【新教材】专题7.2.1平行线（一）九大题型（一课一练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练【人教2024版】

2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】 专题7.2.1 平行线（一）九大题型（一课一练） [本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试] 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，可得：，不合题意； B、；当时，可得：，不合题意； C、当时，不能判定，不符合题意； D、当时，可得：，符合题意． 故选：D． 2．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角互补 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定定理．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是同位角相等，两直线平行， 故选：A 3．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是利用数形结合解决问题．根据题意画出第一次左拐的图形，再画出第二次拐弯后与第一次方向相同的图形，即可判断． 【详解】解：根据各选项，第一次都是向左拐，即如图，从原来的方向，左转（）变为方向， 要使两次拐弯后，和原来的方向相同，即第二次拐弯后与方向相同， 即要使图中， 所以只需满足即可， 即第二次向右拐， 故选：C． 4．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，根据相关知识进行判断即可. 【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，选项说法正确； （2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故选项说法错误； （3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项说法正确； （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项说法错误； （5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故说法错误． 综上可知，（1）（3）正确， 故选：B 5．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a按顺时针方向旋转的度数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵时，， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是． 故选：A． 6．如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，正确理解平行线的判定方法是解题的关键．对于A，通过推理可得，同位角互补，不能得到两直线平行；对于B，举反例即可判断；对于C，可证明，根据同位角相等，两直线平行，即可判断；对于D，由推理得，再举反例即可判断． 【详解】解：A、如图，，， ， 不能判断， 所以选项A错误，不符合题意；    B、如图，保持的度数不变，改变开口方向，这样仍满足题意，但与不平行，所以B选项错误，不符合题意；    C、，， ， ， 所以选项C正确，符合题意； D、如图，，， ，    显然与不平行，所以选项D错误，不符合题意． 故选C． 7．如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 【详解】、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 8．在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的是（　  ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由①和②结合同旁内角互补可分别证明、，不能证明；过点F作的平行线，结合条件③可证；由条件④可求出，不能证明． 【详解】解：①∵， ∴，故该项不能证明； ②∵， ∴，故该项不能证明； 过点F作， 则：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故该项能证明； ④∵，， ∴，即， ∴该项不能证明． 综上可知只有③能证明． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定定理和作出常用的辅助线是解题关键． 10．在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，依次根据四个选项中的度数进行判断即可． 【详解】解：当时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， 当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，如下图所示， 三角形没有边与平行； 当时，延长交于点F，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 12．如图，，平分，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据角平分线的定义得出，再根据，得出，利用平行线的判定可得出两条直线平行． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练运用内错角相等，两直线平行进行推理证明． 13．如图，在长方体中，与棱平行的棱有 条，分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】根据正方体的特征及平行线的定义进行解答． 【详解】解：与棱平行的棱有：，，，共有三条． 故答案为:3；，，． 【点睛】本题主要考查对正方体的认识以及平行关系的判定,，平行关系的判定,熟练掌握相关的知识是解题的关键． 14．如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：如图所示： 由平移的性质可知：∠2=∠3． 又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠1． ∴EF∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键． 15．如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知时，木条a与木条b平行．即可得出答案． 【详解】解：如图，木条转动到时．木条a与木条b平行． 当时，． 即时，木条a与b平行． 故答案为：． 16．如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐一判断即可解答． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ； 所以，能判定的是①②③， 故答案为：①②③． 17．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 18．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定． 由垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再由“内错角相等，两直线平行”得到． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20．如图，已知，点是射线上一点，点、、都在格点上．在方格纸上按要求作图：    (1)过点作的垂线段，垂足为； (2)过点作直线，交的延长线于． 【答案】(1)先详解 (2)先详解 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据平行线的定义，画出图形即可． 本题主要考查了网格当中作平行线和垂线，掌握平行线，垂线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：如图，直线即为所求． 21．把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， ． （对顶角相等）． 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 22．如图，直线、交于点，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数为． 23．（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 【答案】（1）和，和，和 （2）互相平行的线段：，，， 互相垂直的线段：，， （3）见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的格点画法需满足的条件； （1）判断不同角度所在的长方形，长方形一致的再去判断互余； （2）判断不同线段为对角线的长方形，长方形一致的再去判断是否平行和垂直； （3）根据互余角度特征去作直角三角形即可． 【详解】解：（1）和互余，和互余，和互余； （2）互相平行的线段：，，，； 互相垂直的线段：，，； （3）如图所示： 24．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】 专题7.2.1 平行线（一）九大题型（一课一练） [本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试] 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角互补 3．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 4．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a按顺时针方向旋转的度数可以是（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 9．如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的是（　  ）． A．① B．② C．③ D．④ 10．在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 12．如图，，平分，则与的位置关系是 ． 13．如图，在长方体中，与棱平行的棱有 条，分别是 ． 14．如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是 ． 15．如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 16．如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 17．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 18．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 20．如图，已知，点是射线上一点，点、、都在格点上．在方格纸上按要求作图：    (1)过点作的垂线段，垂足为； (2)过点作直线，交的延长线于． 21．把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 22．如图，直线、交于点，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 24．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$