15.3 分式方程 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册　

15.3 分式方程 第十五章 分 式 第1课时 分式方程及其解法 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 . 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 复习引入 探索新知 分式方程的概念 定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 方法总结 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 探索新知 分式方程的解法 解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母” 解：方程①两边同乘(30+x)(30-x)，得 90(30-x)=60(30+x) 解得 x=6 x=6是原分式方程的解吗？ 探索新知 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 方程各分母最简公分母是：(30+x)(30-x) 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 归纳总结 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10 x=5 x=5是原分式方程的解吗？ 探索新知 解分式方程 方程各分母最简公分母是什么 (x+5)(x-5) 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 探索新知 真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的 解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 探索新知 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 探索新知 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时,(x+5)(x-5)=0 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 探索新知 分式方程解的检验------必不可少的步骤 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤 探索新知 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根. 解：方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0, ∴分式方程的解为x=9 典例精析 例1 解方程 ∴x=9是原分式方程的解 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0, 所以，原分式方程无解. 典例精析 例2 解方程 因此x=1不是原分式方程的解. 方法总结 分式方程 整式方程 去分母 x =a 解整式方程 把x=a代入最简公分母是否为零？ 检验 x=a不是 分式方程的解 x=a是 分式方程的解 为零 非零 例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 ． a＜－1且a≠－2 典例精析 【解析】 2x＋a＝x－1 解得x＝－a－1 ∵关于x的方程 的解是正数 ∴x＞0且x≠1 解得a＜－1且a≠－2 ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2 方程两边同乘(x－1)，得: ∴ －a－1＞0 －a－1≠1 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 典例精析 例4 若关于x的分式方程 无解，求m的值． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得: 2(x＋2)＋mx＝3(x－2) ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， ∴m的值是1，－4或6. 解得： 当x＝2时，代入 ，m＝－4； 当x＝－2时，代入 ，解得m＝6， 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样 方法总结 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同 乘以（ ） D D 课堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式 方程是（ ） 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为( ) A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 A D 课堂练习 解： 课堂练习 方程两边同乘x(x+1),得： x2+(x-1)(x+1)=2x(x+1) x2+x2-1=2x2+2x -2x=-1 检验：当 时，x(x+1)≠0， 所以原方程的解为 课堂小结 $$