专题04 指数函数与对数函数（11大基础题型4重难点 题型训练） -【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 根式 · 题型二 实数指数幂的运算 · 题型三 幂函数 · 题型四 指数函数的概念 · 题型五 指数函数的图像 · 题型六 指数函数的性质 · 题型七 对数的概念 · 题型八 对数的运算 · 题型九 对数函数的定义 · 题型十 对数函数的图像 · 题型十一 对数函数的性质 · 重难点题型一 幂、指、对比较大小 · 重难点题型二 对数公式的运用 · 重难点题型三 指数函数的运用 · 重难点题型四 对数函数的运用 题组/题型一 根式 【典例1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】等于（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 题组/题型二 实数指数幂的运算 【典例1】下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若a＞0，且，则等于（　　） A．9+ B． C． D．6 题组/题型三 幂函数 【典例1】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 题组/题型四 指数函数的概念 【典例1】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式1】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题组/题型五 指数函数的图像 【典例1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式2】若函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题组/题型六 指数函数的性质 【典例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 题组/题型七 对数的概念 【典例1】下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【变式1】有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【变式2】对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题组/题型八 对数的运算 【典例1】下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 =（     ） A．2 B．0 C． D． 【变式1】若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算（    ） A．2 B． C． D． 题组/题型九 对数函数的定义 【典例1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式2】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题组/题型十 对数函数的图像 【典例1】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1】函数 的图象是（    ） A．B．C．D． 【变式2】函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 题组/题型十一 对数函数的性质 【典例1】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型一 幂、指、对比较大小 【典例1】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 重难点题型二 对数公式的运用 【典例1】若，则 . 【典例2】若，则___________. 【变式1】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 重难点题型三 指数函数的运用 【典例1】已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式2】设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型四 对数函数的运用 【典例1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． $$专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 根式 · 题型二 实数指数幂的运算 · 题型三 幂函数 · 题型四 指数函数的概念 · 题型五 指数函数的图像 · 题型六 指数函数的性质 · 题型七 对数的概念 · 题型八 对数的运算 · 题型九 对数函数的定义 · 题型十 对数函数的图像 · 题型十一 对数函数的性质 · 重难点题型一 幂、指、对比较大小 · 重难点题型二 对数公式的运用 · 重难点题型三 指数函数的运用 · 重难点题型四 对数函数的运用 题组/题型一 根式 【典例1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 【变式1】等于（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【变式2】当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 题组/题型二 实数指数幂的运算 【典例1】下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A 【典例2】将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 【变式1】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式2】若a＞0，且，则等于（　　） A．9+ B． C． D．6 【答案】C 【解析】∵， ∴． 故选：C. 题组/题型三 幂函数 【典例1】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得,所以, 又的图象经过点,所以,解得, 所以. 故选：D. 【变式2】函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【解析】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 题组/题型四 指数函数的概念 【典例1】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【解析】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【变式1】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由指数函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 故选：A. 【变式2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 题组/题型五 指数函数的图像 【典例1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 【典例2】函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，故函数图象过定点. 故选：D 【变式1】函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【解析】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 【变式2】若函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，，则. 故选：C. 题组/题型六 指数函数的性质 【典例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 【典例2】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 【变式1】函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以，. 故选：C. 【变式2】已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 题组/题型七 对数的概念 【典例1】下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式， 因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数， 故选：B． 【变式1】有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【解析】由对数定义可知，，①正确； ，②正确； 对③，，错误； 对④，，错误， 故选：A. 【变式2】对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得3<a<4或4<a<5， 即a的取值范围是：(3，4)∪(4，5)， 故选：D. 题组/题型八 对数的运算 【典例1】下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【典例2】 =（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】 , 故选：B. 【变式1】若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数运算性质可得， 故选：D. 【变式2】计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 题组/题型九 对数函数的定义 【典例1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 【变式1】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，依题可知，，解得， 所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【变式2】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的 图象过点， 所以， 则， 所以，， 故选：B. 题组/题型十 对数函数的图像 【典例1】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 【变式1】函数 的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 故选：A. 【变式2】函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数函数(且)恒过定点， 所以函数  (且)的图象必过定点. 故选：C. 题组/题型十一 对数函数的性质 【典例1】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 故选：A. 【典例2】以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然，，，所以排除C，D． 因为，所以． 故选：A． 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 重难点题型一 幂、指、对比较大小 【典例1】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 又，， 所以. 故选：D 【变式1】已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. 【变式2】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 重难点题型二 对数公式的运用 【典例1】若，则 . 【答案】1 【解析】因为，所以，， 同理，所以， 故答案为：1. 【典例2】若，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以，即， 即，所以， 故答案为：. 【变式1】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】．A 【解析】∵，∴，又， ∴， 故选：A. 【变式2】已知，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由得，故， 故选：A. 重难点题型三 指数函数的运用 【典例1】已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 【典例2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式1】若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由函数是奇函数，得， 即，整理得，而不恒为0， 因此，解得，此时函数是定义在R上的奇函数， 所以实数a的值为. 故选：A 【变式2】设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 重难点题型四 对数函数的运用 【典例1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 【典例2】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 故选：A. 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，解得或，故定义域为， 因为在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递增区间为. 故选：C 【变式2】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设，则，若函数在上单调递减， 利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立， 即，解得，即a的取值范围为． $$