专题05 三角函数（14大基础题型4重难点 题型训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 任意角的概念 · 题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 · 题型三 任意角的三角函数 · 题型四 三角函数的符号问题 · 题型五 同角三角函数的关系 · 题型六 诱导公式 · 题型七 三角函数的图像 · 题型八 三角函数的性质 · 题型九 三角函数的图像变换 · 题型十 三角和角计算 · 题型十一 二倍角公式 · 题型十二 正弦定理 · 题型十三 余弦定理 · 题型十四 三角形的面积公式 · 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 · 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 · 重难点题型三 三角形形状的判断 · 重难点题型四 利用正弦型函数的图像求参数 题组/题型一 任意角的概念 【典例1】下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 【答案】②⑤ 【解析】锐角是第一象限角，但第一象限的角不一定是锐角， 如是第一象限角，但不是锐角，故①错误，②正确； 第二象限角不一定是钝角，例如，故③错误； 小于的角不一定是锐角，如，故④错误； 由角的定义可知，与的终边关于x轴对称，⑤正确. 【变式1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 题组/题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 【典例1】已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，， 根据扇形的弧长公式得，解得． 故选：A． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为扇形圆心角，且所对的弧长， 设扇形所在圆的半径为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故选：B. 【变式2】一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 题组/题型三 任意角的三角函数 【典例1】已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得. 故选：B. 【变式2】已知点是角终边上的一点，则 ． 【答案】/0.75 【解析】由题可知, 所以， 题组/题型四 三角函数的符号问题 【典例1】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 【变式1】若，则点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】由，得，，所以点位于第二象限. 故选：B 【变式2】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 题组/题型五 同角三角函数的关系 【典例1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 【典例2】已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C 【变式1】已知，且为第三象限角，则 ． 【答案】 【解析】， 由，可得，解得或． 又为第三象限角，，把的值代入检验得， ，可得． 【变式2】若，则 . 【答案】/ 【解析】. 题组/题型六 诱导公式 【典例1】，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 因此可得， 故选：D. 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【变式2】 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 题组/题型七 三角函数的图像 【典例1】函数在区间上的图象与轴的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】作出的图像如下： ， 观察图像可得函数在区间上的图象与轴的交点个数是个. 故选：C. 【典例2】函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【解析】函数的图象与的图象关于x轴对称， 故B、C、D错误，A正确， 故选：A 【变式1】函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，可知所求交点的个数为2． 故选：C． 【变式2】函数在区间的简图是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】因为，所以排除AC， 由得， 所以可知函数在上递减，上递增，所以排除B， 故选：D 题组/题型八 三角函数的性质 【典例1】函数是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数， 故选：A. 【变式1】函数的最小正周期是 . 【答案】 【解析】，故最小正周期， 故答案为：. 【变式2】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求； 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求， 故选：B. 题组/题型九 三角函数的图像变换 【典例1】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【答案】 【解析】将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）可得到，然后再把图像向右平移个单位可得=，故则所得函数图像的解析式为. 【变式1】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把函数的图像向左平移个单位长度可得，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得， 故选：A 【变式2】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】∵=，∴要得到的图像，只需将的图像向左平移个单位. 故选：B． 题组/题型十 三角和角计算 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A 【典例2】若是第三象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第三象限角， 所以，所以， 所以. 故选：C. 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 解得， 所以. 故选：D. 题组/题型十一 二倍角公式 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A 【典例2】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】运用二倍角余弦公式得到. 故选：C. 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得，从而，． 故选：A 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原方程可化为，故. 故选：D 题组/题型十二 正弦定理 【典例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 【变式1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理，可得， 故选：D. 【变式2】中，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中， ，由正弦定理得：，即, 解得：. 故选：B 题组/题型十三 余弦定理 【典例1】在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【解析】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 【变式1】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为由正弦定理可得，所以又 所以. 故选：D 【变式2】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由得，，由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C 题组/题型十四 三角形的面积公式 【典例1】在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 【变式1】在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由，得， 故选：A 【变式2】设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则当，即时，， 当，即时，， 所以所求最大值、最小值分别为. 故选：A 【变式1】已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， ，， ∴，， 故选：B． 【变式2】函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【答案】C 【解析】由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 【典例1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数. 故选：A 【典例2】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数是奇函数，而当时，取最大值， 则在上不单调，C不是； 对于D，函数是奇函数，在上单调递减，D不是. 故选：A 【变式1】函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 【变式2】函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出的图象，如下，    可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求. 故选：C. 重难点题型三 三角形形状的判断 【典例1】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理得， 则该三角形的形状是直角三角形， 故选：A. 【典例2】已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 【变式1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 【变式2】在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D 重难点题型四 集利用正弦型函数的图像求参数 【典例1】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵=－=，∴==，∴=2，由图知振幅A=2，∴，带入最高点，得，∴正弦型函数的解析式为，=. 故选：D. 【变式1】函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象知函数周期 ，， 把​代入解析式， 得， 即，又， 故选：A. 【变式2】已知函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】1 【解析】由题意知：，则，解得，即，又，又，则，即，则， 故答案为：1. $$专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 任意角的概念 · 题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 · 题型三 任意角的三角函数 · 题型四 三角函数的符号问题 · 题型五 同角三角函数的关系 · 题型六 诱导公式 · 题型七 三角函数的图像 · 题型八 三角函数的性质 · 题型九 三角函数的图像变换 · 题型十 三角和角计算 · 题型十一 二倍角公式 · 题型十二 正弦定理 · 题型十三 余弦定理 · 题型十四 三角形的面积公式 · 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 · 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 · 重难点题型三 三角形形状的判断 · 重难点题型四 利用正弦型函数的图像求参数 题组/题型一 任意角的概念 【典例1】下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 【变式1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题组/题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 【典例1】已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 题组/题型三 任意角的三角函数 【典例1】已知角的终边上一点，且，则 . 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点是角终边上的一点，则 ． 题组/题型四 三角函数的符号问题 【典例1】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】若，则点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 题组/题型五 同角三角函数的关系 【典例1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【典例2】已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【变式1】已知，且为第三象限角，则 ． 【变式2】若，则 . 题组/题型六 诱导公式 【典例1】，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （    ） A． B． C． D． 题组/题型七 三角函数的图像 【典例1】函数在区间上的图象与轴的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 【变式1】函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】函数在区间的简图是（ ） A．B．C．D． 题组/题型八 三角函数的性质 【典例1】函数是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式1】函数的最小正周期是 . 【变式2】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 题组/题型九 三角函数的图像变换 【典例1】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【变式1】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 题组/题型十 三角和角计算 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】若是第三象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 题组/题型十一 二倍角公式 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 题组/题型十二 正弦定理 【典例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】中，若，则（       ） A． B． C． D． 题组/题型十三 余弦定理 【典例1】在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【变式1】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式2】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 题组/题型十四 三角形的面积公式 【典例1】在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【变式2】函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 【典例1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【典例2】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式2】函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 重难点题型三 三角形形状的判断 【典例1】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【典例2】已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式2】在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 重难点题型四 集利用正弦型函数的图像求参数 【典例1】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的部分图象如图所示，则 ． $$