专题06 数列（10大基础题型3重难点 题型训练） -【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 数列的概念 · 题型二 Sn与an的关系 · 题型三 等差数列的通项公式 · 题型四 等差中项 · 题型五 等差数列的前n项和 · 题型六 等差数列的实际应用 · 题型七 等比数列的通项公式 · 题型八 等比中项 · 题型九 等比数列的前n项和 · 题型十 等比数列的实际应用 · 重难点题型一 等差数列的性质 · 重难点题型二 等比数列的性质 · 重难点题型三 等差、等比数列的综合 题组/题型一 数列的概念 【典例1】下列叙述正确的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和不可能是同一数列 【典例2】35是数列3，5，7，9，…的（    ） A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【变式2】在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 题组/题型二 Sn与an的关系 【典例1】若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【典例2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列的前项和，则 . 【变式2】设为数列的前n项和，，求及. 题组/题型三 等差数列的通项公式 【典例1】已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ． 【典例2】等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 【变式2】已知等差数列，，，则 题组/题型四 等差中项 【典例1】已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【典例2】已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【变式1】如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【变式2】在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D．1 题组/题型五 等差数列的前n项和 【典例1】记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【典例2】已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【变式1】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 【变式2】记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 题组/题型六 等差数列的实际应用 【典例1】夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 【变式1】小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【变式2】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为(　　) A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 题组/题型七 等比数列的通项公式 【典例1】已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【典例2】等比数列中，，则通项公式 【变式1】在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 题组/题型八 等比中项 【典例1】如果、、、、成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【变式2】已知，，成等比数列，则= . 题组/题型九 等比数列的前n项和 【典例1】已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 【典例2】等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【变式1】在等比数列中，，，则 ． 【变式2】设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 题组/题型十 等比数列的实际应用 【典例1】某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【变式1】一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 重难点题型一 等差数列的性质 【典例1】在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 【典例2】已知等差数列，若，则 ． 【变式1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 重难点题型二 等比数列的性质 【典例1】在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A． B． C． D．2 【典例2】在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 【变式1】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【变式2】已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 重难点题型三 等差、等比数列的综合 【典例1】已知等差数列满足，，等比数列满足，，则 A．32 B．64 C．128 D．256 【典例2】已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是 A． B． C．或 D． 【变式1】首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 【变式2】已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= . $$专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 数列的概念 · 题型二 Sn与an的关系 · 题型三 等差数列的通项公式 · 题型四 等差中项 · 题型五 等差数列的前n项和 · 题型六 等差数列的实际应用 · 题型七 等比数列的通项公式 · 题型八 等比中项 · 题型九 等比数列的前n项和 · 题型十 等比数列的实际应用 · 重难点题型一 等差数列的性质 · 重难点题型二 等比数列的性质 · 重难点题型三 等差、等比数列的综合 题组/题型一 数列的概念 【典例1】下列叙述正确的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和不可能是同一数列 【答案】C 【解析】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D错误． 故选：C. 【典例2】35是数列3，5，7，9，…的（    ） A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项 【答案】B 【解析】数列3，5，7，9，…的通项为， 由，得， 所以35是数列3，5，7，9，…的第17项. 故选：B 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 【变式2】在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 题组/题型二 Sn与an的关系 【典例1】若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】. 故选：C. 【典例2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 【变式1】已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【解析】数列的前项和，所以. 【变式2】设为数列的前n项和，，求及. 【解】因为，所以当时，， 当时，. 经验证当时，成立， 所以. 题组/题型三 等差数列的通项公式 【典例1】已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由，， 得，由解得， 所以. 【典例2】等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，解得，所以， 则． 故选：D． 【变式1】已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题可得，解得， 故． 所以数列的通项公式为. 【变式2】已知等差数列，，，则 【答案】 【解析】设公差为， 由，， 得，解得， 所以. 题组/题型四 等差中项 【典例1】已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题意：. 故选：D 【典例2】已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为，，，为等差数列，所以，， 所以，，所以. 故选：A． 【变式1】如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【解析】由，，成等差数列， 则，得. 故选：A 【变式2】在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以； 又，所以，即，所以， 所以， 故选：C. 题组/题型五 等差数列的前n项和 【典例1】记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【答案】B 【解析】因是等差数列，故，于是 故选：B 【典例2】已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则， 所以， 故选：D. 【变式1】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 【答案】C 【解析】设公差为， 则，解得， 故. 故选：C 【变式2】记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【答案】B 【解析】因是等差数列，故，于是 故选：B 题组/题型六 等差数列的实际应用 【典例1】夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 【答案】C 【解析】山顶与山脚的温度差为， 因为每升高100m，气温降低， 所以山顶相对于山脚的高度为（m）. 故选：C. 【变式1】小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【答案】C 【解析】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列，则每本书的单价为元， 故选：C. 【变式2】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为(　　) A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 【答案】C 【解析】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺， ∴解得a1＝13.5，d＝－1， ∴小满日影长为a11＝13.5＋10×(－1)＝3.5(尺)． 故选：C. 题组/题型七 等比数列的通项公式 【典例1】已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中， 则，否则与矛盾， 故，即数列为首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 【典例2】等比数列中，，则通项公式 【答案】 【解析】已知可得， 两式相除得，解得 代入解出 所以 【变式1】在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，即： ， ∴为等比数列，公比， ∴ 故选：D. 【变式2】已知等比数列的前三项依次为，，，则 ． 【答案】 【解析】依题意，，解得， 于是等比数列的首项，公比， 所以. 题组/题型八 等比中项 【典例1】如果、、、、成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由、、、、成等比数列， 得， 解得或， 又，， 所以，. 故选：B. 【典例2】在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选B. 【变式1】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【解析】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 【变式2】已知，，成等比数列，则= . 【答案】 【解析】根据题意可知：，所以， 题组/题型九 等比数列的前n项和 【典例1】已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，前项和，则， 故. 故选：D. 【典例2】等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【解析】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 【变式1】在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以， 所以. 【变式2】设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则， 由，解得， 故， 故选：A. 题组/题型十 等比数列的实际应用 【典例1】某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 【变式1】一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年后的价值为，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项，公比为， 所以年后这批设备的价值为， 故选：D. 【变式2】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【解析】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 重难点题型一 等差数列的性质 【典例1】在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【解析】因为，为方程的两根，所以， 又数列是等差数列，所以， 故选：C. 【典例2】已知等差数列，若，则 ． 【答案】 【解析】因为等差数列，，， 则. 【变式1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故， 故选：D 【变式2】已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 【答案】 【解析】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 重难点题型二 等比数列的性质 【典例1】在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由韦达定理得，由等比数列的性质得. 故选：B 【典例2】在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为与的等比中项为2，所以， 所以． 故选：D． 【变式1】在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【答案】C 【解析】依题意，得，而，所以． 故选：C 【变式2】已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选：D 重难点题型三 等差、等比数列的综合 【典例1】已知等差数列满足，，等比数列满足，，则（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【解析】由，可知数列,所以,故. 故选：B. 【典例2】已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意可知,所以. 故选：A. 【变式1】首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 【答案】2 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 【变式2】已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= 【答案】 【解析】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得. 所以. $$