应）（　　） A．d随U1变化，d与U2无关 B．d与U1无关，d随U2变化 C．d随U1变化，d随U2变化 D．d与U1无关，d与U2无关 【答案】A 【详解】设带电粒子经电压为U1的电场加速后速度为v0，由动能定理，有 带电粒子在电势差为U2的电场中做类平抛运动，可将射出电场的粒子速度v分解成沿初速度方向与加速度方向，设出射速度与水平夹角为θ，则有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对应的半径为R，由几何关系可得，半径与直线MN夹角正好等于θ，则有 所以 又因为半径公式 则有 故d与m，v0成正比，与B，q成反比，即d只与U1有关，与U2无关，故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式3-2】（多选）如图所示，半径为L的圆边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，、是圆边界的两个互相垂直的直径，边长为L的正方形内存在匀强电场，边长与直径共线，电场与磁场垂直、与平行，质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力）从a点正对圆心O以初速度垂直射入磁场，从d点射出磁场立即进入电场，最后恰好从f点射出电场，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．电场方向由f指向e C．粒子在磁场与电场中运动时间的比值为 D．磁感应强度与电场强度大小的比值为 【答案】AC 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则，粒子带正电，A正确； B．粒子在电场中做类平抛运动，根据偏转特点，电场力方向水平向右，又因为粒子带正电，所以电场方向由e指向f，B错误； C．根据粒子在磁场中做匀速圆周运动的规律，粒子在磁场中运动的时间 在电场中运动时间为 则 C正确； D．设匀强磁场的磁感应强度为B，由洛伦兹力充当向心力 解得 在电场中沿着方向以速度做匀速直线运动 沿着电场力方向做初速度为0的匀加速直线运动 解得 则 D错误。 故选AC。 【变式3-3】如图所示，水平放置的两块长直平行金属板、相距为，、间加有电压，板下方空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电的粒子（不计重力），从贴近板的左端以的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝处穿过板进入匀强磁场，最后粒子打到板的处（图中未画出）被吸收。已知到板左端的距离为，求： （1）粒子在电场里面做什么运动？ （2）进入磁场时速度的大小和方向； （3）P、Q之间的距离； 【答案】（1）类平抛（2），方向与板夹角为（3） 【详解】（1）由题意可知，当粒子进入电场中，电场力与初速方向垂直，且电场力恒定不变，所以粒子在电场中做类平抛运动。 （2）粒子在电场中做类平抛运动，在水平方向上有 在竖直方向上有 联立可得 粒子进入磁场时的速度大小为 解得 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可知 解得 根据图中几何关系可知 知识点4 叠加场 电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。 1、是否考虑粒子重力 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力。 2、处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路 3、叠加场中三中场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向:正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关 W=qU电场力做功改变电势能 磁场 大小:f=qvB(v⊥B) 方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 【典例4-1】如图所示，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c恰好做匀速圆周运动，比较它们的质量、、间的关系，正确的是（　　） A．最大 B．最大 C． D．最小 【答案】D 【详解】由力的平衡条件可知，a所受电场力向上，则有 可知电场方向向下，则三个油滴带负电，a静止，受洛伦兹力是零； 可知b所受电场力向上，向右做匀速运动，受洛伦兹力向下，由力的平衡条件则有 c做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，在竖直方向受力平衡，可得 由以上解析可知，最小。 故选D。 【典例4-2】（多选）如图所示，在一个边长为d的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从图中A点以速度v0沿AB方向进入该区域，如果去除电场，粒子恰从D点飞出区域；如果去除磁场，粒子也恰从D点离开区域，不计粒子的重力。则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．匀强电场的电场强度大小为 【答案】AC 【详解】AB．去除电场后只有匀强磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由几何关系可得 根据牛顿第二定律得 解得 故A正确，B错误； CD．去除磁场后只有匀强电场时，带电粒子做类平抛运动，由牛顿第二定律得 在水平方向 在竖直方向 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【典例4-3】如图，水平放置的两块带电金属极板a、b平行正对，极板长度和板间距都为l，板间存在着竖直向下、大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场、磁场只存在于两板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端中央沿水平方向射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若撤去电场，该粒子仍以速度v0从两极板的左端中央沿水平方向射入极板间，为使粒子能从磁场中射出，求磁场的磁感应强度大小范围。      【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）粒子在板间做匀速直线运动，则有 解得 （2）①第一种情况：粒子从左端射出，如图所示，由几何关系得 由牛顿第二定律得 解得 则有    ②第二种情况：粒子从右端射出，由几何关系得 由牛顿第二定律得 解得： 所以，磁感应强度的大小范围 或 【变式4-1】在一宽度为的区域中，存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一束带电粒子（重力不计）以速度垂直入射时恰好不改变方向。如果粒子入射时只有电场，可测得粒子束穿过电场时沿竖直方向上偏了。若粒子入射时只有磁场，粒子束能从右侧离开磁场时，偏离原方向的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，粒子入射时恰好不改变方向，则 若只有电场时 若只有磁场时 设偏转距离为y＇，由几何关系可知 联立解得 故选B。 【变式4-2】（多选）如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道（管道内径略大于小球直径），下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．磁场和电场的大小关系为 C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动 D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能守恒 【答案】CD 【详解】A．经分析，洛伦兹力不做功，重力做正功，而小球动能不变，电场力一定做负功，小球带正电，故A错误； B．仅当支持力为零，电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，有 qE=qv0Bsin30° 即 故B错误； C．因为电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，说明合力和速度方向垂直，撤去磁场后重力和电场力合力不做功，支持力不做功，则小球仍沿杆做匀速直线运动，故C正确； D．撤去电场，只有重力对小球做功，小球的机械能不变，故D正确； 故选CD。 【变式4-3】在地面上方存在相互正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁感应强度B=1T，电场强度E=5N/C，方向如图所示。一质量为m=0.5g、电量未知的小球恰好沿与水平方向成的PQ方向由P向Q做直线运动。（当地重力加速度为），求： （1）带电小球的电性和电量；小球运动的速率。 （2）当小球运动到Q点撤去匀强磁场，此时Q距地面的高度为h=10m，小球将经过多长时间到达地面；小球落地点距Q点的水平距离。 【答案】（1）小球带正电，，；（2）， 【详解】（1）由题意可知，带电小球受力平衡，如图所示 为小球受电场力，为小球受洛伦兹力，因此可知小球带正电，由图可得 解得 （2）当小球运动到Q点撤去匀强磁场，则有小球在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向小球做竖直上抛运动，则有 又有 代入数据解得 一、单选题 1．如图所示，虚线两侧的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ均垂直于纸面向里，磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从虚线上P点沿与虚线成角的方向、以速度垂直磁场方向射入磁场Ⅰ，从虚线上的Q点第一次进入磁场Ⅱ；一段时间后粒子再次经过Q点，P点和Q点的距离为L，不计粒子的重力，则磁场Ⅰ的磁感应强度大小和粒子两次经过Q点的时间间隔分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得，粒子在磁场Ⅰ中运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场Ⅱ的磁感应强度是磁场Ⅰ的磁感应强度的2倍，所以粒子在磁场Ⅱ中运动的半径为 粒子在磁场Ⅰ中运动的周期为 粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为 两次经过Q点的时间间隔为 故B正确。 2．如图所示，圆心为、半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，、两点等高，点为圆弧轨道最低点，在轨道的左半边有方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场，点为圆弧上的一点，连线与夹角为45°。一带负电的小球（可视为质点），从轨道右端点无初速度释放，运动过程中始终未脱离轨道，已知点在磁场内，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．小球滑到轨道左侧后，不会到达点 B．小球经过点时的向心加速度大小为 C．小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等 D．小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力大于向右经过点时对轨道的压力 【答案】C 【详解】A．由于洛伦兹力不做功，所以小球在光滑半圆弧绝缘轨道运行时，小球的机械能守恒，则小球滑到轨道左侧后，刚好能到达点，故A错误； B．小球从点到点，根据动能定理可知 球经过点时的向心加速度大小为 联立解得 故B错误； C．由于小球在光滑半圆弧绝缘轨道运行时机械能守恒，则小球经过任意同一水平面的左右两侧圆弧轨道的速度大小相等，根据对称性可知小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等，故C正确； D．设小球经过点的速度为，小球在磁场中，当小球向左经过点，根据牛顿第二定律可得 当小球向右经过点，根据牛顿第二定律可得 可得 即小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力小于向右经过点时对轨道的压力，故D错误。 故选C。 3．如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B方向垂直于纸面向里，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该带电粒子（　　） A．带有电荷量为的负电荷 B．沿圆周逆时针运动 C．粒子运动到最低点的时电势能最低 D．运动的速率为 【答案】A 【详解】A．带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，电场力方向竖直向上，与电场方向相反，则粒子带负电，令电荷量大小为q，则有 解得电荷量 故A正确； B．粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，粒子带负电，根据左手定则可判断粒子沿顺时针方向运动，故B错误； C．结合上述可知，电场力方向竖直向上，粒子运动到最低点，电场力做负功最多，则粒子运动到最低点的时电势能最高，故C错误； D．粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 结合上述有 解得 故D错误。 故选A。 4．如图所示，在平面直角坐标系中只有第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，点M的坐标为。一电荷量为q、质量为m的带电粒子以某一速度从点M与y轴负方向成37°角垂直磁场射入第四象限，粒子恰好垂直穿过x轴，已知，。若不考虑粒子重力，下列说法正确的是（   ） A．粒子可能带负电 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 C．粒子的速度大小为 D．若仅减小磁感应强度大小（不为零），粒子可能不会穿过x轴 【答案】C 【详解】A．由题中条件并通过左手定则分析可知，该粒子一定带正电，A错误； B．作出粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 解得 B错误； C．由牛顿第二定律 解得 C正确； D．如果仅减小磁场的磁感应强度大小，由知粒子的轨迹半径增大，粒子一定仍从x轴穿过，D错误。 故选C。 5．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子a、b沿直径方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则两粒子在磁场中（　　） A．运动经历时间之比为 B．做匀速圆周运动周期之比为 C．做匀速圆周运动的速率之比为 D．运动轨迹半径之比为 【答案】D 【详解】AB．作出带电粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子b在磁场中转过的角度为，粒子a在磁场中转过的角度为，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有 结合圆周运动的知识有 因此周期 两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，可得周期相同，可得 则 选项AB错误； CD．设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得 解得 根据 可得 选项C错误，D正确。 故选D。 二、多选题 6．如图所示，在三角形OMN区域内存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，。磁场的边界MN上放置着一长度为L的挡板，挡板中心处有一小孔K。在ON的左侧空间有质量为m、电荷量为+q的粒子流均以初速度v平行OM进入磁场，到达K孔的粒子可沿任意角度穿过小孔，不考虑粒子与挡板碰撞后的运动情况，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子垂直挡板射出小孔K，则粒子的速度大小为 B．若粒子能从小孔K射出，则粒子的最小速度为 C．若粒子以最小的速度通过小孔K，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子的速度大小为且能从小孔K射出，则粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．根据题意，作出粒子垂直挡板射出小孔K的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A错误； BC．根据题意，当轨迹半径最小时﹐粒子的速度最小，作出粒子以最小速度从小孔K射出的运动轨迹如图乙所示。根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 联立可得 又粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为90°，则粒子在磁场中运动的时间为 由和可得 则 B正确，C错误； D．在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在三角形OMN区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图丙所示。粒子从小孔K射出时，由几何关系有 则有 粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间为 D正确。 故选BD。 7．如图所示，在x轴上方有一个无限大的垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在xOy平面内，从原点O处以速率v发射一个带负电的粒子，方向与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，不计重力，则（　　） A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越长 D．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 【答案】BC 【详解】AB．若θ角一定，速度v越大，根据 可得 则带电粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，由几何关系可知，圆弧轨迹所对应的圆心角不变，根据 可知粒子在磁场中运动的时间不变，粒子离开磁场的位置距O点距离 越远，选项A错误，B正确； C．若速度v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧所对的圆心角2θ越大，粒子在磁场中运动的时间越长，选项C正确； D．若速度v一定，当θ=90°时，粒子离开磁场的位置距O点的距离最远，为半径的2倍，选项D错误。 故选BC。 8．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则（    ） A．液滴带负电 B．液滴顺时针运动 C．液滴做圆周运动的速度大小为 D．液滴做圆周运动过程中，电场力始终不做功 【答案】AB 【详解】A．液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动，液滴受到的重力和电场力是一对平衡力，故液滴受到的电场力方向竖直向上，与电场方向相同，可知液滴带负电，故A正确； B．磁场方向垂直向里，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可以判断出液滴顺时针运动，故B正确； C．物体做匀速圆周运动，由平衡关系得 液滴所受的洛伦兹力提供液滴做圆周运动的向心力 解得 故C错误； D．液滴做圆周运动过程中，电场力方向不是始终与速度方向垂直，故电场力不是始终不做功，故D错误。 故选AB。 三、解答题 9．真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子刚好未能从边界射出磁场，轨迹如图所示 根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动的周期 粒子运动的时间 （2）当粒子初速度平行MN时，轨迹如图所示 根据几何关系可知 由图甲知 则PQ边界有粒子射出的长度 10．利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 【答案】(1)①2m，1m；②；③ (2) 【详解】（1）①离子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 所以离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为 ②如图所示，根据几何关系有 解得 ， 离子在区域Ⅰ中沿x轴正方向的位移大小为 所以离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标为 ③对于离子在区域Ⅱ中的运动，在x轴方向上根据动量定理有 由题意可知上式中 根据运动学公式可知离子在区域Ⅱ中沿x、y方向的位移大小为分别为 解得 所以离子离开磁场区域Ⅱ的横坐标为 即坐标为 （2）对离子从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的运动过程，在x方向上根据动量定理有 由题意整理得 类比正弦式交流电平均值和峰值的关系式可知 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $$