精品解析：辽宁省丹东市五校协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

丹东市五校协作体联考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得， 则，所以. 故选：A 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断即得. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此为，. 故选：A 3. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 4. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值. 【详解】， ∵， ∴，即 ∴ ∴或. 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合的范围化简原式得到的值，然后将平方并结合的范围求得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 又，则，，即，所以， 因为，所以，， 由，可得，即，符合题意， 故选：C. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 7. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 8. 已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，则， 令，显然在上单调递减， 故有两个不同的正根， 令，则，故当时，， 当时，， 故， 又时，时，， 故，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：换元法与构造函数法：通过换元将原方程转换为新的变量形式，再构造适当的函数进行分析，结合导数来判断函数的单调性和取值范围.换元法和构造函数法是处理复杂方程和不等式问题的有效方法. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.'在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用奇函数的性质，结合赋值法得到，判断A； 运用赋值，结合，得到判断B； 设，由已知推得即为周期函数，判断C；根据题意推得 为等差数列，再根据等差数列性质求和即可判断D. 【详解】对于A，在中，且，都是定义在上的奇函数， 令得，则，又为单调函数，则有， 即，所以，所以，所以A错误； 对于B，由，且得，所以B正确； 对于C，设，则由， 可得，所以，所以， 即为周期函数，所以C正确； 对于D，由，得， 即，所以为等差数列，且，即， 故，从而 . 所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求解的关键是由得，进而得到是首项和公差均为4的等差数列从而再利用等差数列的前n项和公式即可计算得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 13. 已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站” 依题意，, 而， 而，则， 又，解得， 故答案为： 14. 表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 【答案】63 【解析】 【分析】运用公式先求出，再进行适当放缩，取整，求和，解不等式即可. 【详解】， ， ，， 即， ，时，； 时，. 故的最大值为63. 故答案为：63. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）由（1）知，利用余弦定理得到，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 故， 所以. 因为，， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，由余弦定理，得， 又，所以. 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 又， 即，又，所以， 所以， 即周长的取值范围是. 16. 为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项． （1）若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； （2）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3，由全概率公式算出对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望； （2）分别求出三个得分的数学期望，然后列出不等式组，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3， ，， ， 所以的分布列为 0 2 3 则数学期望． 【小问2详解】 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 的所有可能取值为：0，6， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案最好，则， 解得：，故的取值范围为． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 【答案】（1） （2） 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且． （1）证明：； （2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面PBC，再根据线面垂直的定义证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求面面角的大小． 【小问1详解】 由于平面ABC，并且平面ABC， 因此， 由于，且，平面PAC，并且， 因此平面PAC， 又由于平面PAC，因此， 由于，且D为PC的中点， 因此， 又由于，且，平面PBC， 因此平面PBC， 由于平面PBC，因此． 【小问2详解】 根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得，，，，， 所以， 由于G在线段PB上，令，且， 那么， 由于，所以，解得， 因此，， 所以，，， 设平面ADH的法向量为，那么， 令，则，，所以， 设平面ADG的法向量为，那么， 令，则，，因此， 设平面ADG与平面ADH的夹角为， 所以， 故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】（1） 是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． （2） 因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市五校协作体联考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.'在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为__________. 14. 表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 16. 为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项． （1）若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； （2）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 18. 如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且． （1）证明：； （2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $