08离散型随机变量的数字特征——2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

08离散型随机变量的数字特征（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：离散型随机变量的均值 3 考点二：离散型随机变量的方差 5 【自学检测】 7 自学概念 1. 离散型随机变量的均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. (2)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. (3)离散型随机变量的均值性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 2. 离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3)几个常见的结论 ①D(aX＋b)＝a2D(X). ②若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p). 自学考点 考点一：离散型随机变量的均值 一、单选题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（20-21高二·全国·课后作业）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量和，其中，且，若的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（21-22高二下·安徽·期末）为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 语文 76 89 110 128 132 数学 82 94 135 115 124 现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） = . 6．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 四、解答题 7．（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 8．（24-25高三上·云南大理·开学考试）某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 考点二：离散型随机变量的方差 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．（2024·四川巴中·模拟预测）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·湖北武汉·期末）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 6．（21-22高三上·浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ． 四、解答题 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 8．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 3．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 6．（23-24高二下·天津河东·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．可能等于0.1 11．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知A，B两个袋子中有除了颜色外完全相同的黑球，白球若干.其中A袋子有2只黑球，1只白球，B袋子中有2只黑球，2只白球.现从A，B两袋中随机选一只球交换，则交换后A袋中黑球个数的数学期望为 . 13．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为 . 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023·河北·三模）某单位年会有这样一个抽奖活动：箱子里装有8个小球，除颜色外完全相同，其中4个黑球，4个白球．每次抽奖从这个箱子里随机摸出4个球，若摸出的白球不少于3个，则为一等奖，奖励1000元，若摸出的白球为2个，则为二等奖，奖励600元，若摸出的白球不多于1个，则为三等奖，奖励400元，每个人三次抽奖，且各次的结果相互独立 (1)若甲参加抽奖活动，求最后获得2000元的概率； (2)若甲参加抽奖活动，求最后获得奖金的期望． 16. (15分) （24-25高三上·广东佛山·阶段练习）随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星．某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图： (1)求5G手机的价格75%分位数； (2)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500~6500的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买两部，假定选择每部手机是等可能的，设这两人购买同一价位区间的手机的数量为X，求 17. (15分) （24-25高三上·北京·开学考试）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 18. (17分) （23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，一次从中摸出个球． (1)求“红球甲”没有被摸出的概率； (2)设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08离散型随机变量的数字特征（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：离散型随机变量的均值 3 考点二：离散型随机变量的方差 8 【自学检测】 14 自学概念 1. 离散型随机变量的均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. (2)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. (3)离散型随机变量的均值性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 2. 离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3)几个常见的结论 ①D(aX＋b)＝a2D(X). ②若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p). 自学考点 考点一：离散型随机变量的均值 一、单选题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（20-21高二·全国·课后作业）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量和，其中，且，若的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（21-22高二下·安徽·期末）为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 语文 76 89 110 128 132 数学 82 94 135 115 124 现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） = . 6．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 四、解答题 7．（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 8．（24-25高三上·云南大理·开学考试）某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D AB BCD 1．A 【分析】先利用分布列的性质求解参数，然后求解期望，得到结果即可. 【详解】由题意得，解得， 故，而， 则，故A正确. 故选：A 2．D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【详解】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D 3．AB 【分析】由题意得到的所有的可能取值为，求得相应的概率，利用，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的所有的可能取值为， 可得 则， 因为，即，解得或， 又由，所以，即. 结合选项，可得选项A、B符合题意. 故选：AB. 4．BCD 【分析】先利用均值的性质根据求出，再根据分布列求出随机变量的均值和的值，联立即可求解. 【详解】根据分布列可知①， 因为，所以，解得， 又由分布列可得，整理得②， ①②联立解得，， 故选：BCD 5．/ 【分析】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人，分别利用古典概型计算出概率，由期望公式可得答案． 【详解】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人， ， ， ， 则. 故答案为： 6．/0.5 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【详解】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 7．(1) (2)的分布列为 【分析】（1）根据分步计数原理计算出总数，再列举出小球得分大于的情况，最后根据古典概率公式即可得出答案； （2）先写出的值，计算对应取值的概率，最后列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 8．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式计算； （2）由可能的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望. 【详解】（1）依题意，甲恰好套中1个西瓜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为. 则随机变量的分布列为 0 1 2 故. 考点二：离散型随机变量的方差 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．（2024·四川巴中·模拟预测）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·湖北武汉·期末）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 6．（21-22高三上·浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ． 四、解答题 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 8．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABD ABD 1．C 【分析】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 2．D 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， ， 因为， 则 故选：D. 3．ABD 【分析】根据分布列性质可求出m的值，判断A；根据期望和方差公式计算判断B；利用期望和方差性质可判断CD. 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 4．ABD 【分析】根据均值与方差的性质即可判断AB；根据均值与方差的关系即可判断CD. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5． 0.1/ 0.2/ 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可. 【详解】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 故答案为：0.1；0.2 6． 1 1 【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可. 【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3． ； ； ； ． 得， 所以， 所以． 故答案为：1；1 7．(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据甲被录取按投球次数分类，独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解；. （2）由的可能取值，分别求出对应的概率即可得到分布列，公式法求期望与方差. 【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”.                                                                       则，， 设事件表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 . 8．(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）求出，，得到，同理得到，比较出大小. 【详解】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 3．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 6．（23-24高二下·天津河东·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．可能等于0.1 11．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知A，B两个袋子中有除了颜色外完全相同的黑球，白球若干.其中A袋子有2只黑球，1只白球，B袋子中有2只黑球，2只白球.现从A，B两袋中随机选一只球交换，则交换后A袋中黑球个数的数学期望为 . 13．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为 . 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023·河北·三模）某单位年会有这样一个抽奖活动：箱子里装有8个小球，除颜色外完全相同，其中4个黑球，4个白球．每次抽奖从这个箱子里随机摸出4个球，若摸出的白球不少于3个，则为一等奖，奖励1000元，若摸出的白球为2个，则为二等奖，奖励600元，若摸出的白球不多于1个，则为三等奖，奖励400元，每个人三次抽奖，且各次的结果相互独立 (1)若甲参加抽奖活动，求最后获得2000元的概率； (2)若甲参加抽奖活动，求最后获得奖金的期望． 16. (15分) （24-25高三上·广东佛山·阶段练习）随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星．某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图： (1)求5G手机的价格75%分位数； (2)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500~6500的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买两部，假定选择每部手机是等可能的，设这两人购买同一价位区间的手机的数量为X，求 17. (15分) （24-25高三上·北京·开学考试）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 18. (17分) （23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，一次从中摸出个球． (1)求“红球甲”没有被摸出的概率； (2)设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D D B B ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案. 【详解】， 所以. 故选：B. 2．D 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 3．A 【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3， ，， ，， 所以． 故选：A 4．C 【分析】设抽取的女生人数为，则可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】设抽取的女生人数为，则可能取值为0，1，2， ，， ， 所以. 故选：C 5．D 【分析】先求出，再求出，最后根据，求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：D. 6．D 【分析】利用离散型随机变量的分布列及期望、方差公式计算一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，解方程得，故A、B错误； 因为，所以，故C错误； 由条件可知， 所以，故D正确. 故选：D 7．B 【分析】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 8．B 【分析】根据题意可得求出，再利用方差公式可求得结果. 【详解】因为随机变量X的分布列为，，，， 所以，解得， 所以. 故选：B 9．ABD 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】利用分布列的性质，结合已知求出，利用方差的性质判断A；利用互斥事件的概率计算判断B；利用期望的性质计算判断C；举例说明判断D. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则， 解得或，C错误； 对于D，当时，，D正确. 故选：ABD 11．BCD 【分析】根据分布列的性质和期望公式可得和的值，再逐项判断即可. 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 12．/ 【分析】由交换后A袋中黑球个数可能的取值，求出对应的概率，利用公式计算数学期望. 【详解】设交换后A袋中黑球个数为X，则X可能的取值为1，2，3， 是A袋的黑球换了B袋的白球；是A，B两袋中同色球进行了交换；是A袋的白球换了B袋的黑球. 则，，， 所以. 故答案为： 13．/ 【分析】由题意可得的所有可能取值为2，4，6，利用独立事件同时发生的概率公式计算出取对应取值的概率，再由数学期望的运算公式即可求解. 【详解】依题意，的所有可能取值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛结束的概率为， 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 所以，，， 所以. 故答案为： 14．5 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 15．(1) (2) 【分析】（1）利用组合数和排列数公式及古典概型来求解，根据甲最后获得2000元，得出三次抽奖只能分别获得一､二､三等奖各一次，再根据顺序不一样进行求解； （2）先求出在一次抽奖活动中，甲获得奖金的期望值，再利用期望的性质计算． 【详解】（1）由题意可知，设获得一等奖为事件，设获得二等奖为事件，设获得三等奖为事件，那么甲获得一等奖的概率为， 甲获得二等奖的概率为， 甲获得三等奖的概率为， 若甲最后获得2000元，则三次抽奖只能分别获得一､二､三等奖各一次，所以甲最后获得2000元的概率为：． （2）在一次抽奖活动中，甲获得奖金的期望值为： ， 又因为甲有三次抽奖机会，所以甲最后获得奖金的期望为． 16．(1)元； (2)1 【分析】（1）先根据频率分布直方图各组频率之和为1求得，判断75%分位数所在的范围，根据其含义列式计算即得； （2）根据分层随机抽样的方式确定价位在4500~5500和5500~6500的手机数目，根据古典概型概率公式计算随机变量的可能值的概率值，即可算得数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得. 因5G手机的价格在百元的频率为， 而价格在百元的频率为， 故5G手机的价格75%分位数应该在元这一组，且75%分位数为元； （2）因购买价位在4500~5500和5500~6500的手机分别占的比率为和， 故按照分层随机抽样的方式在4500~5500这一价位选取了6部，在5500~6500这一价位选取了3部， 这两人购买同一价位的手机的数量的可能值有0、2. 则，， 的分布列为： 0 2 故. 17．(1) (2)分布列见解析，数学期望为48元. (3)1.5元 (4)新能源汽车花费更少. 【分析】（1）利用超几何分布概率计算； （2）根据题意求概率，列分布列，再计算数学期望； （3）分别确定各种可能的费用以及概率即可求解； （4）计算两种汽车的花费，比较大小即可求解. 【详解】（1）记事件品牌被选中，则. （2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时， 可能的取值有，则 分布列如下： 54 45 36 所以元. （3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为， 所以充电1千瓦时的平均费用为元. （4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元， 若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元， 结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少. 18．(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再由期望与方差公式计算可得. 【详解】（1）记红球甲没有被摸出为事件，则. （2）依题意，表示摸出的个球中的红球的个数，则的可能取值为、、， 则，，， 则的分布列为 所以， . 19．(1)分布列见解析，方差为180 (2)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【详解】（1）设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 学科网（北京）股份有限公司 $$