12.5 分式方程的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

12.5 分式方程的应用 数学（冀教版） 八年级 上册 第十二章 分式和分式方程 学习目标 1.理解工程问题数量关系正确列出分式方程. 2.理解销售问题数量关系正确列出分式方程. 3.理解行程数量关系正确列出分式方程. 4.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 　 温故知新 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 　 温故知新 4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有3种： （1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； （2）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； （3）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价. 讲授新课 知识点一 列分式方程解决工程问题 【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 设乙单独完成这项工程需要x个月. 讲授新课 解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以2x,得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 讲授新课 思考：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 工作时间（月） 工作效率 工作总量 甲单独 两队合作 设乙单独完成这项工程需要x个月.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 . 此时方程是： 1 讲授新课 工程问题 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量. 3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”. 讲授新课 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.写:答案. 讲授新课 练一练 1、抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 讲授新课 解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时． 由题意得 . 解得x＝6. 经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 讲授新课 知识点二 列分式方程解决销售问题 【例2】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ 解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案； 讲授新课 解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元， 根据题意得 ， 解得 x＝6. 经检验，x＝6是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克6元． 讲授新课 (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． (2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)． 第二次购买水果200＋20＝220(千克)． 第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)， 第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)． 所以两次共赚钱400－12＝388(元)． 讲授新课 1、某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 讲授新课 解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得 解得 x＝100. 经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160. 答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元． 讲授新课 知识点三 列分式方程解决行程问题 【例3】朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？ 0 180 200 讲授新课 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x+10 x 分析：设小轿车的速度为x千米/小时 面包车的时间=小轿车的时间 等量关系： 列表格如下： 讲授新课 解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得 解得 x＝90 经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意. 答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时. 注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义. 讲授新课 练一练 1、小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 300 讲授新课 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得 解得x＝30 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意. 答：小轿车提速为30千米/小时. 讲授新课 2、两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 S 路程 速度 时间 面包车 小轿车 s-200 s-180 100 90+x 讲授新课 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得 解得x＝ 讲授新课 3、小轿车平均提速vkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车的平均速度为多少km/h？ 0 S S+50 路程 速度 时间 提速前 提速后 s s+50 v x+v 讲授新课 解：设小轿车提速为x千米/小时， 依题意得 讲授新课 行程问题 1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 当堂检测 1.福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对4800米长的河提进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是（  　  ） A． B． C． D． B 当堂检测 2.武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． A 当堂检测 3.在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树20万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前3天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（     ） A． B． C． D． A 当堂检测 4.某工程队在中山路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（     ） A．每天比原计划少铺设20米，结果延迟10天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果延迟10天完成 C．每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成 D．每天比原计划少铺设20米，结果提前10天完成 C 当堂检测 5.某厂一个车间计划在一定时间内加工560个零件，在加工120个零件后，改进了操作技术，每天能多加工15个零件，结果比原计划提前3天完成任务．求改进操作技术后每天加工的零件个数． 解：设改进操作技术后每天加工x个零件，则原来每天加工（x-15）个零件，根据题意列方程得， 即：x2-15x-2200=0． 解得：x1=55，x2=-40（舍去）． 答：改进技术后每天加工55个． 当堂检测 6.今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_______元． 解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出： 解得：x=2200， 经检验得出：x=2200是原方程的解， 答：则条例实施前此款空调的售价为2200元， 2200 当堂检测 7.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相同，篮球与足球的单价各是多少元？ 解：设篮球的单价为x元，依题意得， 解得：x=100， 经检验：x=100是原分式方程的解，且符合题意， 则足球的价钱为：100-40=60（元）． 答：篮球和足球的单价分别为100元，60元． 当堂检测 10. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得： 解得 x=15. 经检验，x=15是原方程的根. 由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 谢 谢~ $$