第三章 投影与视图知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第三章 投影与视图知识归纳与题型突破（题型清单） 1.投影 平行投影：由于太阳距离地球很远，从太阳射到地面的光线可以看成平行光线，因此这种投影称为平行投影。 平行投影包括正投影。 中心投影：如果光线从一点发出（如灯泡、电影放映机、幻灯片的光线），这样的投影称为中心投影。 注意：a.判断投影类型的关键是弄清楚物体与其影子上的对应点的连线是平行还是相交； b.在应用平行投影求物体的高度时，注意在同一时刻，不同物体的高度与其影长成正比。 2.棱柱、圆锥 直棱柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形； 圆锥的侧面积公式：S侧=πrl，表面积公式：S表=πrl+πr2（r是底面圆的半径，l是母线长） 3.三视图 名称 概念 性质 主视图 自几何体的前方向后进行正投影，在正面投影面上得到的视图称为主视图 1.主视图、左视图、俯视图都是几何体在某个方向的正投影； 2.从不同的方向观察几何体，得到的三视图可能是不同的. 左视图 自几何体的左侧向右进行正投影，在侧面投影面上得到的视图称为左视图 俯视图 自几何体的上方向下进行正投影，在水平投影面上得到的视图称为俯视图 要点诠释：在画三视图时，要求主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，能看到的部分的轮廓线画成实线，存在但看不到的部分的轮廓线画成虚线。 题型一　平行投影 例题1-1：（24-25九年级上·全国·课后作业）下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．投影仪 B．手电筒 C．太阳 D．路灯 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 【详解】解：太阳光线所形成的投影是平行投影， 故选：C． 例题1-2：（23-24九年级上·四川成都·期末）小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A．2m B．m C．m D．m 【答案】D 【详解】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是， 根据同一时刻物高与影长成比例，得， ． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 【答案】B 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、皮影戏中的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； B、不同时间下的树影，属于平行投影，本选项符合题意； C、路灯下的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； D、舞台上的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影；熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义即可解答． 【详解】解：因为太阳光可认为是平行光线，则日晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可． 【详解】解：当太阳光斜射矩形窗框时，其投影为平行四边形， 当太阳光直射矩形窗框时，其投影为矩形， 当太阳光与矩形窗框平行时，其投影为线段． 故选：C． 4．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的身高是米，在阳光下量得他的影子长是米，且同一时刻量得身旁的旗杆的影子长为米，那么旗杆的高度应该为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了投影，根据同一时刻，物体的高度和影长成比例，据此列方程即可求解，掌握“同一时刻物高与影长成比例”是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴米， ∴设旗杆的高度为米， 故选：． 题型二　中心投影 例题2-1：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是（   ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．月亮 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影的知识，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 找到不是灯光的光源即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 故选：D． 例题2-2：（2024·湖南·模拟预测）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（    ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律．在灯光下，离点光源越近，影子越大；离点光源越远，影子越小，所以当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 3．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 4．（2023·辽宁阜新·二模）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，即可得出投影三角形的对应边长． 【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为， ∴投影三角形的对应边长为：． 故选：B． 题型三　直棱柱及其展开图相关计算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 【答案】B 【分析】本题主要考查几何图形，包装盒体积，据此即可求得答案． 【详解】包装盒体积 故选：B 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 【答案】224000 【分析】本题考查图形的展开图，从平面图形到立体图形的思维，根据体积公式解题是关键．从展开图可得包装盒为长方体，先求出底面积，再乘以高计算即可． 【详解】解：包装盒的底面积为，包装盒的高为， 这种牛奶包装盒的体积是． 故答案：224000． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个长方体的表面展开图中四边形是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，利用已知图形得出各边长是解题关键． 利用正方形的性质以及图形中标注的长度得出，进而得出长方体的长、宽、高进而得出答案． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 立方体的高为：， ， 原长方体的体积是：． 故答案为：12． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 【答案】300 【分析】本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是确定几何体侧面是什么图形．根据题意可知该六棱柱的侧面是6个长为，宽为的长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 即侧面展开图形面积是． 故答案为：300． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠； （1）根据长方体的展开图可得面D与面B相对，结合题意，即可求解； （2）根据题意求得，然后根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知，求该长方体包装盒的体积．    【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，由题图，得该长方体包装盒的长宽，宽高，宽高高，求得a，b，c即可求解． 【详解】解：由题意，得，， 所以该长方体包装盒的体积为． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【答案】(1)六棱柱； (2)；． 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图． 根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱； 侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积. 【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱； （2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形， 这个包装盒的侧面积是； 这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形， 如下图所示， 一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形， 六棱柱底面正六边形的边长为， 且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长， 每一个正等边三角形的面积为， 六棱柱的两个底面的面积之和为， ． 7．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 题型四　圆锥的有关计算 例题：（2024·内蒙古呼和浩特·二模）圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．求出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：该圆锥底面周长， ∵母线长为， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为， ∴，解得：， 即展开图（扇形）的圆心角是， 圆锥的全面积， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：C． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 【详解】根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的母线、底面半径和高的关系，圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，圆锥的体积，熟练掌握圆锥的相关计算公式是解题的关键．圆锥的母线、底面半径和高的关系：；圆锥侧面展开图的圆心角计算公式：；圆锥的体积是．连结，，证明是等边三角形，继而求得的长，然后利用圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，求出底面半径，根据母线、底面半径和高的关系，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可作答． 【详解】连结，， ，为半径， ， 是等边三角形， ， 即圆锥的母线长， ， ， ， ， ， 解得， ， 即该圆锥的体积为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 题型五　三视图 例题：（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图是一件经典款的六柱鲁班锁，它起源于中国古代建筑的榫卯结构，是用6根长短相同且有凸凹部分的长方体木条制作的一件可拼可拆的十字立方体．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：这个六柱鲁班锁的三视图为： 这个六柱鲁班锁的左视图与俯视图相同，主视图与俯视图和左视图不相同． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．如图，是某个部件“榫”的实物图，那么它的左视图是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的左视图为： 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： ， 故选A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．五棱锥 【答案】C 【分析】本题考查由三视图得到立体图形，根据主视图，左视图为三角形，俯视图为有对角线的正方形，即可解题． 【详解】解：立体图形的主视图，左视图为三角形，俯视图为有对角线的正方形， 这个立体图形是四棱锥， 故选：C． 4．（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，从左边看是一个圆中间有一个点，右边的圆柱看不到应该画虚线，据此求解即可． 【详解】解：从左边看是一个圆中间有一个点，右边的圆柱看不到应该画虚线，可得选项C的图形． 故选：C． 题型六　根据三视图求几何体的表面积、体积 例题6-1：（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是． 故选：C． 例题6-2：（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 ；    【答案】 【分析】本题考查了由几何体的三视图求体积，由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱， 底面是两条直角边分别为、的直角三角形，高是，根据棱柱的体积公式计算即可求解，由三视图的形状得出几何体是三棱柱是解题的关键． 【详解】解：由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱， 底面是两条直角边分别为、的直角三角形，高是， ∴它的体积为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是半圆，可得到此几何体为半圆柱；再用半圆的面积乘高，即为体积． 【详解】解：由形状图可知这个立体图形为半个圆柱， 所以该几何体的体积． 故答案为： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个几何体的三视图． (1)该几何体名称是_______； (2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积． 【答案】(1)长方体 (2)这个长方体的表面积为． 【分析】本题考查根据三视图判定几何体，几何体的表面积等知识． （1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可； （2）根据长方体的表面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：这个几何体是长方体， 故答案为：长方体； （2）解：这个长方体的表面积． 这个长方体的表面积为． 4．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 5. （24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是实心零件的二种视图，求该零件的表面积．    【答案】该零件的表面积． 【分析】本题考查了根据三视图求面积．根据圆柱体和长方体的表面积公式解答即可． 【详解】解：由三视图可得：此几何体为圆柱体和长方体的组合体， 该零件的表面积． 答：该零件的表面积． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个立体图形的主视图和俯视图，求这个立体图形的体积．（π取） 【答案】 【分析】该题主要考查了三视图，圆柱和和长方体体积公式等知识点，解题的关键是理解题题． 根据这个立体图形的主视图和俯视图可得这个立体图形是由一个圆柱和一个长方体组成的，根据圆柱和和长方体体积公式求解即可． 【详解】解：． 所以该几何体的体积为． 题型七　分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 例题：（24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三视图．解决本题的关键是根据左视图显示的各个位置小立方体的数量在俯视图中标出相应的位置小立方体的数量可以能的情况． 【详解】解：当几体需要小立方块最多时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； 当几体需要小立方块最少时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； ． 故答案为： ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要 块小立方体．最多需要 块小立方体． 【答案】 5 7 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案． 根据主视图可得这个几何体共有2层，再分最少和最多两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】 解：最少分布个数如下所示，共需5个； 最多分布个数如下所示，共需7个 故答案为：5、7． 2．（2024·四川成都·模拟预测）由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的最大值为 ． 【答案】13 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数． 【详解】解：如图所示： 即的最大值为：． 故答案为：13． 3．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）由个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是 【答案】23 【分析】本题主要考查三视图和代数式求值，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，得出a的值，即可得出答案． 【详解】解：由题中所给出的主视图知立体图形共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层；由俯视图可知左侧两行，右侧一行，于是，可确定右侧只有一个小正方体，而左侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块，能取到的最大值是5，即，则． 故答案为：23． 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．    【答案】9 【分析】本题考查了由三视图判断小正方体的个数，根据左视图可猜想俯视图每一排的个数情况，即可求解． 【详解】由左视图和俯视图可知，    ∴小正方体的最少个数为（个）， 故答案为：9． 题型八　最短路线问题 例题：（23-24九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题． 【详解】解：将圆锥侧面沿剪开展平，连接，则就是所求绳子长． 由得， 作，则，， ∴， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 投影与视图知识归纳与题型突破（题型清单） 1.投影 平行投影：由于太阳距离地球很远，从太阳射到地面的光线可以看成平行光线，因此这种投影称为平行投影。 平行投影包括正投影。 中心投影：如果光线从一点发出（如灯泡、电影放映机、幻灯片的光线），这样的投影称为中心投影。 注意：a.判断投影类型的关键是弄清楚物体与其影子上的对应点的连线是平行还是相交； b.在应用平行投影求物体的高度时，注意在同一时刻，不同物体的高度与其影长成正比。 2.棱柱、圆锥 直棱柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形； 圆锥的侧面积公式：S侧=πrl，表面积公式：S表=πrl+πr2（r是底面圆的半径，l是母线长） 3.三视图 名称 概念 性质 主视图 自几何体的前方向后进行正投影，在正面投影面上得到的视图称为主视图 1.主视图、左视图、俯视图都是几何体在某个方向的正投影； 2.从不同的方向观察几何体，得到的三视图可能是不同的. 左视图 自几何体的左侧向右进行正投影，在侧面投影面上得到的视图称为左视图 俯视图 自几何体的上方向下进行正投影，在水平投影面上得到的视图称为俯视图 要点诠释：在画三视图时，要求主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，能看到的部分的轮廓线画成实线，存在但看不到的部分的轮廓线画成虚线。 题型一　平行投影 例题1-1：（24-25九年级上·全国·课后作业）下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．投影仪 B．手电筒 C．太阳 D．路灯 例题1-2：（23-24九年级上·四川成都·期末）小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A．2m B．m C．m D．m 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 2．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 4．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的身高是米，在阳光下量得他的影子长是米，且同一时刻量得身旁的旗杆的影子长为米，那么旗杆的高度应该为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 题型二　中心投影 例题2-1：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是（   ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．月亮 例题2-2：（2024·湖南·模拟预测）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（    ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 4．（2023·辽宁阜新·二模）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为（    ） A． B． C． D． 题型三　直棱柱及其展开图相关计算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个长方体的表面展开图中四边形是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知，求该长方体包装盒的体积．    6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 7．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 题型四　圆锥的有关计算 例题：（2024·内蒙古呼和浩特·二模）圆锥的底面直径是，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的全面积是 （结果用含的式子表示）． 巩固训练 1．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 ． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为 （结果保留）． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 题型五　三视图 例题：（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图是一件经典款的六柱鲁班锁，它起源于中国古代建筑的榫卯结构，是用6根长短相同且有凸凹部分的长方体木条制作的一件可拼可拆的十字立方体．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．如图，是某个部件“榫”的实物图，那么它的左视图是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．五棱锥 4．（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 题型六　根据三视图求几何体的表面积、体积 例题6-1：（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 例题6-2：（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 ；    巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个几何体的三视图． (1)该几何体名称是_______； (2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积． 4．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 5. （24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是实心零件的二种视图，求该零件的表面积．    6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个立体图形的主视图和俯视图，求这个立体图形的体积．（π取） 题型七　分类讨论，已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 例题：（24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期中）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要 块小立方体．最多需要 块小立方体． 2．（2024·四川成都·模拟预测）由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的最大值为 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）由个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．    题型八　最短路线问题 例题：（23-24九年级上·四川广安·期末） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$