专项9 全等三角形的简单证明-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级上册数学期末试卷精选（人教版）河南专版

期末复习第2步·攻专项 朝 专项9 全等三角形的简单证明 锁定期末高频考点，快速掌握 满分：40分得分： 1.〔长沙中考)(6分)如图，点C在线段AD上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证：△ABC≌△ADE: (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. D 2.〔周口市改编)(8分)如图，在河岸两侧的A,B两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这 两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C,使点A,B,C在一 条直线上，另取点D,使得CD=BC=5m,然后测得∠DCB=100°，∠ADC=65°，在CD的延 长线上取一点E,使得∠BEC=15°，量得CE=32m. (1)求证：AC=CE; (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离. 期末复习第2步·攻专项 3.〔广州市](8分)如图，已知△ABC. (1)用直尺和圆规作出△ABC的外角∠DAC的平分线AP和BC边的垂直平分线MN; (不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，AP交MN于点E,过点E作EF⊥AC于点F,求证：AB+AC=2CF, B 河南专版数学八年级上册人教 29 4.(9分)如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，且CD=CB,连接AD,过点D作 DMLDB,在DM上截取一点E,使得DE=AD,连接AE,EC (1)求证：△ADB≌△AEC; (2)猜想EC和AD的位置关系，并证明. M 5.〔南阳市](9分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,∠ABC=2∠C.求证：AC=AB+BD. 小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题， 方法一：如图2，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决 问题 方法二：如图3，延长AB到点E,使得BE=BD,连接DE,可以得到等腰三角形，进而解决 问题 期末复习第 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD, (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题. 如图4，∠ACB=2∠B,AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D,则线段 2步 AB,AC,CD有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明 攻专项 图1 图2 图3 图4 30 河南专版数学八年级上册人教(2)原式=-2a+1.a .(a-1)2 200 200 a-1 2.解：(1)30(x+y》 (2分) a-1 =a-1. (4分) (2)t+y 2xy (6分) x+y 解不等式组 -a≤1， 得-1≤a<3. (3)乙的购买方式更合算. (7分) 2a-1<5, 不等式组的整数解为-1,0,1,2 理由：P-Q=中y-2y=x+户-4= 2 x+y 2(x+y) 要使分式有意义，则a的值不能为0,1. (x-y户 (9分) ∴a的值可以为-1,2 2(x+y) 当a=-1时，原式=-1-1=-2. (8分) (x-y) x≠y, >0.即P>Q. [或当a=2时，原式=2-1=1. (8分)] 2(x+y) x2+4 “乙的购买方式更合算 (10分) 5.解：(1)根据题意，得①=②+③= + x2-4 3.解：(1)9a+3b (4分) x2+4 x(x+2) (2)(a-b)2=(a+b)2-4ab (6分) 2-x=x+2x-2) (x+2)(x-2) (3)a=4b. (7分) x2+4-x2-2x。-2(x-2) 2 理由如下：设MW长为x (x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x+2 S=(a-b)[x-(a-b)]=ax-bx-a2+ (5分) 2ab-b2,S2 3b(x-a)=3bx 3ab, (2)根据题意，得-2 _3解得x= 6 S=S,-S2=(a-4b)x-a2+5ab-b月(9分) *2 5 ,S为定值，S不随x的变化而变化 检验：当r=-号时+2)0 ∴.a-4b=0,即a=4b. (10分) 4.解：(1)设原计划每天绿化xm (1分) 所以x=-是原分式方程的解。 根据题意，得800+2400-800 (1+25%)x =26.(3分) 李老师心中的数x=号 (10分) 解得x=80. 6.解：(1)28=m2-2=(m+n)(m-n).(3分) 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合 根据题意，得m,n为两个连续的偶数 题意. (5分) 答：原计划每天绿化80m. (6分) ∴m-n=2. (2)设提高工作效率后每天支付给工人的工 ∴.2(m+n)=28.∴.m+n=14. (5分) 资总额增长m元。 (7分) (2).(2h+2)2-(2k)2=42+85+4-42= 800÷80=10(天). 8k+4=4(2k+1),k为非负整数， (8分) 根据题意，得1500×10+(1500+m)×(26 .所有“和谐数”都是4的倍数。 -10)≤43800. ∴嘉淇的猜想正确. (10分) 解得m≤300. (10分) 答：提高工作效率后每天支付给工人的工资 专项8应用题 总额最多可增长300元. (11分) 1.解：设B型机器每天处理xt垃圾，则A型机器 每天处理子站级 专项9 全等三角形的简单证明 1.解：(1)证明：AB=AD,∠B=∠D,BC=DE, 根据题意，得600-300 +1. (6分) ∴.△ABC≌△ADE. (3分) 5 x (2)由(1)得△ABC≌△ADE. ∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° 解得x=60. 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意 ∠1GE=LABC=180-∠D4B)=60. 答：B型机器每天处理60t垃圾。 (9分) (6分) 河南专版数学 八年级 上册 人批 2.解：(1)证明：，∠DCB=100°，∠BEC=15°， ∴.∠ADC=∠DAC=30°. ∴.∠CBE=180°-∠DCB-∠BEC=65. ∴∠BAD=∠CAB+∠DAC=90 .∠ADC=65,,∠CBE=∠ADC DM⊥DB,∴.∠MDB=90° ∠DCB=∠DCB,CD=BC ∴.∠MDA=∠MDB-∠ADC=60. .△DCA≌△BCE. DE=AD,.△ADE是等边三角形 ∴.AC=CE. (5分) ∴∠DAE=60°，AD=AE (4分) (2)由(1)得AC=CE=32m. ∴·LCAE=∠DAE+∠DAC=90° .BC=5m,..AB=AC-BC=27 m. .∠BAD=∠CAE..△MDB≌△AEC. (5分) “.这两个电线塔之间的距离是27m. (8分) (2)EC⊥AD. (6分) 3.解：(1)AP,MN如图①所示. (3分) 证明：方法一： 由(1)知CD=AC,△ADE是等边三角形 ∴DE=AE.∴，EC垂直平分AD ..ECLAD. (9分) 方法二：：△ADB≌△AEC, ∴.∠ADC=∠AEC=30. (7分) :△ADE是等边三角形，，.∠AED=60° LABC=号ABD,即EC平分LABD .EC⊥AD. (9分) 图① 5.解：(1)选方法一 (2)证明：如图②，连接EB,EC,过点E作EHL 证明：在AC上截取AE=AB,连接DE BD于点H. .AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD .AD=AD,.△ABD≌△AED ∴BD=DE,∠ABC=∠AED ∠ABC=2∠C,∴∠AED=2∠C :∠AED=∠C+∠CDE, ∴.∠C=∠CDE.∴.DE=CE.∴.CE=BD. ∴，AC=AE+CE=AB+BD (4分) [或选方法二 证明：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE. 图② ∴∠E=∠BDE.∴.∠ABC=∠E+∠BDE=2LE. :MN垂直平分BC,EB=EC. ∠ABC=2∠C,.∠E=∠C :AP平分∠DAC,EF⊥AC,EHLBD :AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD ∴.∠EFC=∠EHB=90°，EF=EH. ,AD=AD,.△AED≌△ACD ∴.Rt△CEF≌Rt△BEH.∴.CF=BH (6分) ∴AE=AC.∴.AC=AB+BE=AB+BD.(4分)] 同理可得Rt△AEH≌Rt△AEF.∴.AH=AF (2)CD=AB+AC. (5分) AB+AH=BH=CF,∴.AB+AF=CF,即AB 证明：在AF上截取AE=AC,连接DE. AC-CFCF...AB+AC=2CF. (8分) AD平分∠CAF,.∠CAD=∠FAD. 4.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形， ,AD=AD,∴，△ACD≌△AED. .∴AB=AC=CB,∠ACB=∠CAB=60°. ∴.CD=DE,∠ACD=∠AED. CD=CB,∴.CD=AC ∴.∠DEF=∠ACB. ∴.∠ADC=∠DAC (2分) ∠ACB=2∠B,.∠DEF=2∠B. ,∠ACB=∠ADC+∠DAC=60°， ,∠DEF=∠B+∠BDE, 河南专版数学 八年级上册人教 8 ∴∠B=∠BDE.∴.BE=DE. BE=BA,BC=BF,∴.△BEC≌△BAF ,∴CD=BE=AB+AE=AB+AC (9分) ∴.∠BEC=∠BAF (3分) (2)△AFC是等腰三角形， (4分) 专项10全等三角形的综合探究 理由：BA=BE,BC=BF 1.解：(1)证明：AM⊥MN,BN⊥MN,.∠AMC= ∴.∠BAE=∠BEA,∠BCF=∠BFC ∠CNB=90°.÷∠MAC+∠ACM=90 '∠ABF=∠EBC. :∠ACB=90°，.∴∠NCB+∠ACM=90 ..∠BAE=∠BEA=∠BCF=∠BFC ∴.∠MAC=∠NCB ∠BEA=∠CEF,∴.∠CEF=∠BFC. ,AC=BC,∴.△AMC≌△CNB. (3分) ∴CE=CF ∴.AM=CN,MC=BN .△BEC≌△BAF. MN CN MC,.MN AM BN. (5分) (2)MN BN-AM. (6分) ∴CE=AF.∴CF=AF 理由：AMLMN,BN⊥MN ∴.△AFC是等腰三角形 (7分) ∴.∠AMC=∠CNB=90°.∴.∠MAC+∠ACM= (3)过点C作CMLBF于点M: 90°.，∠ACB=90°，.∠NCB+∠ACM=90 ∴.∠FDC=∠CMF=90°. ∴.∠MAC=∠NCB. ,∠BCF=∠BFC,CF=FC, :AC=BC,.△AMC≌△CNB. (8分) .△DCF≌△MFC. ∴.AM=CN,MC=BN ∴.MF=CD=2. MN MC-CN,.MN BN -AM.(10 .CE=CF,..EM=MF=2. 2.解：(1)：△ABC是等边三角形 ∴.EF=EM+MF=4. (10分) ∴AB=AC,∠B=∠CAP=60° 4.解：(1)证明：△OAB和△DAC是等边三角 根据题意，得BQ=AP.△ABQ≌△CAP. 形，AO=AB,AD=AC,∠OAB=∠DAC=60 (3分) ∴，∠DAC-∠OAC=∠OAB-∠OAC. (2)∠CMQ的大小没有变化. (4分) 即∠DAO=∠CAB. .△ABQ≌△CAP, ∴，△AOD≌△ABC. ∴.∠BAQ=∠ACP ∴.OD=BC. (3分) .∴∠CMQ=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ= (2)补全图形如图①， (5分) ∠CAP=60°. ,.∠CMQ的大小没有变化，为60 (6分) (3)根据题意，得AP=BQ=tcm,则BP=AB -AP=(4-t)cm 根据题意，分两种情况：①当∠PQB=90°时. ∠B=60°，.∠BPQ=30° ·BP=2B0,即4-1=2.解得1= 4 (8分) ②当∠BPQ=90时， 图① ∠B=60°.∠BQP=30° OD=BC (6分) BQ=2BP,即1=2(4-.解得1= (3)存在 (7分) 3 综上所述，当：的值为或时，△PB0是直 由(1)(2)可知，OD=BC :.当BC的值最小时，OD的值最小 角三角形 (10分) 当BC⊥y轴时，BC的值最小.此时点C在y轴 3.解：(1)证明：BE平分∠ABC, 正半轴上.与(1)同理可得△AOD≌△ABC ·∠EBC=∠ABF .∠ABC=∠AOD. 河南专版 数学 八年级 上册人批