专题20有理数、方程、线段和角的新定义问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题20有理数、方程、线段和角的新定义问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.对于新定义问题要读懂题目，搜集信息，理解本质﹕ 要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在． 2.新定义型问题一般与代数知识结合较多，七年级涉及的知识有﹕ （1）有理数的运算、乘方的新定义问题． （2）整式的加减以及求值新定义问题 （3）一元一次方程的新定义问题 （4）线段和角的新定义问题 3.熟练掌握和运用数学的常用思想方法 我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题． 1．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于7的幸福数． (1)10与________是关于7的幸福数，与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断a与b是否是关于7的幸福数，并说明理由． (3)若，，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）定义一种新运算“★”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是：______（用含m，n的式子表示）； (2)解方程； (3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定 (1)求的值； (2)若关于n（）的方程满足：，求n的值． 5．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 6．（24-25七年级上·四川成都·期中）对于任意两个有理数和，规定一种新运算“”：当时，；当时，． (1)分别求与的值； (2)若，求的值． 7．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义 定义：对于任意两个不相等的有理数，，计算，，将这两个计算结果中的最小值称为，的“关联差”．例如：对于，，因为，，所以，的“关联差”为． (1)，的“关联差”是______； (2)，的“关联差”与，的“关联差”有什么关系，并说明理由； (3)1，（其中）的“关联差”是，求的值． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中是“共生有理数对”的是________； (2)若是“共生有理数对”，则________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 10．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算： ； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． (3)若，求x的值； 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题； (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，，试判断，的大小，并说明理由． 12．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由，可得或． (1)【例】解方程：． 我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或 ． 解这两个一元一次方程，得或．经检验可知，原方程的解是，； (2)【解决问题】解方程． 13．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义：用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：※． (1)________； (2)若※，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 14．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 15．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 16．（2024七年级上·辽宁·专题练习）（新考向）如图，在数轴上有相距15个单位长度的A，B两点，点A表示的数是，点C为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点C为线段的“奇分点”． (1)当点C与数轴原点重合时，此时点C______（填“是”或“不是”）线段AB的“奇分点”； (2)动点C从点B出发，以每秒个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒． ①在这个过程中，点C表示的数是______（用含t的代数式表示）； ②若点C是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点D同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点C是线段的“奇分点”时，求运动时间． 17．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）认真观察下列四个算式，找出新运算“”的运算法则：，，，． (1)计算：； (2)． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）新考向  阅读材料： 我们定义：如果两个数满足，那么数对就叫作“差商等数对”，记为． 例如：；；，则称数对，，是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： (1)下列数对：①；②；③中，是“差商等数对”的是______（请填写序号），并写出理由； (2)如果数对（不等于0）是“差商等数对”，求的值． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 20．（24-25七年级上·广东·期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 21．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a、b为“相伴有理数对”，记为． 如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； (2)若是“相伴有理数对”，则x的值是 ； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 22．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 23．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 24．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 25．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 26．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 30．（2023七年级上·全国·专题练习）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 31．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    32．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20有理数、方程、线段和角的新定义问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.对于新定义问题要读懂题目，搜集信息，理解本质﹕ 要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在． 2.新定义型问题一般与代数知识结合较多，七年级涉及的知识有﹕ （1）有理数的运算、乘方的新定义问题． （2）整式的加减以及求值新定义问题 （3）一元一次方程的新定义问题 （4）线段和角的新定义问题 3.熟练掌握和运用数学的常用思想方法 我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题． 1．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算； （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴， 解得． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于7的幸福数． (1)10与________是关于7的幸福数，与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断a与b是否是关于7的幸福数，并说明理由． (3)若，，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)，； (2)与是关于7的幸福数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据幸福数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的幸福数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 10与是关于7的幸福数，， ， 与是关于7的幸福数， 故答案为：，； （2）解：与是关于7的幸福数， 理由：，， ， 与是关于7的幸福数； （3）解：，，且与是关于7的幸福数， ， ， ， ∴， 为非负整数，x为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）定义一种新运算“★”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是：______（用含m，n的式子表示）； (2)解方程； (3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程． （1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可； （3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， 即：， 解得：； （3）解： ， 即：，解得：， ∵方程的解为整数， ∴为整数， 又为整数， ∴． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定 (1)求的值； (2)若关于n（）的方程满足：，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解一元一次方程，按照新定义正确列式计算是解题的关键． （1）按照新定义列式计算即可； （2）由，按照新定义可得，进而可得，解方程即可求出的值，然后验证是否满足即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 解得：， ，故符合题意， ． 5．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 6．（24-25七年级上·四川成都·期中）对于任意两个有理数和，规定一种新运算“”：当时，；当时，． (1)分别求与的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据新运算进行计算即可求解； （2）分，，根据新运算列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ； （2）解：当时，， ， ∴； 当时，， ∴． 综上，或． 7．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义 定义：对于任意两个不相等的有理数，，计算，，将这两个计算结果中的最小值称为，的“关联差”．例如：对于，，因为，，所以，的“关联差”为． (1)，的“关联差”是______； (2)，的“关联差”与，的“关联差”有什么关系，并说明理由； (3)1，（其中）的“关联差”是，求的值． 【答案】(1) (2)，的“关联差”与，的“关联差”相等．理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数的加法运算，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． （1）根据“关联差”的定义求解即可； （2）分别求出，与，的“关联差”，即可判断； （3）根据“关联差”的定义得到关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，的“关联差”是， 故答案为：； （2），的“关联差”与，的“关联差”相等． 理由： ，， ，的“关联差”为． ，， ，的“关联差”为， ，的“关联差”与，的“关联差”相等； （3）由题意，得或， 解得：或， 的值为或． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中是“共生有理数对”的是________； (2)若是“共生有理数对”，则________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”． 【答案】(1) (2)是 (3)或 【分析】本题考查有理数与有理数运算的新定义问题，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“共生有理数对”的定义，分别代入代数式计算即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义可得：，，由于是“共生有理数对”，得到，从而推出，即可判断是否为“共生有理数对”； （3）设是“共生有理数对”中的另一个有理数．根据题意分情况讨论：①若“共生有理数对”是，②若“共生有理数对”是，分别求出值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵使等式成立的一对有理数，称为“共生有理数对”， ∴对于数对：，符合“共生有理数对”的定义， 对于数对：，不符合“共生有理数对”的定义， 故答案为：． （2）解：由“共生有理数对”的定义可得：，， ∵是“共生有理数对”， ∴， ∴，即， ∴是“共生有理数对”． （3）解：设是“共生有理数对”中的另一个有理数． ①若“共生有理数对”是，根据题意得：，解得． ②若“共生有理数对”是，根据题意得：，解得． ∴这个“共生有理数对”是或． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得，， 则， 所以． 10．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算： ； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． (3)若，求x的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算： （1）根据新定义列式计算即可； （2）分别求出两个行列式的结果即可得到答案； （3）根据新定义可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 理由如下： ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题； (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，，试判断，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算表示出，再利用作差法解答即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：， 解得； （3）解：，理由如下： ∵， ， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由，可得或． (1)【例】解方程：． 我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或 ． 解这两个一元一次方程，得或．经检验可知，原方程的解是，； (2)【解决问题】解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 根据绝对值的意义，得：或， 故答案为：； （2）解：， 根据绝对值的意义，得：或， 解得：或． 13．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义：用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：※． (1)________； (2)若※，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：． （2）解：因为※ ， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得， ， 因为 ， 所以． 14．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【详解】解：（1）， ； （2）A.当时，，不符合题意， B.当时，，不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 15．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据新定义运算计算即可求解； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， ∴ ， ． 16．（2024七年级上·辽宁·专题练习）（新考向）如图，在数轴上有相距15个单位长度的A，B两点，点A表示的数是，点C为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点C为线段的“奇分点”． (1)当点C与数轴原点重合时，此时点C______（填“是”或“不是”）线段AB的“奇分点”； (2)动点C从点B出发，以每秒个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒． ①在这个过程中，点C表示的数是______（用含t的代数式表示）； ②若点C是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点D同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点C是线段的“奇分点”时，求运动时间． 【答案】(1)是 (2)①；②当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”③当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点” 【分析】本题考查了数轴，列代数式，一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据两点间的距离公式结合“奇分点”的定义即可求解； （2）①根据路程速度时间计算即可求解；②根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解；③根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：当点C与数轴原点重合时， ，，， ， ∴点C，是线段的“奇分点”． 故答案为∶是； （2）①∵，C从点B出发，以每秒个单位长度的速度向点A运动， ∴点C表示的数是， 故答案为∶ ； ②根据题意，点C在线段之间运动，分情况讨论： 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． ③因为点是线段的“奇分点”， 所以点在线段上， 所以，． 分情况讨论：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 17．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）认真观察下列四个算式，找出新运算“”的运算法则：，，，． (1)计算：； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题利用新定义考查整式的加减运算和一元一次方程的解法，弄清题意，准确应用相关知识是解题的关键． （1）根据题中新运算“”的运算法则列出式子，再利用整式加减运算法则计算即可； （2）根据题中新运算“”的运算法则化简方程，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：根据题意： ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）新考向  阅读材料： 我们定义：如果两个数满足，那么数对就叫作“差商等数对”，记为． 例如：；；，则称数对，，是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： (1)下列数对：①；②；③中，是“差商等数对”的是______（请填写序号），并写出理由； (2)如果数对（不等于0）是“差商等数对”，求的值． 【答案】(1)①，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下，有理数的运算，整式的化简求值，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）分别计算出各数对中两个实数的差和这两个实数的商即可得到答案； （2）根据“差商等数对”的定义建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①是“差商等数对”， 理由： ①因为，， 所以， 所以是“差商等数对”． ②因为，，所以， 所以不是“差商等数对”． ③因为，， 所以， 所以不是“差商等数对”． 综上，只有①是“差商等数对”． （2）解：由题意，得， 所以， 所以， 所以． 所以的值为． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【答案】(1)； ；； (2) (3)不一定成立，见解析 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． 根据题干中规定的运算法则进行计算即可； 根据钟表运算中相反数的定义可知：在钟表运算中，两数相加为也就是两数相加为，根据定义计算可得的相反数是；在钟表运算中和互为相反数，举例即可； 根据钟表运算的定义举反例即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：用时代表时，设的相反数为， 即， 解得：； 减去一个数等于加上这个数的相反数在钟表运算中仍然成立， 例如：，，其中与在钟表运算中互为相反数， ，所以有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中仍然成立； （3） 解：对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 例如：，，，则3，6，， 即37＞67， 所以对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 20．（24-25七年级上·广东·期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 【答案】(1)①取正，取负，相加，绝对值；②；③， (2)当或时，原式 ；当时，原式 ；当或时，原式 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减； （1）①根据已知算式得出法则：两数进行（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加； ②依据所得法则计算可得； ③根据求出，，再代入计算即可求解． （2）分情况讨论的符号，再根据新定义进行计算即可求解． 【详解】（1）①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值． 故答案为：取正，取负，相加，绝对值； ②． 故答案为：； ③∵， ∴， 解得， 故答案为：，． （2）当时，，当时， 当时， 当时，， 当时，， ∴当或时， 当时， 当时，； 当时， 综上所述，当或时，原式 ；当时，原式 ；当或时，原式 21．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a、b为“相伴有理数对”，记为． 如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； (2)若是“相伴有理数对”，则x的值是 ； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式加减的化简求值，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可； （2）根据“相伴有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“相伴有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 【详解】（1）解：，， 不是“相伴有理数对”； ，， 是“相伴有理数对”， 故答案为：； （2）解：是“相伴有理数对”， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：是“相伴有理数对”， ， ， ， ． 22．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 23．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 24．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 25．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2） 是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 26．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：① ， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义； （1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和2关于3的“友谊数”为： ； （2）解：∵和关于的“友谊数”为， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 故答案为：． ②由题意可知：和关于的“友谊数为， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于3的“友谊数”为1， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于4的“友谊数”为1， ∴， ∵ ∴当和均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值为； ，的最小值； 和关于的“友谊数”为 ，的最小值； ∴的最小值为： ． 故答案为：． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 29．（2024七年级上·全国·专题练习）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时，且在的上方时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：． 30．（2023七年级上·全国·专题练习）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 【答案】(1)1 (2) (3)1或3 (4)或 (5)或 【分析】（1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于a的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点P、A在点O的同侧和点P、A在点O的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可． （5）根据题意，分别表示出，由可得关于a，m的含绝对值的等式，取绝对值符号即可求解． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：∵点P表示的数为，点A表示的数为3， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数为a， ∴， ∵点P关于点A的幸福值， ∴， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3． （4）解：①当点P、A在点O的同侧时（此处以点P、A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； ②当点P、A在点O的异侧时（此处以点P在原点左侧，点A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； 故答案为：或． （5）解：∵点与关于原点对称，点表示的数为m， ∴点表示的数为，且， ∵点A、点B分别表示数a、2， ∴， ∴， ∵， ∴，即或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 31．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，② ，③，即可求解； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，    ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，    ， ，， ， ， 解得：， (ⅱ)如图，    ， ，， ， ， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； (ⅱ)如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 32．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． ( 41 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$