专题2.8 二次函数的应用（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.8 二次函数的应用（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列：列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)解：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检：检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写：写出答案． 【要点提示】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【知识点二】建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2) 将已知条件转化为点的坐标； (3) 合理地设出所求函数关系式； (4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5) 利用关系式求解问题． 【题型目录】 【题型1】二次函数的应用——图形问题..........................................2 【题型2】二次函数的应用——拱桥问题..........................................3 【题型3】二次函数的应用——销售问题..........................................4 【题型4】二次函数的应用——掷球问题..........................................5 【题型5】二次函数的应用——喷水问题..........................................6 【题型6】二次函数的应用——增长率问题........................................7 【题型7】二次函数的应用——其他问题..........................................8 【题型8】直通中考............................................................9 【题型9】拓展延伸............................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用二次函数解决实际问题——图形问题 【例1】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)写出S与x的函数关系式为__________，x的取值范围是__________； (2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？ (3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积可以建造 平方米． 【题型2】用二次函数解决实际问题——拱桥问题 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 【题型3】用二次函数解决实际问题——销售问题 【例3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且销售价不高于22元，市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 【题型4】用二次函数解决实际问题——掷球问题 【例4】（2025·河南·模拟预测）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【变式2】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线 ． 【题型5】用二次函数解决实际问题——喷水问题 【例5】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）学科实践 暑假期间，我市某公园为打造专属夜景景观特别安装了喷水装置，为保持人行绿道干燥，水柱要喷入河中，水柱可近似看作抛物线．如右图是截面图，已知人行绿道宽，是河道坝高，坝面的坡比为，在距离喷水口O处时，水柱距离人行道的高度达到最大值，以点O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，求护栏的最大高度． (2)当水面距离人行道的竖直距离为多少时，水柱恰好落在河水中（水面与交点处）？ 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 【题型6】用二次函数解决实际问题——增长率问题 【例6】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【题型7】用二次函数解决实际问题——其他问题 【例7】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．运动员从起跳点滑出，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在着陆破上，在着陆坡上设置点K（与相距，离地高度21米）作为基准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离的最大值________米． 【变式1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，在一次学校运动会上，体育组设计了一个“祥云”会标，“祥云”会标是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称，其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为、，与轴分别相交于点、．已知，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，需求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【例2】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 二次函数的应用（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列：列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)解：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检：检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写：写出答案． 【要点提示】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【知识点二】建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2) 将已知条件转化为点的坐标； (3) 合理地设出所求函数关系式； (4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5) 利用关系式求解问题． 【题型目录】 【题型1】二次函数的应用——图形问题...........................................2 【题型2】二次函数的应用——拱桥问题...........................................5 【题型3】二次函数的应用——销售问题...........................................8 【题型4】二次函数的应用——掷球问题..........................................10 【题型5】二次函数的应用——喷水问题..........................................13 【题型6】二次函数的应用——增长率问题........................................17 【题型7】二次函数的应用——其他问题..........................................19 【题型8】直通中考............................................................22 【题型9】拓展延伸............................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用二次函数解决实际问题——图形问题 【例1】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)写出S与x的函数关系式为__________，x的取值范围是__________； (2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？ (3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 【答案】(1), (2)长为 (3)当的长为，最大面积 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、列代数式、一元二次方程应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和函数解析式成为解题的关键． （1）根据为，就为，利用长方体的面积公式即可求出关系式即可； （2）将代入（1）中关系式，可求出即的长； （3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 解：（1）解：根据题意，得:， 即所求的函数解析式为：， 又∵， ∴ （2）解：根据题意，设长为x，则长为， ∴．整理，得，解得或6， 当时，不成立， 当时，成立， ∴长为. （3）解: ∵墙的最大可用长度为，， ∴， ∵对称轴,开口向下， ∴当，有最大面积的花圃．即：， ∴当的长为，最大面积． 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③． 解：根据题意得：，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为， 墙长为，， 解得， 的取值范围为，故②错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积可以建造 平方米． 【答案】45 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为（米），先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 解：设宽为x米，则长为（米）， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时， 平方米， 故答案为：45． 【题型2】用二次函数解决实际问题——拱桥问题 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶，理由见解析 【分析】本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 解：（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴． （2）解：隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴C坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到a与b的关系，然后令，即可得到抛物线与x轴的交点，从而可以得到的长，本题得以解决． 解：∵小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 令，则， 代入，得： 解得，， ∴小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需：（秒）， 故答案为：20． 【题型3】用二次函数解决实际问题——销售问题 【例3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且销售价不高于22元，市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元 (3)能，销售单价为14元/件 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可； （3）根据“该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元”列方程求解即可． 解：（1）解：设与的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， 所以与的函数表达式为， ∵销售价不低于成本价，且销售价不高于22元， ； （2）解：根据题意知，， ， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； （3）解：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元． 根据题意知，， 则， 解得或（舍去）， 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件． 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用．根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，利用销售这种玩偶每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 根据题意得： 故选：C 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 【答案】 【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解． 本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：， 设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是： ， ∵， ∴当利润最大时，可得：， ∴此时每个售价为：（元）， 故答案为：，，． 【题型4】用二次函数解决实际问题——掷球问题 【例4】（2025·河南·模拟预测）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【答案】(1) (2)该球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （2）当时，求出y的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处． 解：（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 把点代入，得．解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，． 该球不能射进球门． （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为． 把点代入，得，解得（舍去）或． 把点代入，得．解得（舍去）或． 的取值范围是． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，由小球在第2秒与第4秒高度相等，可知抛物线的对称轴为直线，由，可知小球飞行高度最高的时间是第秒，然后作答即可． 解：∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵小球在第2秒与第4秒高度相等， ∴小球在第2秒与第4秒对应的点坐标关于抛物线的对称轴直线对称， ∵， ∴小球飞行高度最高的时间是第秒， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出抛物线顶点式是解题关键．根据已知得抛物线L的顶点是，设抛物线L为，把代入解析式可求出a，把代入抛物线L的解析式求出点A坐标，再根据题意设抛物线解析式为，把点A坐标代入抛物线解析式求出m即可． 解：根据已知得抛物线L的顶点是， 设抛物线L为， 把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为． ∵点A在抛物线L上， ∴当时，即， 解得：， ∴． ∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的， ∴抛物线顶点纵坐标为2， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 【题型5】用二次函数解决实际问题——喷水问题 【例5】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）学科实践 暑假期间，我市某公园为打造专属夜景景观特别安装了喷水装置，为保持人行绿道干燥，水柱要喷入河中，水柱可近似看作抛物线．如右图是截面图，已知人行绿道宽，是河道坝高，坝面的坡比为，在距离喷水口O处时，水柱距离人行道的高度达到最大值，以点O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，求护栏的最大高度． (2)当水面距离人行道的竖直距离为多少时，水柱恰好落在河水中（水面与交点处）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数、解直角三角形的应用、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出二次函数的顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数的解析式，将代入计算求解即可得； （2）设水面与的交点为点，过点作于点，根据坡比可得，设，则，从而可得点的坐标为，代入二次函数的解析式求出的值即可得． 解：（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的表达式为， 这个二次函数的图象经过原点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为， 当时，， 答：护栏的最大高度为． （2）解：如图，设水面与的交点为点，过点作于点， 则， 设，则， ∴点的坐标为． 将代入，得， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当水面距离人行道的竖直距离为时，水柱恰好落在河水中． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式： ． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 解：由题意，， ∴y轴左侧喷泉最高点坐标为 ∵两个喷泉关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， 即右侧喷泉的解析式为； ∴两个喷泉最高点之间的距离是． 故答案为:； ． 【题型6】用二次函数解决实际问题——增长率问题 【例6】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 解：（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 【题型7】用二次函数解决实际问题——其他问题 【例7】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．运动员从起跳点滑出，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在着陆破上，在着陆坡上设置点K（与相距，离地高度21米）作为基准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离的最大值________米． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩达标，理由见解析 (3)最大值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为米，求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴着陆点的坐标为， ∵， ∴该运动员的成绩达标； （3）解：设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为米， 则， ∴当时，有最大值为米． 【变式1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，在一次学校运动会上，体育组设计了一个“祥云”会标，“祥云”会标是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称，其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为、，与轴分别相交于点、．已知，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，连，记与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径，，得出点，由确定出A点坐标，将点A坐标代入左侧抛物线解析式，求出a的值即可得出答案，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点E坐标及待定系数法求函数解析式的能力． 解：连，记与y轴的交点为F，     ∵，且半圆关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴左侧抛物线的顶点E坐标为， ∴可设左侧抛物线解析式为， ∵， ∴， 将A点代入抛物线解析式得：， ∴图案中这段抛物线的函数表达式为， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，需求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 解：（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 【例2】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1)；(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入， 得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3） 解：设日销售利润为w元，根据题意， 得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】(1)； (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；(3)． 【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；（）求出时的值，与作比较即可判断；（）求出点坐标，即可得到答案； 本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：（1）由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$