24.7 弧长与扇形面积（第2课时 圆锥的侧面展开图）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.7 弧长与扇形面积 第2课时 圆锥的侧面展开图 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 体会圆锥侧面积的探索过程.（重点） 2. 会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问 题.（重点、难点） 情景导入 生活中的圆锥 1. 如图，底面半径为r、母线(上下底面圆周上对应两点的连线)为l的圆柱，它的侧面展开图是什么？ O r l 平面 曲面 长方形 2πr 底面圆周长 l 这个侧面展开图的面积计算公式是什么呢？ 2πrl 能否类比这种方法求圆锥的侧面积？ 新知探究 思 考 一级标题：黑体， 5 观察圆锥，你能说出它是由哪些面围成的几何体吗？ 底面 侧面 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 底面是一个圆， 侧面是一个曲面. 一级标题：黑体， 6 圆锥中常见的元素有哪些？ 母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高. 高 半径 o 圆锥的母线有无数条. 一级标题：黑体， 7 圆锥的母线、高、半径三者之间有什么关系？ 母线 高 半径 l h r h2+r2=l2 o 一级标题：黑体， 8 2.如图，底面半径为r、母线为l的圆锥，它的侧面展开图又是什么？ 这个侧面展开图的面积计算公式是什么？ l r 平面 o 曲面 扇形 如何将曲面变成平面呢？ 求出扇形的面积即可. S扇形= 扇形的弧长 扇形面积公式 扇形的半径 O A B 思 考 一级标题：黑体， 9 展开的扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ l r o 扇形 展开的扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 母线长 相等 一级标题：黑体， 10 =底面圆周长 如何计算圆锥的侧面积？ l r o 扇形 圆锥的侧面积 扇形的面积 = 2πr = 弧长 扇形的半径 一级标题：黑体， 11 如何计算圆锥的侧面积？ l r o 扇形 圆锥的侧面积 = 2πr 如何计算圆锥的全面积呢？ 圆锥的全面积 = 侧面积+底面积 = + r是底面圆的半径， l是圆锥的母线长. 一级标题：黑体， 12 课本例题 例3 如图是圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为 50 cm. 在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积. 解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图所示. 设该扇形的面积为S. α O h r l α O h r l 在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径 l 外，还需知道扇形圆心角 α． 由刚学过的弧长计算方法，可得 3．如图，圆柱形排水管的截面半径 OC=0.6m，水面高 DC=0.3m，求截面中有水部分的面积． 解：连接 OA，OB. ∵OC=0.6 m，DC=0.3 m， ∴ CD=0.3m. ∵OA=OB，∴OD⊥AB， ∴ AD= AB. 课堂练习 ∵OA=0.6 m，OD=0.3m，OD⊥ AB， 4．如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角 ∠AOB=120°，求的长． 分层练习-基础 1．若圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，则圆锥的侧面积是(　　) A．30π cm2 　 　　B．48π cm2 C．60π cm2 　 　　D．80π cm2 B 2．[2023·东营]如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是(　　) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 A C 4．数学活动课上老师请同学们分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作的圆锥母线长为60 cm，底面圆的半径为15 cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是(　　) A．90° B．15° C．96° D．180° A B 【答案】A 8．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝a，BC＝b，且a>b，将△ABC 绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲，S乙，则S甲 , S乙的大小关系为S甲________S乙．(选填“>”“<”或“＝”) ＞ 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为________． 6 cm 分层练习-巩固 10. 蒙古包可以近似地看作由一个圆柱和一个圆锥组成．其中，底面圆半径为3 m，圆锥高为2 m，圆柱高为3 m，门的高和宽分别为2 m和1 m，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡(接缝忽略不计)，那么所需要羊毛毡的面积为_____________________． 11．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图①)，制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥 的底面圆直径ED＝ 6 cm，母线长AD＝ 12 cm. (1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小； (2)求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π) 分层练习-拓展 0＜T(A)＜2 习题 24.7 1．火车上主动轮直径为1.2 m，主动轮的转速为 400 圈/min, 问火车的前进速度是多少？ 解：1.2π×400×60=28800π（m/h） = 28.8π（km/h）． 所以火车的前进速度是28.8π km/h． 2．如图，⊙O的半径OA是⊙O1的直径， ⊙O的半径OC交⊙O1于点B，问 与 的长度之间有什么关系？ 解： ．理由：如图，连接O1B． 设∠AOB=θ，⊙O1的半径O1A=r，则OA=2r， ∠AO1B=2∠AOB=2θ， ∵ ， ， ∴两弧的长度相等，即 ． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，求橘红色部分的面积． 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB= ． 由旋转变换的性质可知△AED≌△ACB， ∴S△AED=S△ACB． ∴橘红色部分的面积=S△AED+S扇形DAB-S△ACB =S扇形DAB= ． 证明：由勾股定理得AB2=AC2+BC2，则橘红色部分面积 4．已知：如图，以Rt△ABC各边为直径的三个半圆. 求证：所围成的橘红色部分面积等于Rt△ABC的面积． 5．如图，三角形和四边形的边长都大于2. 现在以它们的顶点为圆心、1为半径画弧与两邻边相交，在三角形内有三段弧，在四边形内有四段弧，求每个图形中各段弧长之和．如在n边形内也像上面一样做，这时n边形的各段弧长之和为多少？ 解：设三角形的三个内角分别为n1，n2，n3， 由三角形内角和定理可知n1+n2+n3=180°， 则三角形内三段弧长之和= ×（n1+n2+n3）=π． ∵四边形的内角和为360°， ∴四边形内四段弧长之和= ×360=2π． ∵n边形的内角和为（n-2）×180°， ∴n边形内n段弧长之和= ×(n-2)×180=(n-2)π. 6．如图，一折扇完全打开后，若外侧两竹片AB，AC的夹角为120°，AB长为25cm,贴纸部分BD长为14cm,则贴纸部分的面积（双面）为多少？ 解：贴纸部分的面积 =336π（cm2）， 即贴纸部分的面积是336π cm2． 7．如图，为测量某个圆形人工湖的半径，在湖边A，B，C三点竖立标杆，并测量出∠CAB=7.5°， =392.5m, 试求该圆形人工湖的半径． 解：∵∠CAB=7.5°， ∴ 所对的圆心角为15°． 设半径为r．∵ =392.5m, ∴ =392.5． 解得r≈1500．∴该圆形人工湖的半径约为1500m. 课堂小结 公式一： A O r h l R B O C n 公式二： 3．[2023·湘潭]如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为(　　) A．4π B．6π C．8π D．16π 5．若一个圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，且cos α＝，则圆锥的全面积是(　　) A．9π B．16π C．27π D．36π 【点拨】∵圆锥的主视图是一个腰长为6， 底角为α的等腰三角形，∴圆锥的母线长为6. ∵cosα＝，∴圆锥的底面半径为2.∴圆锥的全面积＝ πrl＋πr2＝π×2×6＋π×22＝16π.故选B. 6．[2024·武汉一模]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图)，米堆底 部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个 米堆遮挡的墙面面积为(　　) A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D．45π平方尺 【点拨】设圆锥的底面半径为r尺， 根据题意，得×2πr＝8，解得r＝， ∴这个米堆遮挡的墙面面积为2×××5＝(平方尺). 故选A. 7．[2024·烟台]如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ________． 【点拨】过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝∠E＝∠AFE＝＝120°， AB＝AF＝EF＝DE＝6. ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°. ∴∠BFD＝120°－30°－30°＝60°. 在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°， ∴BM＝AB＝3.∴BF＝2BM＝6. 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， 2πr＝，解得r＝. 【点拨】在Rt△ABC中，AC＝. ∵a＞b，∴a－b＞0. ∴S甲－S乙＝－ ＝πa2－πb2＋πa·－πb· ＝π(a－b)(a＋b)＋π(a－b) ＝π(a－b)＞0，∴S甲＞S乙. 【点拨】设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm.∴AB＝AE＝(9－2r) cm.根据题意，得 ＝2πr，解得r＝. ∴AB＝9－2r＝9－2×＝6 (cm). 【点拨】∵底面圆半径为3 m，圆锥高为2 m， ∴圆锥的母线长为＝(m). ∴需要羊毛毡的面积为π×3×＋2π×3×3－1×2＝ m2. m2 【解】设∠BAC＝n，依题意得，6π＝π×12， 解得n＝90°，即∠BAC＝90°. 【解】设加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积为S. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形. 又∵AD⊥BC，∴AD＝BC.∴S△ABC＝BC×AD＝AD2＝ 144 cm2. S扇形AEF＝π×AD2＝π×122＝36π(cm2). ∴S＝(144－36π) cm2. 12．如图①，在等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T，即T＝＝ ，如当∠A＝60°时，T＝1. (1)T＝________，T＝__________， T的取值范围是___________； (2)如图②，圆锥的母线长为18 cm，底面直径PQ＝14 cm，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T≈1.88，T≈1.15，T≈0.60) 【解】∵圆锥的底面直径PQ＝14 cm， ∴圆锥的底面周长为14π cm，即侧面展开图扇形的弧长为14π cm.设扇形的圆心角为n， 则＝14π，解得n＝140°.∵T(70°)≈1.15， ∴蚂蚁爬行的最短路径长约为18×1.15＝20.7(cm). $$