06条件概率与全概率公式-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

06条件概率与全概率公式（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：条件概率 3 考点二：全概率公式 7 【自学检测】 13 自学概念 1. 条件概率 (1)若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即P(B|A)＝. (2)一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (3)当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B). (4)由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称此式为概率的乘法公式. 2. 条件概率的性质 性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)若B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3. 全概率公式 (1)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)贝叶斯公式(选学)：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai＝＝，i＝1，2，…，n. 自学考点 考点一：条件概率 一、单选题 1．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C CD ABD ABC 1．A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 2．B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 3．C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 4．CD 【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项. 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 5．ABD 【分析】根据条件概率公式计算即可判断A，B，C，再结合概率性质判断D. 【详解】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D：，故不正确． 故选：ABD. 6．ABC 【分析】根据求出，即可判断A；由判断B，由条件概率公式判断C、D. 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 7． 【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可. 【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 8． 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 9． 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 考点二：全概率公式 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 5．（24-25高三上·四川眉山·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 6．（24-25高三上·辽宁·期中）为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（   ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C．第二次投篮的人是甲的概率为 D．设第次投篮的人是甲的概率为，则 三、填空题 7．（2025高三·全国·专题练习）某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 9．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B ACD ACD BCD 1．C 【分析】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 2．A 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 3．B 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 4．ACD 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 5．ACD 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件， ，，， ，故A正确； ， ，故事件与事件B不独立，故B错误，D正确； ，故C正确； 故选：ACD. 6．BCD 【分析】根据古典概型的概率公式可判断A选项，结合条件概率的公式可判断B选项，根据概率的加法公式及对立事件的概率公式可判断C和D选项. 【详解】掷两枚硬币向上的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有种情况， 记事件：向上的结果一正一反，记事件：向上的结果同正或同反，则，故选项A错误， 对于B选项，设事件：第一次投篮的人是甲，事件：第二次投篮的人是乙， 则,， 则，所以B选项正确， 对于C选项，第二次投篮的人是甲的概率为，所以C选项正确， 对于D选项，由已知，当时，，即，所以D选项正确； 故选：BCD. 7．0.3/ 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设“第天去餐厅就餐”，“第天去餐厅就餐”， 则对立且， 所以． 故答案为：0.3. 8．/ 【分析】根据条件概率和全概率公式的概率公式求解. 【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 由对称性，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是 求出，以及，利用全概率公式求解. 9．0.7/ 【分析】先由题意分别求出第一天入住无人酒店和第一天入住常规酒店后第二天还入住无人酒店的概率，再由全概率公式即可求解所求概率. 【详解】设第一天入住无人酒店为事件，第一天入住常规酒店为事件，第二天入住无人酒店为事件B， 则由题意可得， 所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为. 故答案为：0.7. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 4．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0.1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 8．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知事件互斥，且满足，则（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.4 D．0.75 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 11．（24-25高三上·江苏南通·期中）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 13．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 14．（24-25高三上·云南昆明·期中）若，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·江苏南京·阶段练习）南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. (1)求第一次选出的是女同学的概率； (2)求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 16. (15分) （23-24高二下·四川内江·期中）（1）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的五四文艺汇演活动.在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)选出了甲、乙两名同学参加一个抽奖活动，箱子里面放有25张奖票，其中5张有奖，甲乙依次不放回的从中摸出一张奖票，求乙中奖的概率. 17. (15分) （24-25高二下·全国·课后作业）“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有块月饼，其中有块是蛋黄月饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率． 18. (17分) （23-24高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 19. (17分) （24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B B D C D ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件甲中靶，事件乙中靶，事件弓箭靶被射中， 则 所以， ， 即， 故选：D. 2．C 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 3．C 【分析】转化，，根据充分性必要性的定义，以及条件概率公式，分析即得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 反之由能推出， 所以“”是“”的充分且必要条件. 故选：C 4．B 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 5．B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】记甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 则，，， 所以 . 故选：B 6．D 【分析】利用全概率公式直接求得结果. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 所以， 故选：D 7．C 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以， ， 所以. 故选：C 8．D 【分析】根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据题意，由全概率公式可得： ． 故选：D． 9．ABD 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出A正确；再利用和事件的概率公式结合A选项，即可判断BCD. 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 12． / 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，结合排列组合即可求解第二空. 【详解】从个人中任选人，全部情况有种， 恰好有两名男生的情况有， 故恰有名男生参加劳动学习的概率为， 有女生参加劳动学习的情况有种， 恰有一名女生参加劳动学习的情况有， 故在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为 故答案为：， 13． / / 【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可. 【详解】两次都摸到红球的概率为， 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出. 故答案为：； 14．/ 【分析】根据全概率公式以及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用概率的加法和乘法公式即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解. 【详解】（1）第一次选出的是女同学的概率. （2）第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 16．（1）；（2） 【分析】（1）利用条件概率计算可得答案； （2）分甲中奖乙也中奖或甲未中奖乙中奖两种情况计算可得答案. 【详解】（1）男生甲被选中，再选1人有6种方法， 男生甲女生乙被选中只有1种方法， 在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （2）若甲中奖则乙也中奖的概率为， 若甲未中奖则乙中奖的概率为， 则乙中奖的概率为. 17． 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【详解】记事件甲拿到蛋黄月饼，乙拿到蛋黄月饼，丙拿到蛋黄月饼． 由题意知：，则， ，，，， . 18．(1) (2)；；. 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 19． 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06条件概率与全概率公式（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：条件概率 3 考点二：全概率公式 4 【自学检测】 6 自学概念 1. 条件概率 (1)若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即P(B|A)＝. (2)一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (3)当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B). (4)由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称此式为概率的乘法公式. 2. 条件概率的性质 性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)若B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3. 全概率公式 (1)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)贝叶斯公式(选学)：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai＝＝，i＝1，2，…，n. 自学考点 考点一：条件概率 一、单选题 1．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 考点二：全概率公式 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 5．（24-25高三上·四川眉山·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 6．（24-25高三上·辽宁·期中）为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（   ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 C．第二次投篮的人是甲的概率为 D．设第次投篮的人是甲的概率为，则 三、填空题 7．（2025高三·全国·专题练习）某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 9．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 4．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0.1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 8．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知事件互斥，且满足，则（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.4 D．0.75 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 11．（24-25高三上·江苏南通·期中）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 13．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 14．（24-25高三上·云南昆明·期中）若，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·江苏南京·阶段练习）南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. (1)求第一次选出的是女同学的概率； (2)求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 16. (15分) （23-24高二下·四川内江·期中）（1）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的五四文艺汇演活动.在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)选出了甲、乙两名同学参加一个抽奖活动，箱子里面放有25张奖票，其中5张有奖，甲乙依次不放回的从中摸出一张奖票，求乙中奖的概率. 17. (15分) （24-25高二下·全国·课后作业）“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有块月饼，其中有块是蛋黄月饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率． 18. (17分) （23-24高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 19. (17分) （24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$