精品解析：山东省临沂市蒙阴第一中学2024-2025学年高二上学期11月教学质量检测数学试题

2024-2025学年第一学期教学质量检测 高二 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（ ） A. B. 0 C. D. 6. 在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选不全得部分分，选错的得零分．共18分） 9. 已知直角坐标平面内的两点、，则（ ） A. 直线的一般式方程为 B. 线段的中垂线所在直线的方程为 C. 以向量为方向向量且过点的直线的方程为 D. 一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为 10. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题（每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分） 12. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为______________. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______. 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知抛物线的焦点为F，点在C上． （1）求p的值及F的坐标； （2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求． 16. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，AB=2，，E为PC的中点． （1）求直线DE与平面PAC所成角的大小； （2）求二面角平面角的正切值． 17. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为. （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点. 19. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； （3）设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期教学质量检测 高二 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件求圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】由条件可知圆心是线段的中点，所以圆心坐标，即， 长为圆的直径，，所以圆的半径， 则以线段为直径的圆的方程为. 故选：A 2. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，逐个判断即可. 【详解】符合条件的应满足， 对于A，，， 对于B，，， 对于C，，， 对于D，，， 故选：B 3. 已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】根据题意可得，所以， 故选：C 4. 开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量加法与数乘运算，即可求解. 【详解】因为 ． 所以，，，故． 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的方程为，利用点到直线距离公式得到不等式，求出斜率的取值范围. 【详解】由图形可知，直线的斜率一定存在， 设出直线的方程为， 圆心到直线的距离， 解得. 故选：D 7. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，,根据题意得到，求得，结合，得到，结合双曲线的定义，得到，即可求解. 【详解】如图所示，双曲线的右焦点为，的中点为，连接，, 因为，为的中点，所以，则，可得， 又因为，所以， 则，，可得， 所以的离心率为． 故选：B. 8. 已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项AB；利用双曲线定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项CD. 【详解】对于A选项，，、，， 所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为， 假设存在点，满足，则， 解得，不合乎题意， 所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”； 对于B选项，，、，， 所以，， 到焦点距离的最小值为，最大值为， 假设存在点，满足，则， 解得，不合乎题意， 所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”； 对于C选项，双曲线的方程为， 则双曲线的两个焦点为，、，． 到焦点距离的最小值为， 若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为， 可得 所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”； 对于D选项，双曲线的标准方程为， 则，，、，所以，， 到焦点距离的最小值为， 若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为， 则，解得， 所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选不全得部分分，选错的得零分．共18分） 9. 已知直角坐标平面内的两点、，则（ ） A. 直线的一般式方程为 B. 线段的中垂线所在直线的方程为 C. 以向量为方向向量且过点的直线的方程为 D. 一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的方程，可判断A选项的正误；求出线段的中垂线方程，可判断B选项的正误；求出直线的方程，可判断C选项的正误；求出反射光线的方程，可判断D选项的正误. 【详解】对于A，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故选项A正确； 对于B，由中点坐标公式可得，线段的中点坐标为， 又直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线的方程，即. 故选项B错误； 对于C，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为， 由直线的点斜式可知，直线的方程为，即， 故选项C正确； 对于D，关于轴的对称点为， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即反射光线所在的直线方程为，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，建系，利用距离公式求解,D选项，找到的轨迹，计算即可；. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，如图建系，由， 设，则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，正确. 对于D， 因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题（每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分） 12. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 作交于，可得平面，由平行线的性质求得即可． 【详解】作交于，因为平面，所以平面， ， 由得，所以． 故答案为：． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______. 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据题意，运用离心率的计算公式求解即可；联立直线和椭圆方程，求出A点的横纵坐标，进而得到，结合题意及，化简即可. 【详解】椭圆是"西瓜椭圆"， 离心率， 解得. 设， 联立消去并整理得 ， ，即， ， ，易知， 以线段为直径的圆经过点， ，， ，，又， 代入上式并化简得，解得. 故答案为：9， 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知抛物线的焦点为F，点在C上． （1）求p的值及F的坐标； （2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）将M坐标代入方程即可； （2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可. 【小问1详解】 将代入，得，解得， 所以 【小问2详解】 由（1）得抛物线方程为， 直线l的方程为， 联立消y得， 解得或， 因为A在第一象限，所以， 所以，， 所以 16. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，AB=2，，E为PC的中点． （1）求直线DE与平面PAC所成角的大小； （2）求二面角平面角的正切值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角； （2）利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE， ∵分别为的中点，则，， 且平面ABCD，则平面ABCD， ∵底面是菱形ABCD，，AB=2，，则BD=2，， 以O为原点，OA、OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，， 可得，． ∵平面PAC的法向量为， ， 设直线DE与平面PAC所成的角，则， 故直线DE与平面PAC所成的角为. 【小问2详解】 设二面角的平面角为， 平面ADC的法向量为， 设平面EAD的法向量为，则， 令，则，得到， ∴， 即，则，∴， 故二面角的平面角的正切值是2． 17. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程． 【答案】（1）; （2）有2条，分别为、。 【解析】 【分析】（1）由题设易知圆心在直线上，联立求圆心坐标，进而求半径，即可得圆的方程. （2）判断的位置，讨论直线l斜率，结合圆的方程，应用韦达定理、弦长公式求参数，即可判断直线的条数及对应方程. 【小问1详解】 由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为， ∴圆的半径为， 综上，圆C的标准方程：. 【小问2详解】 ∵， ∴在圆外， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，，显然符合题设； 当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：， 若，，则，， ∴，可得：. ∴此时，直线l：，即. 综上，符合条件的直线有2条，分别为、. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为. （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点. 【答案】（1） （2）证明：椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为， 设，， 由题，联立方程组，消去x得， 所以，， ，得，同理，，得， 设轴上一点，则，同理得:， ， 因为， 得：，即或， 所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，. 【解析】 【分析】（1）由离心率，及顶点坐标得椭圆的方程； （2）设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点. 【小问1详解】 由题可得，，得， 所以椭圆的方程：； 【小问2详解】 略 19. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； （3）设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 设“共轭点对”中点的坐标为 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解得或， 于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用A，D关于轴对称分析得三点在椭圆上，从而利用待定系数法即可得解； （2）利用“共轭点对”的定义，得到关于点坐标的方程组，解之即可得解； （3）根据题意，利用点差法分析得线段PQ的中点在直线上，从而将四边形的面积转化为两个的面积，再利用椭圆上点到直线的距离的最值即可得解. 【小问1详解】 由于A，D两点关于轴对称， 故由题意知椭圆经过A，D两点， 显然椭圆不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上， 设的标准方程为， 因此，解得， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则， 则所在的直线的方程为，即，， 设点，则， 两式相减得，则， 又，于是， 则，即， 所以线段PQ的中点在直线上，即线段PQ被直线平分， 设点到直线的距离为， 则四边形的面积， 又，则有， 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时取最大值， 联立，消去得，， 令，得， 则，当为切点时，等号成立，此时（或）与重合， 故，即四边形的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $