专题07 抛物线性质归类（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07抛物线性质归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：抛物线轨迹 题型二：焦点与准线互化 题型三：定义：方程求参 题型四：定义妙用：点点距离最值 题型五：定义妙用：梯形中位线型 题型六：定义妙用：焦半径极坐标公式 题型七：焦半径与焦点弦综合性质 题型八：抛物线定比分点 题型九：角度型 题型十：点线距离和最值型 题型十一：面积范围最值 题型十二：抛物线焦点弦切线 题型十三：焦点三角形 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 抛物线型轨迹 ⭐技巧积累与运用 抛物线型轨迹，主要是抛物线定义：到定点距离等于定直线距离 一些定义，把对应距离增加或者减少一些常数。还有比较常见的是不同的圆的内切或者外切型构造 1．若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 2．已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 3．平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 题型02 焦点与准线互化 ⭐技巧积累与运用 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 2．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】CD 【分析】求抛物线的焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义将问题转化为求与点到直线的距离和的范围，再结合平面几何方法求结论. 【详解】抛物线的焦点，准线． 如图，过点作于，过点作于，连接， 由抛物线的定义知，所以， 当且仅当点在上时，等号成立， 又，所以的最小值为， 故选：CD． 3．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【分析】结合图形，由抛物线定义可将M到与的距离之和转化为，后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C. 过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为. 由抛物线定义知，又，则. 当且仅当三点共线时，最短时， 而为F到直线距离， 所以. 所以点M到与的距离之和的最小值为3. 故答案为：3. 题型03 定义：方程求参 ⭐技巧积累与运用 抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 2．若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据抛物线的定义，可得，结合点在抛物线上，联立方程组，即可得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得其准线方程为， 因为点到焦点的距离为m，根据抛物线的定义，可得， 又由点是抛物线上的点，可得， 联立方程组，解得. 故选：AC. 3．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为， 因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得， 解得或（舍去），故实数的值为． 故答案为：. 题型04定义妙用：点点距离最值 ⭐技巧积累与运用 抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 1．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 3．已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值. 3．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    题型05定义妙用：梯形中位线型 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. 如图，可以考虑这类作垂线构造梯形方法 1．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合图象利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，得到，求得即得. 【详解】 如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为， 同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得， 又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故. 故选：C． 2．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 3．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，. 由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为. 故答案为：． 题型06 定义妙用：焦半径极坐标公式 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 焦半径公式：，， 1．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且直线的倾斜角，点在轴上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可知，结合条件可得，进而可得，然后结合三角函数的性质即得． 【详解】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点为，∵点A在x轴上方，设点A的横坐标为， ∴．，由抛物线定义可知，∴， ∵，∴，∴， ∴的取值范围是．故选：D． 2．已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线得焦半径公式即可求得，再利用两点之间的距离公式以及焦半径公式一一判断即可得到结果. 【详解】设．由题意知，直线l的斜率， 则直线l的方程为，将其代入抛物线C，得， 得，由，得，选项A正确; 抛物线C的方程为，所以， 所以，选项C正确; 将直线l的方程为与准线联立，得， 所以，选项B正确; ，选项D错误． 故选：ABC． 3．已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出，故可得，结合基本不等式可求. 【详解】因为，故，故，故， 所以，即， 若，则，故中必有两个点相同，这与题设矛盾， 故，故， 由基本不等式有，即， 故答案为：. 题型07 焦半径与焦点弦综合性质 ⭐技巧积累与运用 抛物线焦半径 (1) 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)； ③＋＝； 1．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为（位于轴的右侧），过点作，垂足为，连接，交抛物线于点（在线段上），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程为，并与抛物线联立可得，且为正三角形，得出直线的方程并与抛物线联立由焦半径公式计算可得结果. 【详解】易知，准线方程为， 可得直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得，解得，即； 由焦半径公式可得， 直线的倾斜角为，可得，所以为正三角形，即； 可得直线的方程为， 联立，整理可得，解得，即； 由焦半径公式可得， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：在求解抛物线中线段长度问题时，经常联立直线方程并利用焦半径公式进行计算即可. 2．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 【答案】ABD 【分析】根据的最小值求得，利用根与系数关系、向量法、抛物线的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线的焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则， ， ，当时等号成立， 所以， 所以抛物线，焦点为， 对于选项A: 由上述分析可知， ， 所以，故A正确； 对于选项B：因为的倾斜角为，抛物线的焦点为，点在第一象限， 设 ， 由直线的点斜式方程可得：直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 解得 ； 所以，故B正确； 对于选项C：设直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 所以， 即， 所以，解得 ，故C错误； 对于选项D：由， 得：, 所以，故D正确； 故选：ABD. 3．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程. 【详解】易知，直线的方程为， 由得， 设， 则，， 所以， 解得，所以的准线方程为． 故答案为： 题型08 抛物线定比分点 ⭐技巧积累与运用 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为 |AB|＝x1＋x2＋p＝ 1．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，   设、，则，， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 2．已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．满足为直角三角形的点有且仅有2个 B．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C．若在直线上的射影为，则 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】BCD 【分析】根据直线和圆的交点个数判断A，分斜率是否存在设直线联立方程组应用判别式判断B，数形结合根据三点共线判断距离和的最小值判断C，设直线联立方程组结合焦半径公式计算判断D. 【详解】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误； 对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得， 当时，方程为，此时直线与抛物线只有一个交点； 当时，则，解得. 综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确; 对于C，如图所示，抛物线的焦点为， 当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确； 对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得，解得， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是抛物线定义，距离和的转化是解题的关键，的判断关键也是定义的应用. 3．已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则 ． 【答案】 【分析】画图，过，两点分别作，与准线垂直，交点分别为，，设点，，由抛物线的定义结合可得，联立直线与抛物线的方程，得到，解出，的坐标求解斜率即可. 【详解】因为抛物线为，所以焦点，准线为， 过，两点分别作，与准线垂直，交点分别为，， 根据抛物线的性质可知，，， 因为，所以，设点，， 所以有， 联立直线与抛物线的方程， 消去得到:， 所以，结合，解得， 因为，所以交点，在第一象限， 所以，，所以. 故答案为：.    题型09 角度型 1．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，根据得到相关方程，解出即可. 【详解】由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴， 因为，则， 则，又因为是抛物线上一点， 则，代入上式有，解得或3， 显然由图知，则，则. 故选：A 2．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 【答案】BD 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】对于A选项，如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 所以与全等，则， 因为，，， 所以， 则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B选项，设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， 因为，则，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 对于C选项，由上可知，直线的方程为， 设、， ，则， 联立，整理得， 则，所以，则， 所以，故C错误； 对于D选项，设线段的中点为， 则，，则， 由上可知，则， 又， 所以点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合抛物线的性质可得是Rt的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程. 【详解】如图，因为直线的倾斜角为，，    可知，， 设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，， 可知点是线段的中点，则， 即为直角三角形，为斜边， 所以是Rt的外接圆的直径， 由题意可得：，解得． 过点A作轴，垂足为， 在Rt中，， 又因为，则，即， 所以抛物线的方程为． 故答案为： 题型10 点线距离和最值型 ⭐技巧积累与运用 到直线距离，可以与过焦点弦联系，结合抛物线定义，转化为焦点与准线距离 1．已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图形即可得结果. 【详解】题意可知：抛物线的焦点为，准线为，    则， 所以的最小值即为点到直线的距离为. 故选：D. 2．已知抛物线的准线为，焦点为F，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为A，，垂足为B，则（    ） A．点F到直线的距离为 B． C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，用点到直线的距离公式即可判断；对于B，利用抛物线的定义即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断；对于D，利用抛物线的定义可得到，接着求出的最小值即可 【详解】由抛物线的准线为可得抛物线方程为，焦点为， 对于A，点F到直线的距离为，故A正确； 对于B，因为在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得，即，故B正确； 对于C，因为在抛物线上，所以， 所以，当且仅当时，取等号，故C错误； 对于D，由抛物线的定义可得，故，当且仅当三点共线时，取等号，此时， 由选项A可得点F到直线的距离为，故的最小值为，故D正确， 故选：ABD 3．已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先分析得的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解. 【详解】如图所示，易知，直线过定点， 因为，所以Q在以为直径的圆上， 不妨设其圆心为，显然半径， 分别过作准线的垂线，垂足为， 结合抛物线定义有， 当且仅当均在线段上时取得等号. 故答案为：. 题型11 面积范围最值型 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角) 1．平面直角坐标系中，已知直线l与抛物线交于A、B两点，、的斜率分别为和，满足，F是抛物线的焦点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线.设，用“设而不求法”表示出得到，从而得到的面积，由即可求出最小值. 【详解】因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以可设直线. 设，则有，消去x得：， 所以. 由得：，即，所以，即. 即直线l与x轴交于. 又抛物线的焦点，所以. 所以的面积. 因为，所以， 当m=0时，即直线的斜率不存在时，取等号， 此时的面积的最小值：. 故选：D 【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法，“设而不求法”可以解决大部分直线与二次曲线相交的问题； （2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 2．抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（    ） A．抛物线的准线方程是 B．过抛物线的焦点的最短弦长为 C．若弦的中点为，则直线的方程为 D．四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出，即可得到抛物线方程，从而判断A，根据焦点弦的性质判断B，利用点差法求出，即可判断C，设直线为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出，，再由及基本不等式计算面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线焦点，准线方程为， 依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误； 过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确； 设，，则，， 所以，即， 又弦的中点为，所以， 所以，即， 又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确； 依题意直线的斜率存在且不为，设直线为， 由，消去整理得，显然， 所以，所以， 同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BCD 3．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，，当面积最大时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据均值不等式得到，，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程. 【详解】由椭圆，可知，，，， ， ，， （当且仅当，等号成立）， ，，，， 直线的倾斜角为，直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 题型12 抛物线焦点弦切线 ⭐技巧积累与运用 1.只有一个交点 （1）当直线平行于抛物线对称轴时，只有一个交点， （2）当直线是抛物线切线时，只有一个交点 2.求抛物线切线 （1）联立方程，判别式为零。 （2）对于，过的切线方程 ： 1．已知抛物线，过点作C的两条切线，切点分别为B、D，则过点A、B、D的圆截y轴所得弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B、D两点的坐标，进而得出过点A、B、D的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】设过点的直线方程为， 联立，可得，由，解得 即，， 不妨设，则的中垂线方程为，即圆心在轴上 又，且点到点A、B、D的距离都相等，则圆心坐标为，半径为 圆的方程为，令，解得 即圆被y轴所截得的弦长为 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 2．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两点处的切线相交于点．下列说法正确的是（    ） A．直线方程为 B．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 C．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 D． 【答案】BCD 【分析】设为，与抛物线联立，根据韦达定理用表示出，即可判断A项；根据已知可推出，是一元二次方程的两组解，又直线方程为，两式比较可得，，即可判断B项；通过求出、点坐标，推导以及，即可判断C项；根据抛物线的光学性质，结合已知条件，可推出∽，进而推得. 【详解】设为，，与抛物线联立得，必有，，，∴，，代回方程整理得：，A项错误； 由已知，抛物线在点处的切线切线：，在两点处的切线 ，设点，则满足方程组， 则可知，是一元二次方程的两组解，由经过两点，的直线有且仅有一条，故方程为，变形为， 又直线方程为， 两式对应系数得 ，，所以平行轴或与轴重合，B项正确； 如图，记切线与轴的交点， ，， ∴，∴， 同理切线与轴的交点，亦有，故， 所以，，，四点共圆，且为直径，C项正确； 如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角相等；同理，五个角相等． 则∽，∴，D项正确． 故选：BCD. 3．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则 ． 【答案】 【分析】先设出切线方程与抛物线方程联立，令可求出切线斜率；再求出切线方程及切点坐标； 然后即可求出. 【详解】切线过点，且交抛物线于两点， 切线斜率存在，设切线斜率为,则过的切线方程为, 联立，则，令，， 切线的方程分别为：和， 联立，则，，，同理可知; ,,. 故答案为： 题型13焦点三角形 ⭐技巧积累与运用 三角形一个顶点是抛物线焦点，另外俩顶点在抛物线上，此三角形融合以下知识： 1.两边是焦半径，所以考察抛物线定义与焦半径。 2.涉及到角，考察三角形余弦定理 3.在抛物线上两点所在边，向准线作垂线，考察中点弦（参考中点弦知识点的直角梯形图）。 4.常常会通过余弦定理用均值不等式来达到“和”与“积”互化得定值 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上两动点，且（为常数），线段中点为，过点作的垂线，垂足为，若的最小值为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据抛物线的定义及余弦定理可得，然后根据基本不等式求最小值，进而即得. 【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P， 设，连AF，BF， 由抛物线定义得， 在梯形ABPQ中，， 在中，由余弦定理得， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， ∵的最小值为1， ∴，即，又，∴．故选：C． 2．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】先说明这样的满足，并且弦以为中点的，再证明对于无数多个点，都存在满足条件的弦即可. 【详解】 当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个. 故选：D. 【点睛】本题关键在于构造出，再说明对于点，只要满足的在抛物线内部，并且存在以为中点的弦，即存在，这样的每一个点都会对应一个. 3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，且，则直线与的斜率之积为 . 【答案】 【分析】联立抛物线和直线方程得韦达定理，由结合图形推出（*），设点，代入（*）整理得，代入韦达定理，即可推得，故得结论. 【详解】 由消去，整理得：，则有， 如图，设点，因，，， 则， 又,          , 因，故得（*）， 由抛物线的定义知，，，代入（*），可得，， 即，， 因，代入得： ， 整理得：， 因，故得， 将代入可得，，即， 因，故,即直线与的斜率之积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与抛物线相交产生的相关直线斜率间的关系，属于难题. 解题关键在于对的应用和处理，结合图形，利用向量的数量积推得，就将点的坐标和韦达定理有机地联系起来，经推理化简即得. 能力培优 1． 焦点为的抛物线上有一点（在第一象限），将关于直线对称得到，与轴交于两点，，则直线的斜率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得关于直线的对称点，将的坐标代入抛物线方程，从而求得直线的斜率. 【详解】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， ，则， 依题意可知关于直线的对称点在抛物线上， 所以，解得， 将代入抛物线方程得， 整理得，解得， 而，所以. 故选：B 【点睛】思路点睛： 设直线方程并求对称点：首先设定直线的方程，利用已知条件求得关于直线的对称点，求对称点的方法需要熟练掌握. 代入抛物线方程求解：将对称点代入抛物线方程，得到关于斜率的方程，进而求出直线的斜率. 2． 抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得∥，取弦，的中点分别为，设直线的方程为：代抛物线，由韦达定理可得，，，从而得在直线上，根据切线方程可得，作出图象，可得，，再根据求解即可. 【详解】解：由，，可知∥， 设弦，的中点分别为， 设直线的方程为：， 代入，得， 则， ， 所以，， 同理可得， 由抛物线的几何意义可知点在直线上， 所以， 因为，所以，， 所以物线在处的切线为，即， ，即 同理可得物线在处的切线为，即, 由，解得， 综上，，, 所以四点共线，且所在直线平行于轴，    由，得， 则，， 又， 所以有， 又， 化简得， 同理有， 由两式知直线的方程为： ， 因为， 所以， 又直线过点， 代入得， ， 整理得， 即， 由题可得， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解. 3． 点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件，用表示出两点坐标，从而求出直线的方程，进而求出定定点，再根据条件得到，再利用柯西不等式即可求出结果. 【详解】如图，由题易知直线斜率均存在， 设直线方程为，， 由，消得，即， 由韦达定理得，所以，代入，得到，所以， 设直线方程为，， 由，消得， 即，由韦达定理得， 所以，又因为，所以， 代入，得到，所以， 所以直线的斜率为， 所以的方程为， 即 所以，即， 故直线过定点，令，得到，所以， 所以，，又因为，所以， 所以，，又，所以， 又由柯西不等式知， 当且仅当，即时，取等号， 所以，即，故选：D. 【点睛】解决本题的关键在于，利用条件求出，两点，再利用点斜式表示出直线，进而求出定点. 4． 已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据抛物线定义，结合已知条件，求得抛物线方程；再设出直线斜率和方程，联立抛物线方程，结合三角形面积，从而求得直线方程，进而由韦达定理求得结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为． 由抛物线的方程可知，焦点，根据题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，． 由消去整理得，， 所以，．又， 所以， 解得， 则，， 则．故选：D． 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意熟练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题. 5． 已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再探求点的轨迹图形，进而求出面积. 【详解】抛物线：的焦点，由到的距离为1，得， 而，解得，则抛物线的焦点，准线方程为， 直线与准线的距离为1，由到的距离与之和的最小值为1， 得到准线的距离与之和的最小值为2，因此的最小值为2， 显然，当且仅当点在线段上时取等号，则， 此时点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，由点在线段上，得点在圆内， 又直线与的距离为1，当点在直线上，点在直线及下方的抛物线弧上， 且垂直于直线时，到的距离与之和为1，符合题意， 因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆在直线及下方的圆弧与弦组成， 而点到直线的距离是1，则， 所以点的轨迹围成的面积扇形的面积减去的面积， 即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：把点到的距离与之和的最小值为1，转化为到的距离与之和的最小值为2是解决问题的关键. 6． 过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为，整理可得，解得或， 因为，所以，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下： （1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半. （2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和. （3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 7． 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（    ） A． B．的最小值为1 C．（为原点）的最大值为 D．的最小值不可能为6 【答案】AC 【分析】选项A，将点代入，即可求解；选项B，分斜率存在和不存在两种情况，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求解；选项C，结合选项B中的结论，利用正切函数的倍角公式得到关于的表达式，从而得解；选项D，利用选项B中结果，可得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为点在上，所以，得到，所以，故选项A正确， 对于选项B，易知直线斜率不为，设， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，消得到， 由韦达定理得， 又， 当直线的斜率不存在时，， 所以，故选项B错误， 对于选项C，当直线的斜率不存在时，， 此时， 当直线的斜率存在时，设， 则， 又 ， 由选项B知，， 所以， 易知，时，，时，， 又的两根为或， 可得， 所以，所以选项C正确， 对于选项D，， 由选项B知，当直线的斜率存在时，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在选项C，设，再分直线斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时，可求得，当斜率存在时，利用选项B中结果，将表示成，再利用，得到，即可求解. 7． 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线的方程为，利用韦达定理可得，即可得结果；对于C：整理可得，进而分析判断；对于D：整理可得，，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：由几何性质可知，且， 可得，所以，故A正确： 对于选项B：设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，即， 由条件知同号，所以. 则，可得， 因为，则， 同理可得，则，故B正确； 对于选项C：因为， 可得， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：设， 由，可知直线关于直线对称， 所以. 因为， 可得. 则， ， 所以的面积等于的面积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 9． 过抛物线的焦点的直线交于，两点，，是的准线上两点，以为直径的圆与切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和性质，证明，，再联立抛物线与过焦点的直线，利用根与系数的关系求出直线的斜率. 【详解】 设抛物线的准线与轴交于一点，过作于一点， 过作于一点，连接，， 由抛物线的定义知，，， ，， 又，，， 因此，，， 又， 则， 设的中点为，则，因此， ，即， 因此以为直径的圆与切于点，且为圆的半径， 而过直线与垂直时，在准线只有唯一的交点，这个交点即为与切于点的圆的圆心， 因此在准线只有一个圆与切于点， 故要使以的准线上两点为直径的圆与切于点， 则与重合，与重合， 因此四边形为直角梯形， 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 则，联立可得， 整理得， 则，， 因此， 又的符号相反，因此，， 则， 又， 又梯形的面积为64，则， 即，整理得，， 解得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点， 可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 10． 已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可. 【详解】 设圆心为，半径为2，则四边形的面积， 所以， 又在中，， 所以， 设，则， 所以当时，有最小值， 此时有最小值 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题中求有最小值关键是利用四边形的面积将的表达式求出来，再转化为的函数求最值. 高考真题 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（ 全国·高考真题）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设出三点的坐标，把（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解. 【详解】解：设点的坐标分别为． 又，则，， ． 由抛物线的定义可得：，， 故选：B 3．（·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可. 【详解】如图所示过点做轴，令， 因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为， 所以由抛物线的性质得，解得， 所以， 故选：B 4．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 5．（·海南·高考真题）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解． 【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，由, 依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小， 如图所示， 故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得， 所以点，故选A． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07抛物线性质归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：抛物线轨迹 题型二：焦点与准线互化 题型三：定义：方程求参 题型四：定义妙用：点点距离最值 题型五：定义妙用：梯形中位线型 题型六：定义妙用：焦半径极坐标公式 题型七：焦半径与焦点弦综合性质 题型八：抛物线定比分点 题型九：角度型 题型十：点线距离和最值型 题型十一：面积范围最值 题型十二：抛物线焦点弦切线 题型十三：焦点三角形 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 抛物线型轨迹 ⭐技巧积累与运用 抛物线型轨迹，主要是抛物线定义：到定点距离等于定直线距离 一些定义，把对应距离增加或者减少一些常数。还有比较常见的是不同的圆的内切或者外切型构造 1．若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 3．平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 题型02 焦点与准线互化 ⭐技巧积累与运用 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 题型03 定义：方程求参 ⭐技巧积累与运用 抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 2．若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） 3．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 题型04定义妙用：点点距离最值 ⭐技巧积累与运用 抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 1．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 3．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 题型05定义妙用：梯形中位线型 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. 如图，可以考虑这类作垂线构造梯形方法 1．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 3．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 . 题型06 定义妙用：焦半径极坐标公式 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 焦半径公式：，， 1．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且直线的倾斜角，点在轴上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3． 已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ． 4． 题型07 焦半径与焦点弦综合性质 ⭐技巧积累与运用 抛物线焦半径 (1) 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)； ③＋＝； 1．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为（位于轴的右侧），过点作，垂足为，连接，交抛物线于点（在线段上），则（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 3．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 题型08 抛物线定比分点 ⭐技巧积累与运用 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为 |AB|＝x1＋x2＋p＝ 1．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．满足为直角三角形的点有且仅有2个 B．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C．若在直线上的射影为，则 D．若直线的倾斜角为，则 3．已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则 ． 题型09 角度型 1．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 2．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ． 题型10 点线距离和最值型 ⭐技巧积累与运用 到直线距离，可以与过焦点弦联系，结合抛物线定义，转化为焦点与准线距离 1．已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 2．已知抛物线的准线为，焦点为F，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为A，，垂足为B，则（    ） A．点F到直线的距离为 B． C．的最小值为1 D．的最小值为 3．已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 ． 题型11 面积范围最值型 ⭐技巧积累与运用 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角) 1．平面直角坐标系中，已知直线l与抛物线交于A、B两点，、的斜率分别为和，满足，F是抛物线的焦点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（    ） A．抛物线的准线方程是 B．过抛物线的焦点的最短弦长为 C．若弦的中点为，则直线的方程为 D．四边形面积的最小值为 3．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，，当面积最大时，直线的方程为 . 题型12 抛物线焦点弦切线 ⭐技巧积累与运用 1.只有一个交点 （1）当直线平行于抛物线对称轴时，只有一个交点， （2）当直线是抛物线切线时，只有一个交点 2.求抛物线切线 （1）联立方程，判别式为零。 （2）对于，过的切线方程 ： 1．已知抛物线，过点作C的两条切线，切点分别为B、D，则过点A、B、D的圆截y轴所得弦长为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两点处的切线相交于点．下列说法正确的是（    ） A．直线方程为 B．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 C．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 D． 3．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则 ． 题型13焦点三角形 ⭐技巧积累与运用 三角形一个顶点是抛物线焦点，另外俩顶点在抛物线上，此三角形融合以下知识： 1.两边是焦半径，所以考察抛物线定义与焦半径。 2.涉及到角，考察三角形余弦定理 3.在抛物线上两点所在边，向准线作垂线，考察中点弦（参考中点弦知识点的直角梯形图）。 4.常常会通过余弦定理用均值不等式来达到“和”与“积”互化得定值 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上两动点，且（为常数），线段中点为，过点作的垂线，垂足为，若的最小值为1，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，且，则直线与的斜率之积为 . 能力培优 1． 焦点为的抛物线上有一点（在第一象限），将关于直线对称得到，与轴交于两点，，则直线的斜率为（     ）. A． B． C． D． 2． 3． 抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（   ） A． B． C． D． 4． 点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5． 已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 6． 已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 7． 过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8． 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（    ） A． B．的最小值为1 C．（为原点）的最大值为 D．的最小值不可能为6 9.已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 10． 过抛物线的焦点的直线交于，两点，，是的准线上两点，以为直径的圆与切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为 . 11.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 高考真题 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（ 全国·高考真题）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 3．（·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（·海南·高考真题）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 A． B． C． D． 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$