精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2024-2025学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷

2024-2025学年度上学期高二12月份教学质量检测 数学试卷（A） （时向：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与轴交于两点，点在直线上，过圆上的任意两点分别向作垂线，垂足为，以下说法错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 当为直径时，四边形面积的最大值为16 C. 的最小值为 D. 为定值 8. 已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.点为椭圆上的动点，若，则以下说法正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 椭圆的离心率 C. 以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点 D. 的外接圆半径的最小值为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量共线，则与所在直线平行 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 在空间直角坐标系中，点关于面的对称点坐标为 D. 已知空间向量，则对于空间中任意一个向量总存在实数，使得 10. 已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 平面 D. 四面体的外接球的体积为 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ） A. 当时，是一个点 B. 当平面时，是一条线段 C. 当直线与平面所成的角为时，是圆 D. 当直线与平面所成的角为时，是双曲线 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小的5分，共15分. 12. 若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是__________. 13. 如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为__________. 14. 如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，. （1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程） （2）若是的中点，且，求线段的长. 16. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求. 17. 数列满足，． （1）求、、 ； （2）是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 18. 如图，是以为直径的圆上一点，，等腰梯形所在的平面垂直于所在的平面，且. （1）求与所成的角： （2）若异面直线和所成的角为，求二面角的平面角的正切值. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； （3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高二12月份教学质量检测 数学试卷（A） （时向：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前5项依次为，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：C 2. 已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 3. 在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个轨迹圆，再判断它们的位置关系，从而可得直线的条数. 【详解】与点的距离为1的点的轨迹为圆，其方程为：； 与点的距离为2的点的轨迹为圆，其方程为：； 而，故两圆相外切， 而满足题设条件的直线为两圆的公切线，因两圆外切，故公切线的条数为3. 故选：C 4. 设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，，而， 则，，而恒成立，则， 所以正实数的取值范围为. 故选：A 5. 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线，然后利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线为，即，所以， 所以，所以， 所以该双曲线的方程为. 故选：B. 6. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直线与线段相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解. 【详解】由题意，点的轨迹为线段， 又直线过定点, 所以， 由题意，直线与线段相交， 所以或， 故选：C 7. 已知圆与轴交于两点，点在直线上，过圆上的任意两点分别向作垂线，垂足为，以下说法错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 当为直径时，四边形面积的最大值为16 C. 的最小值为 D. 为定值 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的切线的性质判断选项A，利用梯形中位线可得，即当最长时，四边形的面积最大判断B，利用对称性可求得的最小值，判断C，利用平面向量基本定理和数量积的定义判断D. 【详解】对于B，在四边形中，，圆心O到直线的距离为， 则. 因此，当最长，即时面积最大，最大值为16，故B正确； 对于A，当最小，且当为圆O的切线时，最大， 此时，为圆心O到直线的距离4， 在中，，所以， 所以的最大值为，故A正确； 对于C，设，设N关于l对称的点为， 则， 解得，则N关于l对称的点为， 所以，当共线时等号成立， 即最小值为，故C正确； 对于D，，不是定值，故D错误； 故选：D 8. 已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.点为椭圆上的动点，若，则以下说法正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 椭圆的离心率 C. 以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点 D. 的外接圆半径的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质及条件可得，化简即可判断AB，再由椭圆的几何性质确定椭圆上点到距离为的只有一个判断C，根据正弦定理及椭圆性质判断D. 【详解】对A，如图， 由题意，在中，， 可得，成等比数列，故A错误； 对B，由可得，即， 解得或（舍去），故B错误； 对C，由椭圆的几何性质知，椭圆上到点距离最近的点只有一个，即右端点， 所以不存在其它点，使得，故C错误； 对D，由椭圆的几何性质知，当运动到椭圆短轴端点处（不妨取点）， 此时最大，由题意知，， 又的外接圆半径， 即的外接圆半径的最小值为，故D正确. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量共线，则与所在直线平行 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 在空间直角坐标系中，点关于面的对称点坐标为 D. 已知空间向量，则对于空间中任意一个向量总存在实数，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的概念判断A，根据向量相等的概念判断B，根据空间点关于面的对称点特征判断C，由空间向量的基本定理判断D. 【详解】对于A，若共线，则所在直线有可能在同一条直线上，A错误； 对于B，，但的方向不确定，所以不一定成立， 反之，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，由空间点的对称性，点关于面的对称点坐标为，C正确； 对于D，当空间中向量不共面时，才对于空间中任意一个向量总存在实数，使得，D错误； 故选：BC. 10. 已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 平面 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对选项A，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，故A错误；对选项B，设点到平面的距离为，根据求解即可；对选项C，假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球体积即可. 【详解】对于A，在图1中，过作，如图所示： 因为，所以四边形是矩形， 因为，所以， 因为四边形是等腰梯形，，所以， 因为，所以， 连接，则， 因为，所以，得，则. 在图2中， 因为，，平面，平面， ，所以平面； 因为平面，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 若，又，平面，平面， ，所以平面， 过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误； 对于B，由，，得，又， 所以，而， 因为到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由，得，即h＝，故B正确； 对于C，假设平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， ，所以平面平面， 与已知条件矛盾，故C错误； 对于D，连接，如图所示： 因为，为直角三角形，且为的中点， 所以，即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球体积为：，故D正确. 故选：AC. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ） A. 当时，是一个点 B. 当平面时，是一条线段 C. 当直线与平面所成的角为时，是圆 D. 当直线与平面所成的角为时，是双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求解判断A；利用线面关系的向量表示求出动点的轨迹方程判断B；利用线面角的向量公式列式求得动点轨迹判断CD. 【详解】如图建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2， 则有， 又为的中点，所以，设， 选项A，因为，又， 所以，即， 也即， 所以，此时，曲线为点，故A正确； 选项B，设平面的一个法向量为， 则，令得，， 当平面时，，即，动点在平面内的轨迹为一条直线（是连接和中点的直线），故B错误； 选项C，易知平面的一个法向量为， 所以当直线与平面所成的角为时， 有，化简得， 此时曲线为，故C正确； 选项D，易知平面的一个法向量为， 所以当直线与平面所成的角为时， 有，化简得， 此时曲线为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小的5分，共15分. 12. 若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是__________. 【答案】和 【解析】 【分析】先算出已知的两直线间的距离，然后根据所截得的线段长求出直线与已知直线的夹角，问题可解． 【详解】因为直线与 则直线，故它们的距离， 又因为直线被两直线截得的线段长为， 设与的夹角为，则，， 故，而直线的斜率为1，故倾斜角为， 故直线的倾斜角为，或． 故答案为：和. 13. 如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由得，所以平面，从而可得点轨迹，求出所围图形面积． 【详解】作母线，，连接， 因为，所以共面，是圆柱的一个截面， 平面，平面，所以， 又由已知得，而，平面， 所以平面， 由得，所以平面， 矩形即为点轨迹， 因为，则，又， 所以矩形的面积为． 故答案为：. 14. 如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆与圆的半径分别为，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，进而在中，，结合勾股定理得，结合一元二次不等式的解法，根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】如图1，设圆与圆的半径分别为， 圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为， 因为， 所以， 设为边中点，则， 因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆， 所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2， 则，即，所以，， 所以，在中，， 所以，，即， 因为，所以，，解得， 所以，的最小值为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，. （1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程） （2）若是的中点，且，求线段的长. 【答案】（1）(答案不唯一)； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得； （2）由题可得，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得. 【小问1详解】 因为底面，四边形是正方形，，， 所以空间的一个单位正交基底为； 【小问2详解】 因为， 由题意知，，，， ， 所以， 即， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系求解即可； （2）结合直线与抛物线的位置关系及弦长公式求解即可． 【小问1详解】 设直线. 由题设得，故， 所以. 由，可得， 由得，且 从而，得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由可得. 由，可得. 所以. 从而，故. 代入的方程得. 故. 17. 数列满足，． （1）求、、 ； （2）是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，； （2）存在，且， 【解析】 【分析】（1）结合题目所给条件，将、、分别代入并计算即可得； （2）假设存在，计算出首项、设出公比后，代入计算即可得. 【小问1详解】 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 即，，； 【小问2详解】 假设存在该实数，设数列公差为，又， 故，即， 则， 由， 即有， 整理得，当，时，恒成立， 此时，符合要求， 有， 故存在，使得数列为等差数列，且. 18. 如图，是以为直径的圆上一点，，等腰梯形所在的平面垂直于所在的平面，且. （1）求与所成的角： （2）若异面直线和所成的角为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义得即为所求，结合条件根据圆的性质求解即可. （2）取弧的中点的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角的向量表示得点的坐标，然后利用向量法求解二面角的余弦值，根据同角关系求解即可. 【小问1详解】 为等腰梯形，， 所以异面直线与所成的角为， 又， ， 又. 与所成角为. 【小问2详解】 取弧的中点的中点，连接， 平面平面平面，平面平面， 平面，又为的中点，， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设的长为，则， 所以， 所以， ，又 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 设二面角的平面角为，由图可知， 则， . 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； （3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】（1）； （2）证明如下： 设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明如下： 设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【小问1详解】 因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $