24.7 弧长与扇形面积（第1课时 弧长与扇形面积）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.7 弧长与扇形面积 第1课时 弧长与扇形面积 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （重点） 情景导入 在小学时我们就已知道，圆的周长C、圆的面积S与圆的半径R之间有下面的关系： 这里的=3.14159…，是个无理数，叫做圆周率． 但在许多情况下，我们还需要计算圆的一部分弧长和面积，如右图中的 ) 长度，以及半径OA，OB 与 ) 所围橘红色部分的面积． 我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形（右图中劣弧AB所围橘红色部分或优弧AB所围白色部分）. 新知探究 思考：如何求一个扇形的弧长好和面积？ 在圆中，如果圆心角∠AOB＝n°，那么它是周角（360°） 的 ，因此，n°的圆心角所对的弧长和以n°为圆心角的扇形面积分别是整个圆的周长和面积的 ． 所以，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长和以n°为圆心角的扇形面积的计算方法分别是 课本例题 · O A 解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的度数为n°，则 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 R =10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14） 课本例题 例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？ 解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长为C，则 答：地球的周长约为39625km. =250000 (希腊里) ≈39625 (km). ∴ 我们知道，地球周长约为40000km． 可见，2000多年前，埃拉托塞尼的估算结果已经相当精确了． 课堂练习 1． 已知：扇形AOB的半径为 12cm，∠AOB＝120°，求 的长度和扇形AOB的面积． 2． 已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20，求扇形面积． 分层练习-基础 【答案】 C 【答案】 B 3．[2023·山西]中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图①是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，如图②，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°. 【答案】 B 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为________ . 【答案】C 6. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图①是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图②，其中扇形BOC和扇形AOD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm， 则阴影部分的面积是______ cm2.(结果用π表示) 3 000 π ②当弦AB，AC在圆心的同侧时，如图②，作OD⊥AB交AB于点D，OE⊥AC交AC于E，连接OA.取OA的中点F，连接EF，同理可得∠OAB＝∠AOD＝45°，EF＝OF＝OE＝AF.∴△EFO是等边三角形. ∴∠EFO＝60°. ∴易得∠OAC＝30°. ∴∠BAC＝∠OAB－∠OAC＝45°－30°＝15°. 【答案】D 分层练习-巩固 【点拨】如图，连接OD，OE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°. ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B＝70°， ∴∠OEB＝∠C.∴OE∥AC. 【答案】 C 0.1 8π 11．[2024·安庆模拟]如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC，△COB，弓形BmC的面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是(　　) A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S1<S3<S2 D．S3<S2<S1 【答案】 B (1)求直径BD的长； 分层练习-拓展 13. 2024年4月25日，“神舟十八号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方点F时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在 Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km. (参考数据：cos 16°≈0.96，cos 18°≈ 0.95，cos 20°≈0.94，cos 22°≈0.93，π≈3.14) (1)求cos α的值(精确到0.01)； 课堂小结 弧长 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 公式 1．[2024·安徽]若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为(　　) A．2π B．3π C．4π D．6π 【点拨】＝＝＝4π. 2．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　) A．π B．3π C．2π D．2π－ 【点拨】∵等边三角形ABC的边长为3， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴＝＝＝＝π. ∴该“莱洛三角形”的周长＝3π.故选B. 若圆曲线的半径OA＝1.5 km，则这段圆曲线的长为(　　) A. km B. km C. km D. km 【点拨】∵α＝60°，∴∠ACB＝120°. ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°. ∴∠AOB＝360°－∠ACB－∠OAC－∠OBC＝60°. ∴＝＝(km). π 5．[2023·泰安]如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是(　　) A.π B.π C.π D.π 【点拨】∵OA＝OC，∠CAO＝40°，∴∠ACO＝∠CAO＝40°. ∴∠AOC＝180°－40°－40°＝100°.∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∴∠BOC＝360°－100°－140°＝120°. ∴阴影部分的面积是＝π. 【点拨】S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC＝ － ＝－ ＝3 000π( cm2). 7．在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为，，则∠BAC所对的弧长为(　　) A.　　B.　　C.或　　D.或 【点拨】①当弦AB，AC在圆心的异侧时，如图①，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA. ∵AB＝，AC＝， ∴易得AD＝，AE＝. ∵OA＝1，∴OD＝，OE＝. ∴AD＝OD.∴∠AOD＝∠OAD＝45°. 如图①，取OA的中点F，连接EF，则EF＝OF＝AF＝＝OE.∴△EFO是等边三角形. ∴∠EFO＝60°.∴易得∠OAC＝30°. ∴∠BAC＝∠OAD＋∠OAC＝45°＋30°＝75°. ∴∠BAC所对的弧长为＝. ∴∠BAC所对的弧长为＝.故选D. 8．[2024·广安]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为(　　) A. B. C. D. 在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－70°＝40°. ∵OE∥AC，OA＝OD，∴∠DOE＝∠ADO＝∠A＝40°. ∵OD＝OA＝AB＝5，∴的长度为＝.故选C. 9. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s 的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2， ∠AOB＝90°时，≈_____．(结果保留一位小数) 【点拨】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝2. ∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB， ∴延长DC可得点O在DC的延长线上. 易得OC＝AB＝.∵OD＝OA＝2，∴CD＝OD－OC＝ 2－，∴s＝AB＋＝2＋＝3. ∵l＝＝π，∴＝≈0.1. 10．[2024·苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若 AB＝2，则花窗的周长(图中实线 部分的长度)＝________.(结果保留π) 【点拨】如图，过点C作CM⊥AB于点M， 则AM＝BM＝AB＝. ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形， 中心为点O，∴∠AOB＝＝60°.又∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形．∴∠BAO＝60°. ∵点C是△AOB的内心， ∴∠CAB＝×60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°. ∴在Rt△ACM中，AC＝＝2. ∴的长为＝π. ∴花窗的周长为π×6＝8π. 【点拨】如图，作OD⊥BC于点D，则∠CDO＝90°，CD＝BD. ∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°， ∴易得∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°. 设该半圆的半径为r，则S1＝S扇形AOC＝＝，S扇形BOC＝＝. 在△OCD中，∠OCD＝30°，∠CDO＝90°， ∴OD＝，∴CD＝，∴BC＝r， ∴S2＝S△OBC＝BC·OD＝， ∴S3＝S扇形BOC－S△OBC＝. ∵＞＞，∴S2＜S1＜S3. 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE. 【解】∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°. ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.∴＝. ∴BC＝DC＝2.∴BD＝＝4. (2)若BE＝5，计算图中阴影部分的面积． 【解】∵BE＝5，BC＝2，∴CE＝3. ∵＝，∴S弓形BC＝S弓形CD.∴S阴影＝S△CDE. ∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°. ∴S阴影＝S△CDE＝×CD×CE＝×2×3＝6. 【解】由题意可知PF≈330 km. ∵OP≈6 400 km， ∴OF＝OP＋PF≈330＋6 400＝6730(km). ∴在Rt△OFQ中，cosα＝≈≈0.95. (2)在⊙O中，求的长(结果取整数)． 【解】∵cosα≈0.95，cos18°≈0.95， ∴α＝18°. ∴ 的长≈≈2 010(km). ∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB的中点， ∴CN＝AB＝2.同理CM＝DE＝1. 由旋转可知∠MCN＝120°. ∴∠NCH＝180°－∠MCN＝60°. ∴∠CNH＝180°－60°－90°＝30°.∴CH＝CN＝1. ∴NH＝CH·tan 60°＝.∵MH＝MC＋CH＝2， ∴MN＝＝. $$