8.2 函数与数学模型【7大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

8.2 函数与数学模型 【知识梳理】 · 考点一：利用二次函数模型解决实际问题 · 考点二：分段函数模型 · 考点三：分式型函数模型 · 考点四：指数函数模型 · 考点五：对数函数模型 · 考点六：幂函数模型 · 考点七：给定函数模型求解 【考点梳理】 知识点一：函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二：应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【题型归纳】 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 1．（20-21高一上·河南开封·期末）已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（    ） A．80元 B．60元 C．50元 D．40元 【答案】D 【分析】依题意可得利润函数，进而可得结果. 【详解】由题意可知，利润， 令，则．当且仅当即（元） 时利润最大． 故选：D. 2．（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是， 面积， 墙长，所以， 解得， 对称轴方程， 抛物线开口向下，，函数在上递减， 当时，最大为（）， 故选：C． 题型二：分段函数模型 3．（24-25高一上·广东惠州）某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完. (1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元? 【答案】(1) (2)全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元 【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解. （2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 所以 （2）若，则， 当时，； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为， 所以当全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元． 4．（24-25高一上·江苏淮安·期中）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【答案】(1) (2)90万件 【分析】（1）根据已知条件求得年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）利用二次函数的性质和基本不等式来求得最值. 【详解】（1）当时， ， 当时，． 故. （2）时，， ∴当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时取到等号， 由，得时，取得最大值. 答：年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大. 题型三：分式型函数模型 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 【答案】(1) (2)生产万台时，年利润最，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意，结合利润=销售收入-成本，即可得到年利润关于年产量的函数解析式为； （2）由（1）知，当时，，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为： （2）解：由（1）知，当时，， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元. 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得. （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 题型四：指数函数模型 7．（22-23高一下·湖南株洲·期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.    (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)13点 (3) 【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可； （2）根据题意列出不等式，求解出答案即可； （3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【详解】（1）当时，， 当时，把代入是常数 得：，解得： （2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中. 则， 解得：第一次注射药物后开始第二次注射药物， 即最迟13点注射药物. （3）第二次注射药物后， 每毫升血液中第一次注射药物的含量： 每毫升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为：. 8．（19-20高一上·山东烟台·期末）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析 (2)万元 【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可； （2）由，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数在上单调递增， 且当时， 因为 而所以当时恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. （2）由得 所以 所以公司的投资收益至少为万元. 题型五：对数函数模型 9．（22-23高一上·江西南昌·期末）在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于． (1)求a，b的值； (2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合和，得到，解出，再计算即可； （2）根据，化简整理得到，由此得到，即可得到答案． 【详解】（1）当时，； 当时，； 解得，即， 解得或（舍去），则； （2）由， 即，即， 故， 即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度． 10．（21-22高一上·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶） (1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费； (3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 【答案】(1)， (2)，元 (3)50千米/时 【分析】（1）行车所用时间为，汽车每小时油耗升，然后求解行车总费用. （2）当时，函数严格增，然后求解函数的最小值. （3）求出行车总费用，通过分段函数，求解函数的最小值即可. 【详解】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元， 而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，. （2）由（1）知， 令， 设， 则 因为，故，所以 所以当时，函数严格增， 则当时，行车油费最低，最低为元. （3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用 ， 当时，函数严格增，的最小值为， 当时，函数严格增，， 所以综上所述，最优车速为50千米/时. 题型六：幂函数模型 11．（21-22高一上·福建漳州·期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析 (2) 【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可； （2）根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 因为， 所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求； 函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求； 函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 当时，，满足奖金不超过90万元， 又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求. （2）函数模型， 因为奖金随收益增加而增加，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，恒成立， 即， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围是. 12．（24-25高一上·湖南·阶段练习）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． (1)若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． (2)物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则，所以，所以， 所以该火箭中燃料的质量； （2）由题意， 则，所以， 所以燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少. 题型七：给定函数模型求解 13．（24-25高一上·湖南·阶段练习）2023年全年，中国新能源汽车产量、销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，同比分别增长35.8%和37.9%，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，连续9年位居世界第一，新能源汽车出口120.3万辆，同比增长77.2%，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车进步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对葲型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据，如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 经画图研究可知该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系为． (1)求出函数的函数解析式． (2)张某驾驶一辆同型号电动汽车从A地出发，经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为510km的B地．出发前，汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保的的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为18kW的充电桩（充电量=充电功率充电时间）．若不充电，该电动汽车能否到达B地?并说明理由，若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数）． 【答案】(1) (2)不充电不能到达，理由见解析，充电，则所用时间最小值为7.4小时. 【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列方程求解； （2）利用函数关系，利用双勾函数的性质和基本不等式求解. 【详解】（1）将点代入函数，可得 ，解得， 所以. 经检验，点均满足， 所以. （2）设所需消耗电量为， 若不充电， 则， 因为函数在上单调递增， 所以在单调递增， 所以， 所以若不充电，该电动汽车不能到达B地. 若充电，所需充电量的最小值为， 所需充电时间的最小值为， 设该电动汽车从A地到达B地所用时间的最小值为， ， 则， 因为，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以该电动汽车从A地到达B地所用时间的最小值为7.4小时. 14．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会．据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为元时，旅游公司获得的总利润为万元（每张门票的销售利润=售价-供货价格）． (1)求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域； (2)每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值． 【答案】(1)，定义域为； (2)元时，最大利润为元． 【分析】（1）求出售价为元时的销售量，设此时浮动价格为，由条件求出利润，列方程求，由此再求，即其定义域； （2）结合函数解析式，利用基本不等式求每张门票所获利润的最大值. 【详解】（1）当每张门票售价定为元时，销售量为（万张）， 此时令每张门票的浮动价格为元， 则每张门票供货价格为（元），     故旅游公司所获总利润为（万元）， ∴比例系数，    ∴，定义域为； （2）由（1）知， ，     ∵， ∴，     当且仅当即时取得“=”号 ∴，当且仅当时取得“=”号 因此，每张门票售价定为元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为元． 【高分达标】 一、单选题 15．（24-25高一上·广东佛山·期中）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 【答案】D 【分析】根据奖励方案，得到奖金关于销售利润的分段函数解析式，进而分析得小江的销售利润即可得解. 【详解】由题意知当时，； 当时，； 所以， 当时，，故小江销售利润， 所以，解得， 所以小江的销售利润是20万元. 故选：D. 16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入计算即可． 【详解】由题意可得，解得，所以， 这种药物完全分解，即当时，有，即， 解得． 故选：B． 17．（24-25高一上·北京·期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】B 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：B． 18．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有，两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，，两个物体的温度分别为，，假设，两个物体的升温系数分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列式，利用指数、对数的运算性质，可得答案. 【详解】由题意得：，， 则，， ，， ，即. 故选：C. 19．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝（）.对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设的声音强度为，的声音强度为，则是的（   ） A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】将音量值，代入公式，计算出声音强度与声音强度的值，即得的比值． 【详解】由题知：，， ，， 即，， ，即是的10倍. 故选：B. 20．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：，为初始值，为半衰期，为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过(    )年.() A．155 B．159 C．162 D．166 【答案】B 【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果. 【详解】设氚含量变成初始量的大约需要经过年， 则，， 两边同时取倒数：， 两边同时取倒数整理得：年， 故选：B. 二、多选题 21．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 22．（24-25高一上·广东佛山·期中）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（    ） A． B．第4个月时，剩留量就会低于； C．每月减少的有害物质质量都相等; D．剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 【答案】ABD 【分析】首先求函数的解析式，再根据选项，代入函数值，即可判断选项. 【详解】由于函数的图象经过点，，得，故函数的关系式为.故A正确. 当时，，故B正确； 当时，，减少，当时，，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故C不正确； 分别令，解得，，故D正确. 故选：ABD 23．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为的管道中时，流量为 B．当气体在半径为的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】BD 【分析】根据题意解设方程，利用待定系数法求解方程，即可判断选项. 【详解】依题意可设为常数. 当气体在半径为的管道中时，流量为， 所以，解得，则. 当时，，A错误，B正确. 由，得，C错误，D正确. 故选：BD 24．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出. 【详解】设，则当时，. 可得， 则， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，且, 则有，解得， 又，故调节参数应控制在内， 结合选项可知：AB正确，CD错误； 故选：AB. 25．（24-25高一上·湖北武汉·期中）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】由函数图象逐一判断即可； 【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为，故A正确； 对于B，由图象可得该手机在前内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内下降的速度为，由，故C正确； 对于D，由图象可得该手机在电量上升了，所以进行了充电操作，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 26．（24-25高一上·山东·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：h）的函数关系式为，其中都是正的常数．已知在过滤的前5h消除了的污染物，前15h消除了的污染物，则 ． 【答案】27.1 【分析】根据所给函数模型，将值代入后，计算即可得解. 【详解】依题意，将，代入，得． 将，代入，得， 所以前15h消除了的污染物，则． 故答案为：27.1. 27．（24-25高一上·北京·阶段练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时． 【答案】24 【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间. 【详解】由已知得①，②， 将①代入②得，则． 当时，， 所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时， 故答案为：24 28．（24-25高一上·江苏·阶段练习）国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过 天后，气球体积不超过原来的（，结果保留整数）. 【答案】 【分析】依题意可得，设天后体积变为原来的，则，两式相除，结合对数的运算求出，即可得解. 【详解】由题意得，经过天后气球体积变为，经过天后，气球体积变为原来的， 即，即，则， 设天后体积变为原来的，即，即，则， 两式相除可得， 即， 所以天，则至少经过天后，气球体积不超过原来的. 故答案为： 29．（24-25高一上·全国·课后作业）为了有效地控制土地荒漠化的速度，减少沙尘暴等恶劣天气对环境以及居民生产生活的影响，西北某地区大力兴建防风林带，计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加．若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍，则增长率为 ；以此速率增加，要使护沙林面积达到原来的5倍及以上，至少需要种植新苗木 年（参考数据：，）． 【答案】 15%； 12 【分析】第一空：设增长率为，初始面积记为，根据题意可得，求解即可；设种植年后，护沙林面积达到原来的5倍及以上，则，求解可得，可得结论. 【详解】设增长率为，初始面积记为， 依题意可得，即，故，即增长率为； 设种植年后，护沙林面积达到原来的5倍及以上，则，即， 因为，则，即， 所以至少需要种植新苗木12年． 故答案为：；12． 四、解答题 30．（24-25高一上·吉林·期中）声音强度D（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 【答案】(1)（分贝） (2)噪音的能量范围为 (3)能量增加了倍 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，根据对数函数的性质解出； （3）令，，解得即可得结论. 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 所以，则， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）令，解得， 令，解得， 所以， 当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了倍． 31．（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． 【答案】(1) (2)每天6吨，利润最大，4575. 【分析】（1）由题意可得，即得范围. （2）先求出需要几天，再乘以每天的利润求总利润，利用二次函数求最大值即可. 【详解】（1）根据题意，， 得，即解得或， 又，可得． （2）设利润为y万元，则， ， 故时，万元． 32．（24-25高一上·辽宁·期中）2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 33．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； (2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意可列得分段函数，根据分段函数可求得累计经验值； （2）①根据题意得到关系式，将的值代入进去可求得最小值；②根据题意列得不等式，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）由题意可得：当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：； 若，则， 所以； （2）①由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，“玩家愉悦指数”取到最小值为； ②由题意可得：当时，恒成立， 整理得对任意恒成立， 因为的开口向上，对称轴， 则时，取到最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 34．（24-25高一上·湖南·阶段练习）首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资万元销售篮球器材，获得利润（万元）与成正比；投资万元销售足球器材，获得利润为（万元）（没有投资时的利润为万元），且满足. (1)求、的解析式； (2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)75万元，25万元；50万元 【分析】（1）根据可求出的值，可得出函数的解析式，设，由题意得出，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材，设他所获得的利润为（万元），可得出，化简函数解析式，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，所以，则， 所以，所以. 由题意可设，所以，所以 （2）设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材， 设他所获得的利润为（万元）， 则由题意有 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当王先生投资（万元）销售足球器材，投资（万元）销售篮球器材时， 他所获得的利润最大，最大利润为（万元）. 35．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10（千件），最大利润是8万元. 【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式； （2）由二次函数的值域即可得到的最值，再结合基本不等式代入计算，即可得到时的最值. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，，即， 当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 36．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①；  ②；  ③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】(1)选，理由见解析；(2)答案见解析；(3)55分钟 【详解】（1）选模型三：，理由如下： 对于模型一，时匀速增长；对于模型二，时，先慢后快增长；对于模型3，时，先快后慢增长， 由图象可知应选择先慢后快增长的函数模型，故选择模型三比较合适. （2）将代入得， 所以. 当时，，满足每天最多得分不超过6分条件， 所以函数解析式为. （3）由， 所以，解得， 所以每天运动时间不少于4.5分，则每天至少运动55分钟. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 函数与数学模型 【知识梳理】 · 考点一：利用二次函数模型解决实际问题 · 考点二：分段函数模型 · 考点三：分式型函数模型 · 考点四：指数函数模型 · 考点五：对数函数模型 · 考点六：幂函数模型 · 考点七：给定函数模型求解 【考点梳理】 知识点一：函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二：应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【题型归纳】 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 1．（20-21高一上·河南开封·期末）已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（    ） A．80元 B．60元 C．50元 D．40元 2．（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：分段函数模型 3．（24-25高一上·广东惠州）某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完. (1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元? 4．（24-25高一上·江苏淮安·期中）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 题型三：分式型函数模型 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 题型四：指数函数模型 7．（22-23高一下·湖南株洲·期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.    (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：） 8．（19-20高一上·山东烟台·期末）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 题型五：对数函数模型 9．（22-23高一上·江西南昌·期末）在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于． (1)求a，b的值； (2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：） 10．（21-22高一上·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶） (1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费； (3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 题型六：幂函数模型 11．（21-22高一上·福建漳州·期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·湖南·阶段练习）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． (1)若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． (2)物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 题型七：给定函数模型求解 13．（24-25高一上·湖南·阶段练习）2023年全年，中国新能源汽车产量、销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，同比分别增长35.8%和37.9%，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，连续9年位居世界第一，新能源汽车出口120.3万辆，同比增长77.2%，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车进步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对葲型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据，如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 经画图研究可知该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系为． (1)求出函数的函数解析式． (2)张某驾驶一辆同型号电动汽车从A地出发，经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为510km的B地．出发前，汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保的的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为18kW的充电桩（充电量=充电功率充电时间）．若不充电，该电动汽车能否到达B地?并说明理由，若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数）． 14．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会．据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为元时，旅游公司获得的总利润为万元（每张门票的销售利润=售价-供货价格）． (1)求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域； (2)每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值． 【高分达标】 一、单选题 15．（24-25高一上·广东佛山·期中）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时 17．（24-25高一上·北京·期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 18．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有，两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，，两个物体的温度分别为，，假设，两个物体的升温系数分别为，，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝（）.对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设的声音强度为，的声音强度为，则是的（   ） A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍 20．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：，为初始值，为半衰期，为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过(    )年.() A．155 B．159 C．162 D．166 二、多选题 21．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 22．（24-25高一上·广东佛山·期中）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（    ） A． B．第4个月时，剩留量就会低于； C．每月减少的有害物质质量都相等; D．剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 23．（24-25高一上·河北）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为的管道中时，流量为 B．当气体在半径为的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 24．（24-25高一上·江西南昌）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·湖北武汉·期中）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 三、填空题 26．（24-25高一上·山东·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：h）的函数关系式为，其中都是正的常数．已知在过滤的前5h消除了的污染物，前15h消除了的污染物，则 ． 27．（24-25高一上·北京·阶段练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时． 28．（24-25高一上·江苏·阶段练习）国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过 天后，气球体积不超过原来的（，结果保留整数）. 29．（24-25高一上·全国）为了有效地控制土地荒漠化的速度，减少沙尘暴等恶劣天气对环境以及居民生产生活的影响，西北某地区大力兴建防风林带，计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加．若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍，则增长率为 ；以此速率增加，要使护沙林面积达到原来的5倍及以上，至少需要种植新苗木 年（参考数据：，）． 四、解答题 30．（24-25高一上·吉林·期中）声音强度D（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 31．（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． 32．（24-25高一上·辽宁·期中）2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 33．（24-25高一上·江苏镇江）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； (2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 34．（24-25高一上·湖南）首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资万元销售篮球器材，获得利润（万元）与成正比；投资万元销售足球器材，获得利润为（万元）（没有投资时的利润为万元），且满足. (1)求、的解析式； (2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？ 35．（24-25高一上·贵州贵阳）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 36．（24-25高一上·山东烟台）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①；  ②；  ③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$