第二章 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系(2)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第一册学习手册（人教版2019）

!6#$789:;%&'<= 　学 ３１　 ３．匀变速直线运动的位移与时间的关系 （２） 知识点１　匀变速直线运动的几个常用 　　　　 的导出公式 １．平均速度公式：ｖ＝ｖｔ ２ ，即某段时间内平 均速度等于这段时间中间时刻的瞬时 速度。 ２．ｖ＝ ｖ０＋ｖ ２ ，即某段时间内的平均速度等 于初、末速度的平均值。 ３．匀变速直线运动的中点位置的速度公式 ｖｘ ２ ＝ ｖ２０＋ｖ ２ 槡２ 。 ４．在连续相等时间间隔 Ｔ内的位移之差为 一恒定值，即Δｘ＝ａＴ２。 知识点２　初速度为０的匀加速直线运 　　　　 动的特殊规律 １．在１Ｔ末，２Ｔ末，３Ｔ末，…，ｎＴ末的瞬 时速度之比为ｖ１∶ｖ２∶ｖ３∶…∶ｖｎ＝１∶２∶３∶…∶ ｎ。 ２．在１Ｔ内，２Ｔ内，３Ｔ内，…，ｎＴ内的位 移之比为ｘ１∶ｘ２∶ｘ３∶…∶ｘｎ＝１ ２∶２２∶３２∶…∶ ｎ２。 ３．在第１个 Ｔ内，第２个 Ｔ内，第３个 Ｔ 内，…，第ｎ个Ｔ内的位移之比为ｘⅠ∶ｘⅡ∶ ｘⅢ∶…∶ｘｎ＝１∶３∶５∶…∶（２ｎ－１）。 ４．从静止开始通过连续相等的位移所用时 间之比为ｔ１∶ｔ２∶ｔ３∶…∶ｔｎ＝１∶（槡２－１）∶ （槡３－槡２）∶…∶（槡ｎ－ ｎ槡 －１）。 ５．从静止开始通过连续相等的位移时的速 度之比为ｖ１∶ｖ２∶ｖ３∶…∶ｖｎ＝１∶槡２∶槡３∶…∶ 槡ｎ。 注意：以上比例式成立的前提是物体做 初速度为０的匀加速直线运动，对于末速度 为０的匀减速直线运动，可把它看成逆向的 初速度为０的匀加速直线运动，应用比例关 系，可使问题简化。 要点１　匀变速直线运动中间时刻的瞬 　　　 时速度与平均速度 １．匀变速直线运动中，某段过程的平均速 度等于初、末速度的平均值，即ｖ＝ １ ２（ｖ０＋ｖ）。 证明：如下图所示为匀变速直线运动的 ｖ－ｔ图像，则ｔ时间内的位移为ｘ＝１２（ｖ０＋ ｖ）ｔ，故平均速度为ｖ＝ｘｔ＝ １ ２（ｖ０＋ｖ）。 ２．匀变速直线运动中，某段 过程中间时刻的瞬时速度 等于该过程的平均速度， 即ｖｔ ２ ＝ｖ＝１２（ｖ０＋ｖ                                                         ）。 * + , - . / !"012345 ３２　 学 证明：如上图所示，对０～ｔ２， 有ｖｔ ２ ＝ｖ０＋ａ· ｔ ２， 对 ｔ ２～ｔ，有ｖ＝ｖ ｔ ２ ＋ａ· ｔ２； 由两式可得ｖｔ ２ ＝１２（ｖ０＋ｖ）＝ｖ。 ３．平均速度公式总结。 （１）ｖ＝ｘｔ，适用条件：任意运动。 （２）ｖ＝ ｖ０＋ｖ ２ ，适用条件：匀变速直线运动。 （３）ｖ＝ｖｔ ２ ，适用条件：匀变速直线运动。 　　注意：对匀变速直线运动有ｖ＝ｖｔ ２ ＝ ｖ０＋ｖ ２ 。 例１　一质点做匀变速直线运动，初速度 ｖ０ ＝２ｍ／ｓ，４ｓ内位移为２０ｍ。求： （１）质点４ｓ末的速度。 （２）质点２ｓ末的速度。 　　明确质点运动性质、运动过程，选 择适当公式进行计算。 解析：方法一　利用平均速度公式 ４ｓ内的平均速度ｖ＝ｘｔ＝ ｖ０＋ｖ４ ２ ，代入数据 解得，４ｓ末的速度ｖ４＝８ｍ／ｓ， ２ｓ末的速度ｖ２＝ ｖ０＋ｖ４ ２ ＝ ２＋８ ２ ｍ／ｓ＝５ｍ／ｓ。 方法二　利用两个基本公式 由ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２得ａ＝１５ｍ／ｓ２，再由ｖ＝ｖ０ ＋ａｔ得质点 ４ｓ末的速度 ｖ４＝（２＋１５× ４）ｍ／ｓ＝８ｍ／ｓ，２ｓ末的速度 ｖ２＝（２＋１５ ×２）ｍ／ｓ＝５ｍ／ｓ。 答案：（１）８ｍ／ｓ　 （２）５ｍ／ｓ 　　 （多选）做匀加速直线运动的物体， 先后经过 Ａ，Ｂ两点的速度分别为４ｖ、８ｖ， 经历的时间为ｔ，则 （　　） Ａ．物体在Ａ，Ｂ间的平均速度为６ｖ Ｂ．物体在位移中间时刻的瞬时速度为 槡２１０ｖ Ｃ．物体的加速度为６ｖｔ Ｄ．Ａ，Ｂ间的位移为１２ｖｔ 要点２　匀变速直线运动中点位置的速度 １．公式：ｖｘ ２ ＝ ｖ２０＋ｖ ２ 槡２ 。 ２．公式适用条件：匀变速直线运动。 ３．公式推导过程。 一质点做匀变速直线运动。已知一段时 间内的位移为ｘ，初速度为ｖ０，末速度为ｖ， 对前半位移有ｖ２ｘ ２ －ｖ２０＝２ａ· ｘ ２，对后半位移 有ｖ２－ｖ２ｘ ２ ＝２ａ·ｘ２，两式联立可得此过程中 点位置的速度ｖｘ ２ ＝ ｖ２０＋ｖ ２ 槡２ 。 ４．在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速 度ｖｔ ２ 与中间位置的瞬时速度 ｖｘ ２ 的大小 关系。 如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度 与ｔ′对应，故有ｖｘ ２ ＞ｖｔ ２                                                                   。 !6#$789:;%&'<= 　学 ３３　 例２　滑板爱好者由静止开始沿一斜坡匀加 速下滑，经过斜坡中点时的速度为 ｖ，则到 达斜坡底端时的速度为 （　　） Ａ．槡２ｖ　　Ｂ．槡３ｖ　　Ｃ．２ｖ　　Ｄ．槡５ｖ 　　匀变速直线运动已知初速度和中点 时的速度，可以应用中间位置速度公式 求末速度。 解析：由匀变速直线运动的中点位置的速度 公式ｖｘ ２ ＝ ｖ２０＋ｖ ２ 槡２ ，有ｖ＝ ０＋ｖ２底 槡２ ，得ｖ底 ＝ 槡２ｖ，所以Ａ正确。 答案：Ａ 　　做匀加速运动的列车出站时，车头经过 站台某点Ｏ时的速度是１ｍ／ｓ，车尾经过 Ｏ 点时的速度是７ｍ／ｓ，则这列列车的中点经 过Ｏ点时的速度为 （　　） Ａ．５ｍ／ｓ Ｂ．５５ｍ／ｓ Ｃ．４ｍ／ｓ Ｄ．３５ｍ／ｓ 要点３　匀变速直线运动重要推论Δｘ＝ａＴ２ １．匀变速直线运动中，在连续相等的时间 Ｔ内的位移之差为一恒定值，即 Δｘ＝ ａＴ２。 ２．应用。 （１）判断物体是否做匀变速直线运动。 如果 Δｘ＝ｘ２－ｘ１＝ｘ３－ｘ２＝… ＝ｘｎ－ ｘｎ－１＝ａＴ ２成立，则 ａ为一恒量，说明物体 做匀变速直线运动。 （２）求加速度。 利用连续相等时间段内的位移差 Δｘ， 可求得ａ＝Δｘ Ｔ２ 。 例３　做匀加速直线运动的物体，从开始计 时起连续两个４ｓ的时间间隔内通过的位移 分别是４８ｍ和８０ｍ，则这个物体的初速度 和加速度各是多少？ 　　匀变速直线运动给定连续相等时间 内的位移信息时，常用 Δｘ＝ａＴ２求加 速度。 解析：方法一　根据关系式 Δｘ＝ａＴ２，物体 的加速度ａ＝Δｘ Ｔ２ ＝８０－４８ ４２ ｍ／ｓ２＝２ｍ／ｓ２，由 于前４ｓ内的位移４８＝ｖ０×４＋ １ ２ａ×４ ２，故 初速度ｖ０＝８ｍ／ｓ。 方法二　设物体的初速度和加速度分别为 ｖ０、ａ，由公式ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２得前４ｓ内的位 移４８＝ｖ０×４＋ １ ２ａ×４ ２，前８ｓ内的位移４８ ＋８０＝ｖ０×８＋ １ ２ａ×８ ２，解以上两式得 ｖ０＝ ８ｍ／ｓ，ａ＝２ｍ／ｓ２。 方法三　物体运动开始后第２ｓ、第６ｓ时的 速度分别为ｖ１＝ ｘ１ Ｔ＝ ４８ ４ｍ／ｓ＝１２ｍ／ｓ，ｖ２＝ ｘ２ Ｔ１ ＝２０ｍ／ｓ，故物体的加速度 ａ＝ ｖ２－ｖ１ Δｔ ＝ ２０－１２ ４ ｍ／ｓ ２＝２ｍ／ｓ２。 初速度ｖ０＝ｖ１－ａ· Ｔ ２＝１２ｍ／ｓ－２×                                                                   ２ｍ／ｓ＝ * + , - . / !"012345 ３４　 学 ８ｍ／ｓ。 答案：８ｍ／ｓ　２ｍ／ｓ２ 　　 （多选）一质点在连续的６ｓ内做匀加 速直线运动，在第一个２ｓ内位移为１２ｍ， 最后一个２ｓ内位移为３６ｍ，则下面说法正 确的是 （　　） Ａ．质点的加速度大小是６ｍ／ｓ２ Ｂ．质点的加速度大小是３ｍ／ｓ２ Ｃ．第１ｓ末的速度大小是６ｍ／ｓ Ｄ．第１ｓ末的速度大小是８ｍ／ｓ 要点４　追及、相遇问题 １．分析 “追及”问题应注意的几点。 （１）一定要抓住 “一个条件，两个关系”。 ①“一个条件”是两物体的速度满足的临界 条件，如两物体距离最大、最小，恰好追 上或恰好追不上等。 ②“两个关系”是时间关系和位移关系。其 中通过画草图找到两物体位移之间的数量 关系，是解题的突破口。 （２）若被追赶的物体做匀减速运动，一定 要注意被追上前该物体是否已停止 运动。 （３）仔细审题，注意抓住题目中的关键字 眼 （如 “刚好”“恰好”“最多”“至 少”等），充分挖掘题目中的隐含 条件。 ２．主要方法。 ①临界条件法；②图像法；③数学法。 例４　一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿 灯亮时汽车以 ａ＝３ｍ／ｓ２的加速度开始行 驶，恰在这时一人骑自行车以 ｖ０＝６ｍ／ｓ的 速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问： （１）汽车从路口开动后，在追上自行车之 前经过多长时间两车相距最远？最远 距离是多大？ （２）当汽车与自行车距离最近时汽车的速 度是多大？ 　　求解追及相遇问题的一般思路 分析物体 运动过程 → 画运动 示意图 → 找两物体 位移关系 → 列位移 方程　 解析：方法一　用临界条件求解 （１）如图甲，当汽车的速度为ｖ＝６ｍ／ｓ时， 二者相距最远，所用时间为 ｔ＝ｖａ＝２ｓ，最 远距离为Δｘ＝ｖ０ｔ－ １ ２ａｔ ２＝６ｍ。 例４题答图 （２）两车距离最近时有ｖ０ｔ′＝ １ ２ａｔ′ ２，解得ｔ′ ＝４ｓ，汽车的速度为ｖ＝ａｔ′＝１２ｍ／ｓ。 方法二　用图像法求解 （１）汽车和自行车的ｖ－ｔ图像如图乙所示， 由图像可得ｔ＝２ｓ时，二者相距最远。最远 距离等于图中阴影部分的面积，即Δｘ＝１２× ６×２ｍ＝６ｍ                                                                   。 !6#$789:;%&'<= 　学 ３５　 （２）两车距离最近时，即两个ｖ－ｔ图线下方 面积相等时，由图像得此时汽车的速度为 ｖ ＝１２ｍ／ｓ。 方法三　用数学方法求解 （１）由题意知自行车与汽车的位移之差为 Δｘ＝ｖ０ｔ－ １ ２ａｔ ２，因二次项系数小于０，当 ｔ ＝ －ｖ０ ２× －１２( )ａ ＝２ｓ时有最大值，最大值Δｘｍａｘ ＝ｖ０ｔ－ １ ２ａｔ ２＝６×２ｍ－１２×３×２ ２ｍ＝６ｍ。 （２）当Δｘ＝ｖ０ｔ－ １ ２ａｔ ２＝０时相遇得ｔ＝４ｓ， 汽车的速度为ｖ＝ａｔ＝１２ｍ／ｓ。 答案：（１）２ｓ　６ｍ　 （２）１２ｍ／ｓ 　变式训练４题图 　　如图所示，直线 ＭＮ表示一条平直公 路，甲、乙两辆汽车 原来停在 Ａ、Ｂ两处，Ａ、Ｂ间的距离为 ８５ｍ，现甲车先开始向右做匀加速直线运 动，加速度 ａ１＝２５ｍ／ｓ ２，甲车运动６０ｓ 时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速 度ａ２＝５０ｍ／ｓ ２，求两辆汽车相遇处距Ａ处 的距离。 变式训练答案 １．ＡＢ　２．Ａ　３．ＢＣ ４．１２５ｍ或                              ２４５ｍ ４．自由落体运动 知识点１　自由落体运动 １．定义：自由落体运动是物体只在重力作 用下从静止开始下落的运动。 ２．运动性质：初速度为 ０的匀加速直线 运动。 知识点２　自由落体的加速度 １．定义：在同一地点，一切物体自由下落 的加速度都相同，这个加速度叫自由落 体加速度，又叫作重力加速度，通常用 ｇ表示。 ２．方向：总是竖直向下。 ３．大小：在地球的不同地点，ｇ的大小一 般不相同。计算中 ｇ一般取 ９８ｍ／ｓ２， 近似计算时，ｇ取１０ｍ／ｓ２。 知识点３　自由落体运动的规律 １．速度公式：ｖ＝ｇｔ。 ２．位移公式：ｈ＝１２ｇｔ ２。 ３．速度位移公式：ｖ２＝２ｇｈ。 知识点４　伽利略对自由落体运动的研究 １．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是 由它们的重量决定的。 ２．伽利略的研究                           。