【新教材】专题7.2.1平行线（一）九大题型（一课一讲）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练【人教2024版】

专题7.2.1平行线（一）九大题型（一课一讲） （内容:平行线的定义、平行线的判定） 【人教版】 题型一：平面内两直线的位置关系 【经典例题1】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【变式训练1-1】下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【变式训练1-2】下面说法正确的个数为（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-3】下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练1-4】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【变式训练1-5】如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 题型二：用直尺、三角板画平行线 【经典例题2】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【变式训练2-1】如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【变式训练2-2】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【变式训练2-3】如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 【变式训练2-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【变式训练2-5】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 题型三：平行线公理的应用 【经典例题3】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练3-1】已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【变式训练3-2】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【变式训练3-3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【变式训练3-4】如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【变式训练3-5】下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②两条不相交的线段，在同一平面内必平行③经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④若直线，那么，⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中错误的是 （只填序号） 【变式训练3-6】如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 题型四：根据平行线的判定判断正误 【经典例题4】如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A．∠5=∠B B． C． D． 【变式训练4-1】如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式训练4-4】如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练4-5】如图，点D，E，F分别在的三边上，连接，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 题型五：添加一个条件使两直线平行 【经典例题5】如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）    【变式训练5-1】如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【变式训练5-2】如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 【变式训练5-3】如图，直线，被直线所截．请添加一个条件使直线，则该条件可以是 ．（用图中已标注的角或字母表示） 【变式训练5-4】如图，请你添加一个条件，使，这个条件是 ，你的依据是 ． 【变式训练5-5】如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 题型六：利用平行线的判定证明 【经典例题6】如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【变式训练6-1】如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【变式训练6-2】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练6-3】如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 【变式训练6-4】如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 【变式训练6-5】如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 题型七：利用平行线的判定填空 【经典例题7】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【变式训练7-1】如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式训练7-2】如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【变式训练7-3】把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【变式训练7-4】如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 【变式训练7-5】如图：，平分，平分，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：∵平分，平分（已知）， ____________，_________（角平分线的定义）， 又（已知） ________________． 又（已知） ________， （________）． 【变式训练7-6】如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 题型八：利用平行线的判定解决动点问题 【经典例题8】如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【变式训练8-1】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【变式训练8-2】如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 秒．    【变式训练8-3】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为12度/秒和2度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过   秒时木棒a，b平行． 【变式训练8-4】如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转180°，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．    【变式训练8-5】如图①，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由： (2)如图②，，在内部有，且平分∠BEG，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点E以每秒的速度顺时针旋转t秒，且始终在内部，若与其中一个角是另一个的两倍，求t的值． 题型九：平行线中角平分线问题 【经典例题9】已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【变式训练9-1】如图①，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由： (2)如图②，，在内部有，且平分∠BEG，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点E以每秒的速度顺时针旋转t秒，且始终在内部，若与其中一个角是另一个的两倍，求t的值． 【变式训练9-2】如图，直线和被直线所截．    (1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由； (2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由； (3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由． 【变式训练9-3】如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知． (1)若，求的度数； (2)对说明理由． 【变式训练9-4】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． (1)求证：； (2)OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 【变式训练9-5】如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P． 已知∠EMB=112°，∠PNC=34°． (1)求证：AB∥CD； (2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2.1平行线（一）九大题型（一课一讲） （内容:平行线的定义、平行线的判定） 【人教版】 题型一：平面内两直线的位置关系 【经典例题1】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果． 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 【变式训练1-1】下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【答案】C 【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意； D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1-2】下面说法正确的个数为（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行公里和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点．根据过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1），同一平面内，过一点且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2），举出反例即可判断（3），根据在同一平面内，两直线的位置关系式平行和相交即可判断（4）． 【详解】解：∵过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）错误， ∵同一平面内，过一点且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）错误， ∵两个角相加等于不一定为邻补角，邻补角必须相邻且互补， ∴（3）不正确， ∵同一平面内不平行的两条直线一定相交，故（4）正确． 即正确的个数是1个， 故选：A． 【变式训练1-3】下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 【变式训练1-4】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式训练1-5】如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 题型二：用直尺、三角板画平行线 【经典例题2】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 【变式训练2-1】如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 【变式训练2-2】如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法． （1）用直尺和三角板作直线的平行线即可； （2）用三角板的直角作直线的垂线即可； （3）用三角板的直角作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 【变式训练2-3】如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图； （1）按要求作图，即可求解； （2）用直尺和三角板画图，即可求解； （3）按要求作图，即可求解； 掌握作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 射线，直线为所求作； （2）解：如图， 垂线为所求作； （3）解：如图， 直线为所求作． 【变式训练2-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【答案】(1)见解析 (2)C， (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查作图、平行线、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作． （2）解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． （3）解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式训练2-5】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 题型三：平行线公理的应用 【经典例题3】已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论． 【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误． 垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确； 故选：D． 【变式训练3-1】已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意； 故选： B． 【变式训练3-2】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上． 【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知） ，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式训练3-3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式训练3-4】如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【详解】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式训练3-5】下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②两条不相交的线段，在同一平面内必平行③经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④若直线，那么，⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中错误的是 （只填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】根据平行线的定义，平面内两条直线的位置关系，平行公理，垂直的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故①错误； ②两条不相交的直线，在同一平面内必平行，两条不相交的线段延长后，有可能相交，故②错误； ③经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③正确； ④若直线，那么，故④正确； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故⑤错误； 综上分析可知，错误的是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查平行线的定义，平面内两条直线的位置关系，平行公理，垂直的性质．熟知相关知识点，是解题的关键． 【变式训练3-6】如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【答案】 是 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵，， ∴P，Q，R三点在同一条直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：是；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 题型四：根据平行线的判定判断正误 【经典例题4】如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A．∠5=∠B B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 和是同位角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； B. 和是内错角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； C. 和是同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； D.根据，可判定，不能判断，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式训练4-1】如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 【变式训练4-2】如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 【变式训练4-3】如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【详解】①，能判定，不能判定，不符合题意； ②，能判定，符合题意； ③，能判定，不能判定，不符合题意； ④，能判定，符合题意，故②④正确． 故选：D． 【变式训练4-4】如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定． 【详解】解：当时，， 则有； 而添加其它条件无法得到； 故选：C． 【变式训练4-5】如图，点D，E，F分别在的三边上，连接，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行线的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故选项不合题意； B、∵， ∴， 故选项不合题意； C、无法证明两直线平行，故选项不合题意； D、∵， ∴，故选项符合题意． 故选：D． 题型五：添加一个条件使两直线平行 【经典例题5】如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，在图中发现a、b被一直线c所截，故可按同位角相等，两直线平行补充条件． 【详解】解：， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练5-1】如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为或或或．（答案不唯一） 【变式训练5-2】如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定求解作答即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练5-3】如图，直线，被直线所截．请添加一个条件使直线，则该条件可以是 ．（用图中已标注的角或字母表示） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．根据平行线的判定即可得． 【详解】解：使直线，添加的一个条件可以是（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练5-4】如图，请你添加一个条件，使，这个条件是 ，你的依据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据内错角相等，两直线平行，可以添加的条件为：； 故答案为：，内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 【变式训练5-5】如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案． 【详解】解：要使直线，则需要添加的条件可以为，也可以为，也可以为， 故答案为：（或或）． 题型六：利用平行线的判定证明 【经典例题6】如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是： （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）解：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 【变式训练6-1】如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式训练6-2】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式训练6-3】如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算： （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式训练6-4】如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可； （2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练6-5】如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定方法是解题的关键． （1）先求出，进而求出，，然后求出，进而可求出的度数； （2）先证明，然后根据内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】（1），， ． ， ，， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）平行． 理由：由（1）可知． ， ， ． 题型七：利用平行线的判定填空 【经典例题7】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式训练7-1】如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式训练7-2】如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【变式训练7-3】把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由，得，从而有，通过等量代换求出即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（对顶角相等）． 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【变式训练7-4】如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． （1）根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，                     ∴，（直角三角形两锐角互余）    ∵， ∴，（等量代换） ∴； （内错角相等，两直线平行） 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练7-5】如图：，平分，平分，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：∵平分，平分（已知）， ____________，_________（角平分线的定义）， 又（已知） ________________． 又（已知） ________， （________）． 【答案】；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定． 【详解】解：∵平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）. 又（已知）， ， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；同位角相等，两直线平行． 【变式训练7-6】如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 题型八：利用平行线的判定解决动点问题 【经典例题8】如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查平行线的判定，分三种情况： ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 【变式训练8-1】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 【变式训练8-2】如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 秒．    【答案】5或/或5 【分析】分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】∵， ∴， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时，，，    要使，则， 即， 解得； 如图②，旋转到与都在的右侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得； 如图③，旋转到与都在的左侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论． 【变式训练8-3】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为12度/秒和2度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过   秒时木棒a，b平行． 【答案】3或21或75或165 【分析】设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：3或21或75或165． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 【变式训练8-4】如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转180°，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．    【答案】21 【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧画出图形．利用平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图1所示：当B′C′∥DE时，    由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°， 则∠FAD=75°， 故∠CAF=15°， 则∠BAF=105°， 故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：（秒）， 故答案为：21． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形是解题关键． 【变式训练8-5】如图①，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由： (2)如图②，，在内部有，且平分∠BEG，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点E以每秒的速度顺时针旋转t秒，且始终在内部，若与其中一个角是另一个的两倍，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查主要了平行线的判定以及角平分线的相关计算，利用角平分线把角表示出来是解题的关键． （1）由已知条件可得，由平角的定义可得出，等量代换可得，即可得出． （2）设，由平分可得出，再根据角的和差关系可得出，再由平分可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （3）分两种情况讨论：当时，当时，画出图形，设，再利用角平分线，把表示出来，再计算即可． 【详解】（1）解： 理由如下∶ ∵与互补， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）设 ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）当时，如图：设是旋转的角． 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴（秒） 当2时，如图：设是旋转的角． 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)， 综上所述，t的值为秒或秒． 题型九：平行线中角平分线问题 【经典例题9】已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 【变式训练9-1】如图①，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由： (2)如图②，，在内部有，且平分∠BEG，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点E以每秒的速度顺时针旋转t秒，且始终在内部，若与其中一个角是另一个的两倍，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查主要了平行线的判定以及角平分线的相关计算，利用角平分线把角表示出来是解题的关键． （1）由已知条件可得，由平角的定义可得出，等量代换可得，即可得出． （2）设，由平分可得出，再根据角的和差关系可得出，再由平分可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （3）分两种情况讨论：当时，当时，画出图形，设，再利用角平分线，把表示出来，再计算即可． 【详解】（1）解： 理由如下∶ ∵与互补， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）设 ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）当时，如图：设是旋转的角． 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴（秒） 当2时，如图：设是旋转的角． 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)， 综上所述，t的值为秒或秒． 【变式训练9-2】如图，直线和被直线所截．    (1)如图1，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足______时， ，并说明平行的理由； (2)如图2，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足______时，，并说明平行的理由； (3)如图3，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足______时，，并说明平行的理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得出，即可判断； （2）根据角平分线的定义可得，，故与满足，即可得，即可判断； （3）同（2）的分析即得结论． 【详解】（1）当与满足时， ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）当与满足时，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴；    （3）当与满足时，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【变式训练9-3】如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知． (1)若，求的度数； (2)对说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据题意得出，求出x的值，即可得出答案； （2）根据，分别平分和，得出，根据，得出，根据平行线的判断即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴； （2）证明：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法． 【变式训练9-4】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． (1)求证：； (2)OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析，∠1=25° 【分析】（1）根据与互余，，得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明； （2）根据平分交于点，得，又根据，求出的角度，再根据与互余，即可求出． 【详解】（1）证明： ∵与互余 ∴ 又∵ ∴ ∵ 又∵ ∴． （2）∵平分交于点 ∴ ∵ ∴在中， ∴ ∴ 又∵与互余 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的定义． 【变式训练9-5】如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P． 已知∠EMB=112°，∠PNC=34°． (1)求证：AB∥CD； (2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数． 【答案】(1)见详解 (2)36.5° 【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根据对顶角的定义∠PMN=∠EMN=112°，继而根据平行线的判定定理即可求证结论； （2）根据∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根据AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根据平角定义可得∠APQ=32°，进而可得∠PQD的度数． 【详解】（1）∵NP平分∠ENC，∠PNC=34° ∴∠MNQ=2∠PNC=68°， 又∠PMN=∠EMN=112°（对顶角相等）， ∴∠PMN+∠MNQ=180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） （2）∵∠APQ：∠QPN=1：3， ∴∠QPN=3∠APQ， ∵AB∥CD， ∴∠MPN=∠PNC=34°， ∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°， ∴∠APQ+∠QPN=146°， ∴4∠APQ=146°， ∴∠APQ=36.5°， ∴∠PQD=∠APQ=36.5°． 则∠PQD的度数为36.5°． 【点睛】本题考查了平行线的判定及其性质和角平分线的性质以及平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$