第二章 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系(1)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第一册学习手册（人教版2019）

!6#$789:;%&'<= 　学 ２７　 ３．匀变速直线运动的位移与时间的关系 （１） 知识点１　匀速直线运动的位移 １．位移公式：ｘ＝ｖｔ。 ２．由 ｖ－ｔ图像求位移：对于匀速直线运 动，物体的位移在数值上等于 ｖ－ｔ图 像与对应的时间轴所包围的矩形的 面积。 知识点２　匀变速直线运动的位移 １．位移在 ｖ－ｔ图像中的表 示：做匀变速直线运动 的物体的位移对应着 ｖ－ ｔ图像中的图线和ｔ轴所包围的面积。如 图所示，在０～ｔ时间内的位移大小等于 加阴影的梯形的面积。 ２．位移与时间的关系：ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２，若 初速度ｖ０＝０，则ｘ＝ １ ２ａｔ ２。 知识点３　匀变速直线运动的速度与位移 　　　　 的关系 　　速度位移公式：ｖ２－ｖ２０＝２ａｘ，若初速度 ｖ０＝０，则ｖ ２＝２ａｘ。 要点１　位移公式ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２的推导 　　如图甲所示，在匀变速 直线运动中运用 “无限分割、 逐步逼近”的微分思想可得 ｖ－ｔ图像与时间轴所围成的 “面积”表示位移的大小。 如图乙所示，速度图线和时 间轴所包围的梯形面积为Ｓ＝１２（ＯＣ＋ＡＢ）· ＯＡ，与之对应的物体的位移ｘ＝１２（ｖ０＋ｖ）ｔ， 由速度公式ｖ＝ｖ０＋ａｔ，代入上式得ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２。 例１　一物体做初速度为０的匀加速直线运 动，加速度为ａ＝２ｍ／ｓ２，求： （１）第５ｓ末物体的速度。 （２）前４ｓ的位移。 （３）第４ｓ内的位移。 　　明确物体的运动性质 （匀加速直线 运动），选择适当公式，分清公式中各个 字母所代表的物理量，代入数据计算。 解析：（１）第５ｓ末物体的速度由 ｖ＝ｖ０                                                        ＋ * + , - . / !"012345 ２８　 学 ａｔ１得ｖ＝０＋２×５ｍ／ｓ＝１０ｍ／ｓ。 （２）前４ｓ的位移由 ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２得 ｘ１＝０ ＋１２×２×４ ２ｍ＝１６ｍ。 （３）物体第３ｓ末的速度ｖ３＝ｖ０＋ａｔ３＝０＋２ ×３ｍ／ｓ＝６ｍ／ｓ，则第４ｓ内的位移ｘ４＝ｖ３ｔ３ ＋１２ａｔ ２ ３＝６×１ｍ＋ １ ２×２×１ ２ｍ＝７ｍ。 答案：（１）１０ｍ／ｓ　 （２）１６ｍ　 （３）７ｍ 　　一物体以大小为２ｍ／ｓ的初速度做匀加 速直线运动，４ｓ内位移大小为１６ｍ，则 （　　） Ａ．物体的加速度大小为２ｍ／ｓ２ Ｂ．４ｓ内的平均速度大小为６ｍ／ｓ Ｃ．４ｓ末的瞬时速度大小为６ｍ／ｓ Ｄ．前２ｓ内的位移大小为２ｍ 要点２　对位移公式ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２的理解 １．适用条件：匀变速直线运动。 ２．公式ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２为矢量式，其中的ｘ、 ｖ０、ａ都是矢量，应用时必须选取统一的 正方向，一般选初速度 ｖ０的方向为正 方向。 （１）匀加速直线运动，ａ取正值；匀减速直 线运动，ａ取负值。 （２）若位移为正值，位移的方向与规定的 正方向相同；若位移为负值，位移的 方向与规定的正方向相反。 （３）两种特殊形式。 ①当ａ＝０时，ｘ＝ｖ０ｔ（匀速直线运动）。 ②当ｖ０＝０时，ｘ＝ １ ２ａｔ ２ （由静止开始的匀 变速直线运动）。 例２　一辆汽车正在平直的公路上以７２ｋｍ／ｈ 的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩 下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运 动。设汽车减速过程的加速度大小为５ｍ／ｓ２， 求： （１）开始制动后，前２ｓ内汽车行驶的距离。 （２）开始制动后，前５ｓ内汽车行驶的距离。 　　本题的易错点在于不考虑实际情况， 盲目套用位移公式ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２，将ｔ＝ ２ｓ或ｔ＝５ｓ直接代入导致错解。解答该 类问题时应先计算汽车多长时间停止运 动，才能判断制动后 ｔ＝２ｓ和 ｔ＝５ｓ内 的运动情况。 解析：汽车的初速度ｖ０＝７２ｋｍ／ｈ＝２０ｍ／ｓ， 末速度ｖ＝０，加速度ａ＝－５ｍ／ｓ２；汽车运 动的总时间ｔ＝ ｖ－ｖ０ ａ ＝ ０－２０ｍ／ｓ －５ｍ／ｓ２ ＝４ｓ。 （１）因为ｔ１＝２ｓ＜ｔ，所以汽车２ｓ末没有 停止运动，故ｘ１＝ｖ０ｔ１＋ １ ２ａｔ ２ １＝２０×２－ １( ２× ５×２)２ ｍ＝３０ｍ。 （２）因为ｔ２＝５ｓ＞ｔ，所以汽车５ｓ时早已 停止运动，故ｘ２＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２＝２０×４－１( ２× ５×４)２ ｍ＝４０ｍ。 注意：也可以用逆向思维法，即对于末 速度为０的匀减速直线运动，可把它看成逆 向的初速度为０的匀加速直线运动。此题可 以用如下解法：ｘ２＝ １ ２ａｔ ２＝１２×５×４ ２ｍ＝４０ｍ。 答案：（１）３０ｍ　 （２）                                                                   ４０ｍ !6#$789:;%&'<= 　学 ２９　 　　汽车以１０ｍ／ｓ的速度在平直公路上匀 速行驶，刹车后经２ｓ速度变为６ｍ／ｓ。求： （１）汽车刹车后４ｓ的速度。 （２）汽车刹车后６ｓ内前进的距离。 （３）汽车刹车后前进２４ｍ所用的时间。 （４）汽车刹车后第４ｓ内前进的距离。 要点３　匀变速直线运动位移与速度关系 １．公式：ｖ２－ｖ２０＝２ａｘ。 ２．推导：物体以加速度 ａ做匀变速直线运 动时，设其初速度为 ｖ０，末速度为 ｖ， 则由速度公式：ｖ＝ｖ０＋ａｔ，位移公式： ｘ＝ｖ０ｔ＋ １ ２ａｔ ２，消去时间ｔ得位移与速度 的关系式为ｖ２－ｖ２０＝２ａｘ。 ３．匀变速直线运动的位移速度公式：ｖ２－ｖ２０ ＝２ａｘ，此式是矢量式，应用解题时一定 要先选定正方向，并注意各量的符号。 若ｖ０方向为正方向，则： （１）物体做加速运动时，加速度 ａ取正值； 做减速运动时，加速度ａ取负值。 （２）位移ｘ＞０说明物体通过的位移方向与 初速度方向相同，ｘ＜０说明物体通过 的位移方向与初速度方向相反。 ４．两种特殊情况。 （１）当ｖ０＝０时，ｖ ２＝２ａｘ。 （２）当ｖ＝０时，－ｖ２０＝２ａｘ。 ５．公式特点：该公式不涉及时间。 例３　Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上，一物 体从Ａ点由静止开始做匀加速直线运动，经 过Ｂ点的速度是ｖ，到Ｃ点的速度是３ｖ，则 ｘＡＢ∶ｘＢＣ等于 （　　） Ａ．１∶８　　Ｂ．１∶６　　Ｃ．１∶５　　Ｄ．１∶３ 　　本题物体运动性质为匀加速直线运 动，有速度关系不涉及时间，所以选择 公式ｖ２－ｖ２０＝２ａｘ，注意计算时要分清物 理过程。 解析：由公式 ｖ２－ｖ２０＝２ａｘ，得 ｖ ２＝２ａｘＡＢ， （３ｖ）２＝２ａ（ｘＡＢ＋ｘＢＣ），联立两式可得 ｘＡＢ∶ ｘＢＣ＝１∶８。 答案：Ａ 　　列车关闭发动机进站，做匀减速直线运 动，当滑行３００ｍ时，速度减为一半，则列 车进站滑行的总路程是 （　　） Ａ．４００ｍ　　　　　Ｂ．６００ｍ Ｃ．９００ｍ Ｄ．１２００ｍ 要点４　运动图像的应用 １．应用运动图像解题的注意事项。 （１）无论是ｘ－ｔ图像还是ｖ－ｔ图像都只能 描述直线运动。 （２）ｘ－ｔ图像和 ｖ－ｔ图像都不表示物体运 动的轨迹。 （３）ｘ－ｔ图像和 ｖ－ｔ图像的形状由 ｘ与 ｔ、 ｖ与ｔ的函数关系决定。 ２．应用运动图像解题 “六看”。 ｘ－ｔ图像 ｖ－ｔ图像 轴 横轴为时间 ｔ，纵轴为 位移ｘ 横轴为时间 ｔ，纵轴 为速度ｖ 线 倾斜直线表示匀速直 线运动 倾斜直线表示匀变速 直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的 面积表示位移大小 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示从一种运动 变为另一种运动，交 点表示相遇 拐点表示从一种运动 变为另一种运动，交                                                                   点表示速度相等 * + , - . / !"012345 ３０　 学 例４　一做直线运动的物体的速度—时间图 像如图所示，求： 　例４题图 （１）物体距出发点的 最远距离。 （２）前４ｓ内物体的位 移。 （３）前４ｓ内物体通过的路程。 （１）ｔ＝１ｓ时物体速度最大，ｔ＝３ｓ 时物体速度方向将发生改变，此时位移 最大。 （２）利用ｖ－ｔ图像求位移一般采用 “面积”法计算，即计算 ｖ－ｔ图线与时 间轴所围成的面积。 解析：（１）物体距出发点最远的距离 ｘｍ＝ １ ２ｖ１ｔ１＝ １ ２×４×３ｍ＝６ｍ。 （２）前４ｓ内的位移，ｘ＝ｘ１－ｘ２＝ １ ２ｖ１ｔ１－ １ ２ｖ２ｔ２＝ １ ２×４×３ｍ－ １ ２×２×１ｍ＝５ｍ。 （３）前 ４ｓ内通过的路程，ｓ＝ｘ１＋ｘ２＝ １ ２ｖ１ｔ１＋ １ ２ｖ２ｔ２＝ １ ２×４×３ｍ＋ １ ２×２×１ｍ＝ ７ｍ。 答案：（１）６ｍ　 （２）５ｍ　 （３）７ｍ 　　一个质点沿ｘ轴做匀加速直线运动。其 位移—时间图像如图所示，则下列说法正确 的是 （　　） 　变式训练４题图 Ａ．该质点的加速度大小为 ２ｍ／ｓ２ Ｂ．该质点在 ｔ＝１ｓ时的 速度大小为２ｍ／ｓ Ｃ．该质点在ｔ＝０到ｔ＝２ｓ 时间内的位移大小为６ｍ Ｄ．该质点在ｔ＝０时速度为０ 微元法 微元法是分析、解决物理问题的常用方 法，也是从部分到整体的思维方法。它是将 研究对象 （物体或物理过程）进行无限细 分，从其中抽取某一微小单元即 “元过程” 进行讨论，每个 “元过程”所遵循的规律 是相同的。对这些 “元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理，进而使问题求 解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程 用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使 所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加 深认识和提高能力的作用。例如在引入瞬时 速度的概念时，教材从平均速度出发，提出 从ｔ到ｔ＋Δｔ这段时间间隔内，Δｔ越小运动 快慢的差异也就越小，运动的描述就越精 确。在此基础上，再提出若Δｔ趋向于０时， 就可以认为 Δｔ的平均速度就是 ｔ时刻的瞬 时速度。正是这种无限分割的方法，可以使 原来较为复杂的过程转化为较为简单的过 程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位 移公式，显然不能直接用 ｘ＝ｖｔ，原因就在 于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直 线运动的公式。但是我们可以想象，如果我 们把整个过程的时间分成无数微小的时间间 隔，我们分得越密，每一份的时间间隔也就 越小，此间隔内，速度的变化也就越小，如 果分得足够细，就可以认为速度几乎不变， 此时就可将每一份按匀速直线运动来处理， 完毕之后，再累加即可。 变式训练答案 １．Ｃ　２． （１）２ｍ／ｓ　 （２）２５ｍ　 （３） ４ｓ　 （４）                                                                   ３ｍ　３．Ａ　４．Ｄ