（温故知新篇）专题05 组合图形的面积-2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题05 组合图形的面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：组合图形的面积 1. 组合图形的意义。 由几个简单的图形，通过不同的方式组合而成的图形。 2. 组合图形的面积的求法。 方法一：分割法。根据图形和所给条件的关系，将图形进行合理分割，分成几个规则图形，几个规则图形的面积和就是组合图形的面积。 方法二：添补法。将图形所缺部分进行添补，组成几个基本图形。几个基本图形的面积减去添补图形的面积就是组合图形的面积。 方法三：割补法。割下不规则图形的一部分，并补在适当的位置上，以形成规则的图形。割补前后，图形面积不发生改变。 知识点02：公顷、平方千米 面积的估算及公顷和平方千米 1. 不规则图形面积的估算与计算。 方法一：借助方格纸用数格子的方法进行估计。数格子时，不满1格的可按半格来算（数格子时要有顺序，做到不重复，不遗漏）。 方法二：根据图形的特点把不规则图形近似地看作规则图形，应用规则图形的面积公式计算面积。 2. 公顷和平方千米。 边长是100米的正方形的面积是1公顷。 边长是1000米的正方形的面积是1平方千米。 测量和计算土地面积时，通常用公顷、平方千米( k㎡)做单位。公顷和平方千米都是比平方米大的面积单位。 3. 公顷、平方米、平方千米之间的关系。 １公顷＝10000平方米，１平方千米＝100公顷＝ 1000000平方米。 温馨提示：大单位化成小单位，要乘进率；小单位化成大单位，要除以进率。 易错点01：组合图形的面积 1.利用添补法计算图形的面积时，不要忘记减去补上的图形的面积。 2.在对组合图形进行分解时，一定要考虑到分别求面积时所需要的数据条件下是否充分。 3. 将组合图形分成几个简单图形，计算每个简单图形的面积时要找准数据。 易错点02：面积的估算及公顷和平方千米 1.估算时要做到不重复，不遗漏。 2. 平方米和公顷之间的进率是10000，而不是100。 （难度系数：0.46 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）如下图，已知梯形的面积是 72 cm2，高是8cm，涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．6 B．12 C．24 D．48 2．（2分） 计算如图的面积，列式错误的是(　　)。(单位： cm) A．(12-6)×(10-5)÷2+12×5 B．(5+10)×(12-6)÷2+6×5 C．(5+10)×(12-6)÷2-6×5 D．10×(12-6)÷2+(6+12)×5÷2 3．（2分） 如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 cm，四边形 EFGH 的面积是 9 cm2，则涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．28 B．32 C．41 D．50 4．（2分） 如图，是由4个完全相同的长为3m，宽为m的长方形拼成的大正方形，那么中间涂色部分小正方形的面积是(　　)。 A．16m2 B．8m2 C．12m2 D．4m2 5．（2分）（2023五上·期末）下面（　　）图中阴影部分的面积与其他图中阴影部分的面积不相等。 A． B． C． D． 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2022五上·上思）一块梯形的上、下底之和是400米，高是100米，面积是4公顷。（　　） 7．（2分）（2022五上·固镇月考）边长100米的正方形土地，面积是1公顷。（　　） 8．（2分）（2020五上·项城期末）计算下图面积可以用一个长方形的面积减一个三角形的面积。（　　） 9．（2分）（2020五上·南郑期末）10个标准足球场的面积大约就是1平方公里。（　　） 10．（2分）图中涂色的两个三角形面积是一样大的。 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共15分) 11．（4分）如下图，这个图形可以看作由一个　 　形与一个　 　形组合而成的图形，也可以看作由一个　 　形剪掉一个　 　形后得到的图形。 12．（4分） 用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，如下图。 （1）（3分）观察上图，一个梯形的面积=平行四边形的面积÷　 　=(　 　+　 　)×高÷2。 （2）（1分）如果用 S 表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形的面积计算公式用字母表示为　 　。 13．（1分）如图，涂色三角形甲的面积比涂色三角形乙的面积大　 　dm2。 14．（1分）乐乐用七巧板中的几块拼了一个小“阁楼”，这副七巧板拼成正方形时正方形的面积是 32 cm2，这个小“阁楼”的面积是　 　cm2。(小“阁楼”未标记部分为空) 15．（1分）在下列各图形中，每个小正方形的边长都是1 cm，则图中涂色部分面积最大的是　 　。 16．（2分）如图所示的梯形是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是　 　cm，面积是　 　cm2。 (单位： cm) 17．（1分）如图是一块梯形花园，为方便游客赏花，花园中间修了两条1m 宽的小路，其余部分种观赏花，观赏花的面积为　 　m2。 18．（1分） 如图，AD=EC=4cm，BD=BE=6cm，阴影部分的面积是　 　cm2。 四、看图列式计算(共2题；共8分) 19．（4分）求下面各图形的面积。 （1）（2分） （2） （2分） 20．（4分） 求下列各涂色部分的面积。(单位：dm) 五、解决实际问题(共11题；共57分) 21．（4分）某小区为了改善生态环境，美化生活空间要将一个长10米、宽8米的长方形花坛进行扩建，把这个花坛的长增加5米，宽要增加多少米，面积才会增加100平方米？ 22．（5分）如下图，梯形ABCD 的面积是 120平方厘米，高是12 厘米，上底 AD 长 6 厘米，三角形ADE 的面积是 10.8平方厘米，求涂色部分的面积。 23．（5分）想象无限，创造无限。如图，小康将梯形卡纸的一角翻折，得到一个直角三角形，通过测量，发现涂色部分的面积是325平方厘米。把这个直角三角形剪下，算一算，较短的一条直角边长多少厘米？ 24．（5分）（新素养·几何直观）如下图，平行四边形ABCD 的面积是 14 平方厘米。另一个平行四边形 DEFG 的边EF 过点A，点 G 在边BC上。平行四边形 DEFG 的面积是多少平方厘米？ 25．（5分）（新素养·几何直观）下图是学校艺术涂鸦墙，现在要把它涂成粉红色，如果每平方米的涂料费是80元，那么这面墙一共需要多少元涂料费？ 26．（5分）（2024四上·海曙期中）一个长方形牧场长8千米，张叔叔开汽车以每小时60千米的速度绕牧场一周需要半小时，这个牧场的面积是多少公顷？ 27．（5分）（新素养·几何直观）如下图，在一张长8cm、宽5cm 的长方形纸上剪下一个大写英文字母“Z”。这个字母的面积是多少平方厘米？ 28．（5分） 七巧板是一种古老的中国传统益智玩具。玩家可以把它拼成各种人物、动物、桥、房、塔等等。笑笑用一幅七巧板拼了一只乌龟(如图)。这幅七巧板的面积是多少平方厘米? 29．（6分）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布(如图①)，在梯形布上画出了字母“A”(如图②)，并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）（3分）字母“A”的面积是多少? （2）（3分）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70cm，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48cm，那么剩余的线能将字母全部绣完吗?如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线?(按面积绣) 30．（6分）（2022五上·上思月考）王亮家要粉刷一面墙（如图，中间是窗户）。（单位：米） （1）（3分）请你帮他算一算，要粉刷多大的面积？ （2）（3分）如果每平方米要用涂料2千克，一共要买多少千克涂料？ 31．（6分）（2022五上·合肥期末）植物是制造氧气的“工厂”，根据测算，1平方米的草坪每天能够释放约0.9千克的氧气。 （1）（3分）如图，在一块梯形草坪中间有一条宽1米的石子路。这块草坪面积是多少平方米？ （2）（3分）这块草坪一个月（30天）大约能释放氧气多少千克？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题05 组合图形的面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：组合图形的面积 1. 组合图形的意义。 由几个简单的图形，通过不同的方式组合而成的图形。 2. 组合图形的面积的求法。 方法一：分割法。根据图形和所给条件的关系，将图形进行合理分割，分成几个规则图形，几个规则图形的面积和就是组合图形的面积。 方法二：添补法。将图形所缺部分进行添补，组成几个基本图形。几个基本图形的面积减去添补图形的面积就是组合图形的面积。 方法三：割补法。割下不规则图形的一部分，并补在适当的位置上，以形成规则的图形。割补前后，图形面积不发生改变。 知识点02：公顷、平方千米 面积的估算及公顷和平方千米 1. 不规则图形面积的估算与计算。 方法一：借助方格纸用数格子的方法进行估计。数格子时，不满1格的可按半格来算（数格子时要有顺序，做到不重复，不遗漏）。 方法二：根据图形的特点把不规则图形近似地看作规则图形，应用规则图形的面积公式计算面积。 2. 公顷和平方千米。 边长是100米的正方形的面积是1公顷。 边长是1000米的正方形的面积是1平方千米。 测量和计算土地面积时，通常用公顷、平方千米( k㎡)做单位。公顷和平方千米都是比平方米大的面积单位。 3. 公顷、平方米、平方千米之间的关系。 １公顷＝10000平方米，１平方千米＝100公顷＝ 1000000平方米。 温馨提示：大单位化成小单位，要乘进率；小单位化成大单位，要除以进率。 易错点01：组合图形的面积 1.利用添补法计算图形的面积时，不要忘记减去补上的图形的面积。 2.在对组合图形进行分解时，一定要考虑到分别求面积时所需要的数据条件下是否充分。 3. 将组合图形分成几个简单图形，计算每个简单图形的面积时要找准数据。 易错点02：面积的估算及公顷和平方千米 1.估算时要做到不重复，不遗漏。 2. 平方米和公顷之间的进率是10000，而不是100。 （难度系数：0.46 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）如下图，已知梯形的面积是 72 cm2，高是8cm，涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【规范解答】解：设梯形的上底为x厘米，那么底边为2x厘米， （x＋2x）×8÷2＝72 3x×8÷2＝72 24x÷2＝72 12x＝72 12x÷12＝72÷12 x＝6 涂色部分的面积是：6×8＝48（平方厘米） 故答案为：D 【思路点拨】观图可知：涂色部分是一个平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，可设梯形的上底为x厘米，那么底边为2x厘米，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，列式为：（x＋2x）×8÷2＝72，解答即可求出梯形的上底即平行四边形的底边，再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，代入数据解答即可求出涂色部分的面积是多少。 2．（2分） 计算如图的面积，列式错误的是(　　)。(单位： cm) A．(12-6)×(10-5)÷2+12×5 B．(5+10)×(12-6)÷2+6×5 C．(5+10)×(12-6)÷2-6×5 D．10×(12-6)÷2+(6+12)×5÷2 【答案】C 【规范解答】对于A，由切割法将组合图形分成左边的三角形和右边的长方形， 因为左边三角形的底为10-5=5cm，高为12-6=6cm， 所以左边三角形的面积为， 因为右边长方形的底为5cm，高为12cm， 所以，右边长方形的面积为， 所以，该组合图形的面积为， 即该组合图形的面积为(12-6)×(10-5)÷2+12×5，所以A对； 对于B和C，由切割法将组合图形分成上边的长方形和下边的梯形， 因为下边梯形的上底为5cm，下底为10cm，高为12-6=6cm， 所以下边梯形的面积为， 因为上边长方形的宽为5cm，长为6cm， 所以，上边长方形的面积为， 所以，该组合图形的面积为， 即该组合图形的面积为(5+10)×(12-6)÷2+6×5，所以B对，C错； 对于D，由切割法将组合图形分成左下方的三角形和右上方的梯形， 因为左下方三角形的底为10cm，高为12-6=6cm， 所以左下方三角形的面积为， 因为右上方梯形的上底为6cm，下底为12cm，高为5cm， 所以，右下方的梯形的面积为， 所以，该组合图形的面积为， 即该组合图形的面积为10×(12-6)÷2+(6+12)×5÷2，所以D对. 故选：C. 【思路点拨】该组合图形可以通过切割法，把它分成两个规则图形，然后求和得出组合图形面积，从而选出错误的列式. 3．（2分） 如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 cm，四边形 EFGH 的面积是 9 cm2，则涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．28 B．32 C．41 D．50 【答案】B 【规范解答】解：首先，正方形ABCD的边长为10cm，所以正方形的面积为。 正方形ABCD的一半面积（即）减去两倍四边形EFGH的面积（即），得到涂色部分的面积为。 故答案为：B 【思路点拨】本题考查了几何图形的面积计算，尤其是通过将几何问题简化为更基本的图形（如三角形、正方形）来解决问题的能力。题目给出的信息包括一个正方形和四边形的面积，要求求解涂色部分的面积。关键在于理解正方形与四边形之间的关系，特别是通过三角形面积相等的原理来解决问题。 4．（2分） 如图，是由4个完全相同的长为3m，宽为m的长方形拼成的大正方形，那么中间涂色部分小正方形的面积是(　　)。 A．16m2 B．8m2 C．12m2 D．4m2 【答案】D 【规范解答】解：根据图形所示，可得 中间涂色部分小正方形的面积为： （3m+m）2-4×3m×m =16m2-12m2 =4m2 故答案为：D 【思路点拨】中间涂色部分的面积等于边长以（3m+m）的正方形面积减去4个长为3m，宽为m的长方形面积，利用正方形的面积公式：S=a2和长方形的面积公式：S=ab，代入数据即可求解 5．（2分）（2023五上·期末）下面（　　）图中阴影部分的面积与其他图中阴影部分的面积不相等。 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A、B、C项：阴影部分的面积=ab÷2； D项：阴影部分的面积＜ab÷2。 故答案为：D。 【思路点拨】A、B、C项：阴影部分的面积=三角形的面积=底×高÷2=ab÷2； D项：阴影部分的面积=三角形的面积=底×高÷2，但是底=b，高＜a，则面积＜ab÷2。 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2022五上·上思）一块梯形的上、下底之和是400米，高是100米，面积是4公顷。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：400×100÷2 =40000÷2 =20000（平方米） 20000平方米=2公顷 原题说法错误 故答案为：错误。 【思路点拨】梯形面积=上下底之和×高÷2；1公顷=10000平方米，据此解答。 7．（2分）（2022五上·固镇月考）边长100米的正方形土地，面积是1公顷。（　　） 【答案】正确 【规范解答】100×100=10000（平方米）=1（公顷），原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】正方形的面积=边长×边长，据此列式计算，根据1公顷=10000平方米，进行单位换算，据此判断。 8．（2分）（2020五上·项城期末）计算下图面积可以用一个长方形的面积减一个三角形的面积。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：计算下图面积可以用一个长方形的面积减一个三角形的面积。 故答案为：正确。 【思路点拨】如图所示： 这个图形的面积=长方形的面积-三角形的面积。 9．（2分）（2020五上·南郑期末）10个标准足球场的面积大约就是1平方公里。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：1个足球场的面积大约就是1公顷，1×10=10（公顷），1平方千米=100公顷。 故答案为：错误。 【思路点拨】1平方千米=100公顷，10个标准足球场的面积=平均每个标准足球场的面积×数量。 10．（2分）图中涂色的两个三角形面积是一样大的。 【答案】正确 【规范解答】解：图中涂色的两个三角形面积都是等底等高的两个三角形面积减去两个三角形重叠部分的面积，两部分面积是相等的。 故答案为：正确 【思路点拨】两个三角形的面积都可以看做是等底等高的两个三角形面积减去重叠部分的面积，等底等高的两个三角形面积相等，所以这两个涂色三角形的面积也相等。 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共15分) 11．（4分）如下图，这个图形可以看作由一个　 　形与一个　 　形组合而成的图形，也可以看作由一个　 　形剪掉一个　 　形后得到的图形。 【答案】梯；长方；长方；梯 【规范解答】解：由图形可知，这个图形可以看作由一个梯形与一个长方形组合而成，也可以看作由一个长方形剪掉一个梯形后得到的图形 故答案为(1)直角三角形，(2)形为矩形，3形为整体矩形，4形为被剪去的直角三角形。 【思路点拨】本题主要考查对基本图形的认识和组合、剪裁能力。学生需要观察给定图形的构成，分析其可以由两个或多个基本图形组合或剪裁而成。 12．（4分） 用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，如下图。 （1）（3分）观察上图，一个梯形的面积=平行四边形的面积÷　 　=(　 　+　 　)×高÷2。 （2）（1分）如果用 S 表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形的面积计算公式用字母表示为　 　。 【答案】（1）2；上底；下底 （2）S=(a+b)h÷2 【规范解答】（1） 平行四边形的面积 = (上底 + 下底) × 高 （2）梯形的面积计算公式用字母表示为： 故答案为：2，上底，下底；S=(a+b)h÷2 【思路点拨】（1）该题主要考察梯形与平行四边形面积的计算以及梯形面积公式的应用。题目描述了将两个完全一样的梯形拼接成一个平行四边形的过程，要求根据这个过程计算一个梯形的面积。 （2）这里， 表示梯形的面积， 和 分别表示梯形的上底和下底的长度， 表示梯形的高。此公式计算的是梯形的面积，是通过将梯形的上底和下底的长度相加，然后乘以梯形的高，最后将结果除以2来得出的。 13．（1分）如图，涂色三角形甲的面积比涂色三角形乙的面积大　 　dm2。 【答案】18 【规范解答】解：由题图可知，涂色三角形甲的面积与涂色三角形乙的面积差就等于涂色三角形甲的面积+空白部分面积与涂色三角形乙的面积+空白部分面积的差。 所以先分别算出两个三角形的面积：6× 差为 54- 故答案为18 【思路点拨】为了找出涂色三角形甲和乙的面积差，可以先计算出包含空白部分的甲和乙的总面积。这可以通过利用三角形面积公式（底乘以高除以2）并考虑到每个三角形的底和高。计算出甲和乙的总面积后，再通过相减来找出它们的面积差。 14．（1分）乐乐用七巧板中的几块拼了一个小“阁楼”，这副七巧板拼成正方形时正方形的面积是 32 cm2，这个小“阁楼”的面积是　 　cm2。(小“阁楼”未标记部分为空) 【答案】20 【规范解答】解：②的面积： ⑥或⑦的面积：8÷2=4(cm2)， ③或④的面积：4÷2=2(cm2)， 这个小“阁楼”的面积： 故答案为：20 【思路点拨】首先，了解七巧板的基本组成和面积分布。七巧板由五个三角形，一个正方形，和一个平行四边形组成，其中最大的两个三角形的面积占总面积的一半，其他块的面积加起来占另外一半。根据题目信息，七巧板拼成正方形时的总面积已知，那么可以计算出每个大三角形的面积。接着，分析小“阁楼”的拼法，确定它由哪些部分组成，尤其是未标记部分（空白部分）的面积。最后，计算出小“阁楼”的实际面积。 15．（1分）在下列各图形中，每个小正方形的边长都是1 cm，则图中涂色部分面积最大的是　 　。 【答案】④ 【规范解答】①的面积为1×2÷2+1×1=2(cm2)，②的面积为3cm2，③的面积为1×1÷2×2+2×1=3(cm2)，④的面积为 1×1+(1+2)×1÷2+2×1÷2=3.5(cm2)，由此可知④的面积最大。 故答案为：④。 【思路点拨】①可以看成两个相同的三角形；②可以看成1个正方形和4个相同的三角形；③可以看成1个平行四边形和两个相同的三角形；④可以看成1个平行四边形、1个梯形和1个三角形。 16．（2分）如图所示的梯形是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是　 　cm，面积是　 　cm2。 (单位： cm) 【答案】4；40 【规范解答】因为原来长方形纸的宽为4cm， 所以，这个梯形的高为4cm， 由图可知，梯形的下底是原来长方形纸的长，即7+3+3=13cm， 所以，这个梯形的面积为：. 故填：4；40. 【思路点拨】利用已知条件结合图中数据得出梯形的高；再结合梯形的下底是原来长方形纸的长，从而得出梯形的下底，再由梯形的面积公式得出这个梯形的面积. 17．（1分）如图是一块梯形花园，为方便游客赏花，花园中间修了两条1m 宽的小路，其余部分种观赏花，观赏花的面积为　 　m2。 【答案】66 【规范解答】解：（9＋17）×6÷2-1×6×2 =78-12 =66（平方米）。 故答案为：66。 【思路点拨】观赏花的面积=（梯形的上底＋下底） ×高÷2-小路的底×高×2条。 18．（1分） 如图，AD=EC=4cm，BD=BE=6cm，阴影部分的面积是　 　cm2。 【答案】22.5 【规范解答】解：BD=(6÷4)×AD=1.5×AD， 6×(4+6)÷2=30(cm2)， ①的面积=7.5 cm2， 阴影部分的面积=30-7.5=22.5(cm2)。 故答案为：22.5。 【思路点拨】如图，连接BF、BF： 根据题意可知，图形关于直线BF对称，所以②的面积=③的面积，①的面积=④的面积，因为图①和图②等高，可以求出BD与AD的关系，可以得到②的面积=③的面积=1.5×①的面积， ②的面积+①的面积+③的面积=(1.5×2+1)×①的面积，据此先求出①的面积，再求出阴影部分的面积。 四、看图列式计算(共2题；共8分) 19．（4分）求下面各图形的面积。 （1）（2分） （2）（2分） 【答案】（1）解：根据三角形面积公式，可得 32×26÷2 =832÷2 =416（cm2） 答：三角形的面积是416cm2 （2）解：如图所示，将图形分割成1个三角形和1个长方形 根据长方形的面积公式，可得 12×18=216（cm2） 根据三角形的面积公式，可得 （18-8）×（18-12）÷2 =10×6÷2 =30（cm2） 所以图形的面积为： 216+30=246（cm2） 答：图形的面积为246cm2 【思路点拨】（1）三角形中32cm长的底对应的高是26 cm，根据“三角形的面积=底×高÷2”计算即可。 （2）长方形的面积+三角形的面积=组合图形的面积。 20．（4分） 求下列各涂色部分的面积。(单位：dm) 【答案】解：由切割法，将第一个图形中梯形切成一个三角形和另两个涂色部分三角形，则涂色部分的面积为梯形面积减去三角形的面积， 或涂色面积为两个涂色小三角形的面积之和， 即涂色部分的面积为：(9+14)×12÷2-14×12÷2=54(dm2)或9×12÷2=54(dm2) 由切割法，将第二个图形中三角形切成一个三角形和另一个涂色部分梯形， 则涂色部分的面积为大三角形面积减去小三角形的面积， 即1.5+1.5=3( dm)， 1.8+1.8=3.6( dm) ， 则涂色部分的面积为：3×3.6÷2-1.5×1.8÷2=4.05(dm2). 【思路点拨】由切割法，将第一个图形中梯形切成一个三角形和另两个涂色部分三角形，则涂色部分的面积为梯形面积减去三角形的面积，或涂色面积为两个涂色小三角形的面积之和，从而得出第一个涂色部分的面积；由切割法，将第二个图形中三角形切成一个三角形和另一个涂色部分梯形，则涂色部分的面积为大三角形面积减去小三角形的面积，从而得出第二个涂色部分的面积. 五、解决实际问题(共11题；共57分) 21．（4分）某小区为了改善生态环境，美化生活空间要将一个长10米、宽8米的长方形花坛进行扩建，把这个花坛的长增加5米，宽要增加多少米，面积才会增加100平方米？ 【答案】解：设宽要增加x米，面积才会增加100平方米。 （10+5）×（8+x）-10×8=100 解得，x=4 答：宽要增加4米，面积才会增加100平方米 【思路点拨】根据等量关系“扩大后的面积一原来长方形的面积=增加的面积”列方程解答即可。 22．（5分）如下图，梯形ABCD 的面积是 120平方厘米，高是12 厘米，上底 AD 长 6 厘米，三角形ADE 的面积是 10.8平方厘米，求涂色部分的面积。 【答案】解：BC的长：120×2÷12-6=14(厘米) 10.8×2÷6=3.6(厘米) 12-3.6=8.4(厘米) 14×8.4÷2=58.8(平方厘米) 答：涂色部分的面积为58.8平方厘米。 【思路点拨】首先利用梯形的面积公式120×2÷12-6=14(厘米)，求出梯形ABCD的下底BC的长度。然后，利用三角形ADE的面积和底AD的长度，求出三角形ADE的边AD对应的高10.8×2÷6=3.6(厘米)。最后，用梯形的高减去三角形ADE的边AD对应的高，得到三角形BCE的边BC对应的高12-3.6=8.4(厘米)。这样就可以利用三角形的面积公式求出涂色部分的面积14×8.4÷2=58.8(平方厘米)。 23．（5分）想象无限，创造无限。如图，小康将梯形卡纸的一角翻折，得到一个直角三角形，通过测量，发现涂色部分的面积是325平方厘米。把这个直角三角形剪下，算一算，较短的一条直角边长多少厘米？ 【答案】解：根据题意，可知 （20+32）×25÷2 =52×25÷2 =650（平方厘米） （650-325）÷2 =325÷2 =162.5（平方厘米） 162.5×2÷25 =325÷25 =13（厘米） 答：较短的一条直角边长是13厘米 【思路点拨】根据“梯形的面积=(上底+下底)×高÷2”计算出梯形的面积，梯形的面积一涂色部分的面积=剩下部分的面积，剩下部分的面积正好是2个完全一样的直角三角形的面积和，最后根据“三角形的底=面积×2÷高”求出较短的一条直角边的长度。 24．（5分）（新素养·几何直观）如下图，平行四边形ABCD 的面积是 14 平方厘米。另一个平行四边形 DEFG 的边EF 过点A，点 G 在边BC上。平行四边形 DEFG 的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：如图，连接AG 而 所以， 答：平行四边形 DEFG 的面积是14平方厘米 【思路点拨】如下图，连接AG，三角形 AGD 的面积等于平行四边形ABCD 面积的一半，三角形 AGD的面积也等于平行四边形DEFG 面积的一半，所以平行四边形 DEFG 的面积等于平行四边形ABCD 的面积。 25．（5分）（新素养·几何直观）下图是学校艺术涂鸦墙，现在要把它涂成粉红色，如果每平方米的涂料费是80元，那么这面墙一共需要多少元涂料费？ 【答案】解：(3.5+4.5)×3.2÷2-3.2×2.4÷2=8.96(m2) 8.96×80=716.8(元) 答： 这面墙一共需要716.8元涂料费 26．（5分）（2024四上·海曙期中）一个长方形牧场长8千米，张叔叔开汽车以每小时60千米的速度绕牧场一周需要半小时，这个牧场的面积是多少公顷？ 【答案】解：60÷2=30（千米） 30÷2-8 =15-8 =7(千米) 8×7=56（平方千米）=5600（公顷） 答：这个牧场的面积是5600公顷。 【思路点拨】这个牧场的面积=长×宽，其中，宽=周长÷2-长，周长=汽车的速度÷2，然后再单位换算。 27．（5分）（新素养·几何直观）如下图，在一张长8cm、宽5cm 的长方形纸上剪下一个大写英文字母“Z”。这个字母的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：8×5=40（cm2） (1.8+6.2)×(5-1)÷2=16(cm2) (5-1)×4.5÷2=9(cm2) 40-16-9=15(cm2) 答：这个字母的面积是15平方厘米。 【思路点拨】从图中可以看出，英文字母“Z”的面积应该是长方形的面积减去涂色部分的面积。先求出长方形面积为，然后求出其中为三角形的阴影面积为(5-1)×4.5÷2=9(cm2)，之后再求出梯形阴影的面积(1.8+6.2)×(5-1)÷2=16(cm2)，最后相减得出“Z”的面积为40-16-9=15(cm2)。 28．（5分） 七巧板是一种古老的中国传统益智玩具。玩家可以把它拼成各种人物、动物、桥、房、塔等等。笑笑用一幅七巧板拼了一只乌龟(如图)。这幅七巧板的面积是多少平方厘米? 【答案】解：依题意可得， 最大的直角三角形的两条直角边都是7.5厘米， 所以，这副七巧板的面积等于4个最大直角三角形的面积， 即7.5×(7.5÷2)÷2×8=112.5(cm2)， 答：这幅七巧板的面积是112.5平方厘米. 【思路点拨】利用已知条件结合最大的直角三角形的两条直角边都是7.5厘米，从而得出这副七巧板的面积等于4个最大直角三角形的面积，再结合三角形的面积公式，从而得出这幅七巧板的面积. 29．（6分）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布(如图①)，在梯形布上画出了字母“A”(如图②)，并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）（3分）字母“A”的面积是多少? （2）（3分）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70cm，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48cm，那么剩余的线能将字母全部绣完吗?如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线?(按面积绣) 【答案】（1）解：因为图①中梯形的面积是(2+11)×14÷2=91(cm2)， 图②中小三角形的面积是3×4÷2=6(cm2)，图②中小梯形的面积是(4+7)×6÷2=33(cm2)， 所以字母“A”的面积是 答：字母“A”的面积是52cm2。 （2）解：能，理由如下：因为(11-7)÷2=2(cm)， 所以图③阴影部分是底为2cm、高为14cm的平行四边形， 所以已绣部分的面积为 由(1)可知，剩余部分的面积为 52-28=24(cm2)， 因为绣了28cm2用了22cm的线，剩余的24cm2，还有48cm的线，所以剩余的线能将字母全部绣完。 【思路点拨】（1）首先，计算图①中梯形的面积。梯形面积公式为。接着，计算图②中小三角形的面积。三角形面积公式为计算图②中小梯形的面积。最后，字母 “A” 的面积为大梯形面积减去小三角形面积和小梯形面积。 （2）首先，计算图③中阴影部分的面积。阴影部分是一个底为、高为的平行四边形，其面积公式为由第一问可知，字母 “A” 剩余部分的面积。根据比例关系计算需要的线长。比较剩余的线长得出结论。 30．（6分）（2022五上·上思月考）王亮家要粉刷一面墙（如图，中间是窗户）。（单位：米） （1）（3分）请你帮他算一算，要粉刷多大的面积？ （2）（3分）如果每平方米要用涂料2千克，一共要买多少千克涂料？ 【答案】（1）解：4×4-1×2+（1+4+1）×1÷2 =16-2+3 =17（平方米） 答：要粉刷的面积是17平方米。 （2）解：17×2=34（千克） 答：一共要买34千克涂料。 【思路点拨】（1）正方形面积-长方形面积+三角形面积=要粉刷的面积； （2）要粉刷的面积×每平方米要用涂料质量=一共要买涂料的质量。 31．（6分）（2022五上·合肥期末）植物是制造氧气的“工厂”，根据测算，1平方米的草坪每天能够释放约0.9千克的氧气。 （1）（3分）如图，在一块梯形草坪中间有一条宽1米的石子路。这块草坪面积是多少平方米？ （2）（3分）这块草坪一个月（30天）大约能释放氧气多少千克？ 【答案】（1）解：方法一： （36+50）×35÷2=1505（平方米） 1×35=35（平方米） 1505-35=1470（平方米） 方法二： 36-1=35（米），50-1=49（米） （35+49）×35÷2=1470（平方米） 答：这块草坪的面积是1470平方米。 （2）解：0.9×1470×30 =1323×30 =39690（千克） 答：这块草坪一个月大约能释放氧气39690千克。 【思路点拨】（1）方法一：草坪的面积=梯形面积-平行四边形面积； 方法二：把左边的图形向右平移，直接拼成一个梯形，按梯形面积计算； （2）1平方米的草坪每天释放氧气的质量×草坪的面积×30天=这块草坪一个月释放氧气的质量。 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