第07讲 复数的三角表示（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第07讲 复数的三角表示 【人教A版2019】 模块一 复数的三角表示式 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1.1】（2024高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【解答过程】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B. 【例1.2】（23-24高三上·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的三角形式的定义直接判断. 【解答过程】复数的模为1，辐角为， 所以复数的三角形式为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【解题思路】 利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，，A错； 对于B选项，为纯虚数，B错； 对于C选项，因为， 因此，，C对； 对于D选项，，则，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错. 故选：C. 【题型2 求辅角主值】 【例2.1】（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【解答过程】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 【例2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【解题思路】复数可以写成 的形式，即可求得复数的辐角主值. 【解答过程】，所以复数的辐角主值. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一下·上海·课后作业）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数，利用复数的除法得到 ，再转化为三角形式求解. 【解答过程】解：因为复数， 所以， ， ， ， 所以， 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解． 【解答过程】解：， 因为， 所以，所以， 所以该复数的辐角主值为． 故选：B. 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【解题思路】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【解答过程】设， 所以 . 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【解答过程】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D. 【变式3.1】（23-24高一下·全国·课后作业）计算（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数三角形式的乘方运算可解. 【解答过程】， 故选：B. 【变式3.2】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【解答过程】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B. 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例4.1】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【解答过程】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 【例4.2】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【解题思路】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【解答过程】（1）. （2）. 【变式4.1】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【解题思路】运用特殊角的三角函数值计算即可. 【解答过程】（1）. （2）. 【变式4.2】（24-25高一·全国·随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解. 【解答过程】（1）6对应的向量如答图中， ，又， .    （2）对应的向量如答图中， ， 又，.    （3）对应的向量如答图中 ， 又，.    （4）对应的向量如答图中， ， 又，.    模块二 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 =(+i)(+i)=[(+)+i(+)]， 即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)]. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i (-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)]. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】 【例5.1】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可. 【解答过程】因为 所以， 所以， 故选：B. 【例5.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【解答过程】， . 故选：D. 【变式5.1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3） . 【变式5.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． 【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例6.1】（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得旋转后对应的复数为. 【解答过程】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【例6.2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解答过程】 逆时针旋转后得， 所以=. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【解答过程】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 【变式6.2】（2024高一下·全国·专题练习）已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】 利用复数的三角表示可得出向量，对应的复数，可得结果. 【解答过程】 易知向量，对应的复数分别为， ； 所以 ； 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解答过程】由题意得，故D正确. 故选：D. 2．（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【解答过程】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【解答过程】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C. 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【解答过程】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【解答过程】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 6．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【解答过程】. 故选：B. 7．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【解答过程】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 【解题思路】 辅角的主值的取值范围是，若，，即可判断；由，即可判断；因为，即可判断；，为辐角的主值，可判断. 【解答过程】 设，，则， 若，，则的辐角的主值为，不正确； ，的辐角的主值为，正确； 设，， ，， ， 若，则的辐角的主值为，不正确； ， 所以的辐角的主值是，正确. 故选：. 10．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【解题思路】根据题意，化简得到，，结合选项，即可求解. 【解答过程】因为， ， 所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到. 故选：AD. 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【解题思路】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【解答过程】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： ． 【解题思路】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【解答过程】 ． 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 【解题思路】利用辐角的性质求解即可. 【解答过程】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 1 . 【解题思路】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模. 【解答过程】由题意得 ， 所以. 故答案为：1. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 【解题思路】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【解答过程】因为 ． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】根据复数三角形式的知识求得正确答案. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4） . 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【解题思路】将复数改写成三角形式，再利用三角形式的复数乘法的几何意义即得. 【解答过程】复数的三角形式是， 依题意，向量对应的复数是: ． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 【解题思路】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可. （2）利用旋转的性质求出z、，最后利用辐角的性质求解即可. 【解答过程】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式，解得， 由点在第三象限知. 19．（23-24高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【解题思路】（1）当时，为实数，可求出； （2）由先求出，再根据，得到，，进而可得. 【解答过程】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为， 所以 解得； （2）当时，，． 所以， 所以， 所以，， 因为，所以． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 复数的三角表示 【人教A版2019】 模块一 复数的三角表示式 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1.1】（2024高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【题型2 求辅角主值】 【例2.1】（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·上海·课后作业）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【例3.2】（23-24高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一下·全国·课后作业）计算（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例4.1】（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【例4.2】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【变式4.1】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【变式4.2】（24-25高一·全国·随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 模块二 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 =(+i)(+i)=[(+)+i(+)]， 即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)]. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i (-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)]. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】 【例5.1】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【例6.1】（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2024高一下·全国·专题练习）已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 7．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 10．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）计算： ． 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 19．（23-24高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$