第11讲 概率-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第11讲 概率 课程标准 学习目标 1. 随机事件与可能性 2. 概率的概念 3. 用列举法求概率 4. 用频率估计概率 1.能够准确识别必然事件、不可能事件和随机事件。能对简单的随机事件发生的可能性大小作出定性判断; 2.理解概率的定义、能求简单事件的概率； 3.在具体情境中了解概率的意义,能够运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率,并阐明理由； 4.了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计 事件发生的概率. 知识点01 随机事件的意义及发生的可能性 一般地,随机事件发生的可能性是有 的,不同的随机事件发生的可能性的大小有 不同. 【即学即练1】 下列事件中，是随机事件的是（   ） A．一个三角形的外角和是 B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 C．负数大于正数 D．在标准大气压下，水加热到会沸腾 【即学即练2】 一个不透明的袋子中装有白球与黑球，现任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性小，则袋中白球数 黑球数（填“”“”或“”）． 知识点02 概率的意义 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的 ,称为随机事件A发生的 ,记为 P(A). 【即学即练1】 以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 知识点03 简单事件发生的概率 (1)一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,其中每一种结果发生的可能性 ,那么出现每一种结果的概率都是,如果事件A包含其中的m种可能的结果那么事件A发生的概率:P(A)=,其中m是事件A包含的可能 数,n表示一次试验所有可能 的结果数，0≤P(A)≤1. (2) 当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件时,P(A)=0. 【即学即练1】 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 知识点04 用列表法求概率 (1) 列举法求概率:在一次试验中,如果可能出现的结果只有 个,且各种结果出现的可能性都 ,我们可以通过列举 结果的方法,分析出随机事件的概率 (2)列表法求概率:当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目 时,为了不重不漏地列举所有可能的结果,通常采用列表法. 【即学即练1】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次摸出小球标号为3的概率为_____； (2)求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 知识点05 用画树状图法求概率 画树状图法:当一次试验涉及 更多的因素时,可采用画树状图法求概率. 说明:当涉及 因素时,可以用列表法,也可以用画树状图法求概率. 【即学即练1】 通常情况下，无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色，实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是盐酸（呈酸性）、白醋（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小颖同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则溶液恰好都变红色的概率为（   ） A． B． C． D． 知识点06 频率与概率的关系 频率和概率都是对随机事件可能性大小的定量刻画,但频率与试验次数及具体的 有关,因此,频率具有 ;而概率是刻画随机事件发生可能性 的数值,是一个固定的量,不具有随机性. 【即学即练1】 下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 知识点07 用频率估计概率 (1) 当试验所有的可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不 时,我们可以通过统计频率来估计概率. (2)当试验次数不断增大时,频率逐渐稳定于 附近. 【即学即练1】 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，由此可估计箱子中有 个黄色乒乓球． 题型01 事件的分类 【典例1】下列事件是随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个四边形，其内角和是 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．明天太阳从东方升起 【变式1】下列事件中，是随机事件的是（   ） A．四边形的内角和为 B．太阳从西边落下 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．一个数的绝对值为负数 【变式2】你认为，有一匹马奔跑的速度是70米/秒是 事件． 题型02 简单事件发生的可能性求解 【典例1】盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（    ）盒做的试验． A．B． C． D． 【变式1】一个袋子中装有红、蓝两种颜色的球，如果摸到红球的可能性是．那么符合情况的袋子是（    ） A．4红10蓝 B．8红12蓝 C．40红100蓝 D．3红2蓝 【变式2】盒子里装有5张数字卡片（卡片除了上面的数字不同外，其他完全一样），上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是，分子是 ，分母是 ． 【变式3】在一个正方体的六个面分别写上数字，正方体掷出后，5朝上的可能性是为 ，正方体有 面要写上5． 题型03 概率的意义理解 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B．天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D．对角线相等的四边形是矩形 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 B．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 C．早上的太阳从东方升起是必然事件 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 【变式2】连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】“水中捞月”这个事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 题型04 根据概率公式计算概率 【典例1】数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成8个学习小组，并采用随机抽签的方法确定一个小组来进行展示活动，则第4小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0，现背面向上，随机抽取一张卡片数字记为a，则能使二次函数的图象开口朝上的概率为（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率为 ． 通行路线示意图，一辆车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 ． 题型05 几何概率 【典例1】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为(   ) A． B． C． D． 【变式2】如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【变式3】如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 题型06 列举法求概率 【典例1】如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 【变式2】小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【变式3】李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 题型07 列表法或树状图法求概率 【典例1】2024年10月29日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛，九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个，为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） (1)小希转动一次A盘，指针指向的数字是偶数的概率是______． (2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由． 【变式1】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)“随机抽取一张，抽到语音类人工智能的卡片”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“人工智能机器人”的概率． 【变式2】某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全一样的小球，小球上分别印着“10元”“20元”“30元”的字样．规定顾客一次性消费满200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少． (1)小聪有1次摸球机会，求他摸中“30元”小球的概率； (2)小明有2次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的概率． 【变式3】一个不透明的袋子中装有红、黑两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为． (1)求袋子中黑球的个数； (2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 题型08 用频率估计概率的综合应用 【典例1】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【变式1】小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 【变式2】生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 【变式3】实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 一、单选题 1．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（   ） A． B． C． D． 2．口袋里装有大小、形状完全一样的5个红球和7个白球，则下列说法不正确的是（   ） A．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 B．从中随机摸出6个球，可能都是红球 C．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 D．从中随机摸出8个球，一定有红球 3．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（   ） A． B． C． D． 4．有五张正面分别写有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，抽取的牌为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为名学生 7．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 8．近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有3张正面印有航天飞行任务标识的卡片，它们除标识之外其他完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，两次抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（   ） A． B． C． D． 9．下列事件属于必然事件的是（   ） A．挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 二、填空题 11．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 12．在一次摸球活动中，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，据此估计摸到红球的概率为 ． 13．在一个不透明的盒子里有5个红球，3个黄球和若干个白球（这些球除颜色外无任何区别），通过若干次摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒子里白球的个数约为 ． 14．山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到图所示的统计图，由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为 ．（结果精确到0.1） 15．为了测试某种光刻机制作芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据： 累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验芯片数（单位：千块） 8 10 12 14 16 如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）： （结果保留整数）． 16．如图，分别以正方形的顶点A，D为圆心，边长为半径，在正方形内部作和，现随意在正方形中取点，则这个点取在阴影部分里的概率是 ． 17．现将背面完全相同，正面分别标有数的张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取两张，则两张卡片的数字均为奇数的概率为 ． 18．如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ． 三、解答题 19．2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题：                    七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！     这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ (1)此次抽样调查中，共调查了 名学生； (2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； (3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； (4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 20．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，3，5，5，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计较动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转出的数字为2的概率是__________； (2)转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 21．某年级在一班和二班进行了知识竞赛的预赛，两个班参加预赛的人数相同，成绩为、、、四个等级，其等级对应的分数分别为100分，90分，80分，70分，将这两个班学生的等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩条形统计图 二班预赛成绩扇形统计图 (1)这次预赛中，二班成绩在等级的人数是多少？ (2)已知一班成绩等级的3人中有2名男生和1名女生，二班成绩等级的都是女生，年级要从这些等级的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中都是男生的概率（用列表或树状图分析）． 22．福州市有三坊七巷（），鼓山（），烟台山（），小明和小红打算利用寒假去这三处景点旅游，用列表法或树状图法求小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率． 23．现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求： (1)两面涂有红色的小正方体的个数； (2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； (3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 概率 课程标准 学习目标 1. 随机事件与可能性 2. 概率的概念 3. 用列举法求概率 4. 用频率估计概率 1.能够准确识别必然事件、不可能事件和随机事件。能对简单的随机事件发生的可能性大小作出定性判断; 2.理解概率的定义、能求简单事件的概率； 3.在具体情境中了解概率的意义,能够运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率,并阐明理由； 4.了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计 事件发生的概率. 知识点01 随机事件的意义及发生的可能性 一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 【即学即练1】 下列事件中，是随机事件的是（   ） A．一个三角形的外角和是 B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 C．负数大于正数 D．在标准大气压下，水加热到会沸腾 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，据此即可求解，掌握随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、一个三角形的外角和是，是必然事件，不合题意； 、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为，是随机事件，符合题意； 、负数大于正数，是不可能事件，不合题意； 、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，不合题意； 故选：． 【即学即练2】 一个不透明的袋子中装有白球与黑球，现任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性小，则袋中白球数 黑球数（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性小，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性小， ∴袋中白球数黑球数． 故答案为：． 知识点02 概率的意义 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为 P(A).【即学即练1】 以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义、平行四边形的性质，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，选项A说法错误，不符合题意； B、由于路口交通信号灯不确定，故经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率不一定为，选项B说法错误，不符合题意； C、∵任意平行四边形是中心对称图形， ∴“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项C说法正确，符合题意； D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D错误，不符合题意． 知识点03 简单事件发生的概率 (1)一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,其中每一种结果发生的可能性相等,那么出现每一种结果的概率都是,如果事件A包含其中的m种可能的结果那么事件A发生的概率:P(A)=,其中m是事件A包含的可能结果数,n表示一次试验所有可能出现的结果数，0≤P(A)≤1. (2) 当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件时,P(A)=0. 【即学即练1】 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题侧重考查几何概率，根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形；设出图中两个小三角形面积分别为，根据平行线的性质可得；接下来根据概率的计算公式可求白色部分的面积占平行四边形面积的比，即可求飞镖落在白色区域的概率． 【详解】解：根据平行线的性质可得， 根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 所以飞镖落在阴影区域的概率为：； 故选：C． 知识点04 用列表法求概率 (1) 列举法求概率:在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性都相等,我们可以通过列举试验结果的方法,分析出随机事件的概率 (2)列表法求概率:当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列举所有可能的结果,通常采用列表法. 【即学即练1】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次摸出小球标号为3的概率为_____； (2)求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用直接列举法求概率即可解题； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为4的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：随机摸出一个小球有种等可能结果，摸到3号小球的可能性有种， ∴摸到1号小球的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有 ,共3种， 所有两次摸出的小球标号不相同的概率为； 知识点05 用画树状图法求概率 画树状图法:当一次试验涉及三个或更多的因素时,可采用画树状图法求概率. 说明:当涉及两个因素时,可以用列表法,也可以用画树状图法求概率. 【即学即练1】 通常情况下，无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色，实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是盐酸（呈酸性）、白醋（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小颖同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则溶液恰好都变红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：用a，b，c，d分别表示盐酸、白醋、氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液， 根据题意，画出树状图如下：    由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两瓶溶液均变红色的结果有种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故选：A． 知识点06 频率与概率的关系 频率和概率都是对随机事件可能性大小的定量刻画,但频率与试验次数及具体的试验有关,因此,频率具有随机性;而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值,是一个固定的量,不具有随机性. 【即学即练1】 下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． 知识点07 用频率估计概率 (1) 当试验所有的可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,我们可以通过统计频率来估计概率. (2)当试验次数不断增大时,频率逐渐稳定于概率附近. 【即学即练1】 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，由此可估计箱子中有 个黄色乒乓球． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是要计算出口袋中白色乒乓球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到白色乒乓球的概率，再设黄色乒乓球个数为个，根据白色乒乓球的概率列分式方程即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到白色乒乓球， 估计摸到白色乒乓球的概率为， 设黄色乒乓球个数为个， ， 解得：， 经检验是方程的解， 估计箱子中有个黄色乒乓球． 故答案为：． 题型01 事件的分类 【典例1】下列事件是随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个四边形，其内角和是 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．明天太阳从东方升起 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，根据生活常识及四边形内角和即可判断答案，解决本题需要熟记事件分为必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟记事件分类及相关定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不符合题意； B、由四边形内角和为，则任意画一个四边形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意； D、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列事件中，是随机事件的是（   ） A．四边形的内角和为 B．太阳从西边落下 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．一个数的绝对值为负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟记定义是解题关键．根据四边形的内角和、绝对值的性质、随机事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、四边形的内角和为，是必然事件，则此项不符合题意； B、太阳从西边落下，是必然事件，则此项不符合题意； C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，则此项符合题意； D、一个数的绝对值为负数，是不可能事件，则此项不符合题意； 故选：C． 【变式2】你认为，有一匹马奔跑的速度是70米/秒是 事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件，随机事件，不可能事件的概念进行判断，即可解题． 【详解】解：一匹马奔跑的速度是70米/秒是不可能事件． 故答案为：不可能． 题型02 简单事件发生的可能性求解 【典例1】盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（    ）盒做的试验． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的概率，根据表格可知红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上可知，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上，故四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式1】一个袋子中装有红、蓝两种颜色的球，如果摸到红球的可能性是．那么符合情况的袋子是（    ） A．4红10蓝 B．8红12蓝 C．40红100蓝 D．3红2蓝 【答案】B 【分析】此题主要考查概率的认识，用百分数表示概率．袋子中装有红、蓝两种颜色的球，要使摸到红球的可能性是，就得是红球个数除以红、蓝球的总个数得，计算选择即可． 【详解】解：A、摸到红球的可能性是； B、摸到红球的可能性是； C、摸到红球的可能性是； D、摸到红球的可能性是； 故选：B． 【变式2】盒子里装有5张数字卡片（卡片除了上面的数字不同外，其他完全一样），上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是，分子是 ，分母是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用写有奇数的卡片数量除以卡片总数即可得到答案． 【详解】解：因为一共有5张卡片，其中写有奇数的卡片有3张，且每张卡片被摸出的概率相同， 所以从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是， 故答案为：3；5． 【变式3】在一个正方体的六个面分别写上数字，正方体掷出后，5朝上的可能性是为 ，正方体有 面要写上5． 【答案】3 【分析】本题考查事件发生可能性求解，首先根据题意明确5的个数占总字的总数的分率是完成本题的关键． “5”朝上的可能性为，即5的个数占所有字数的，由于正方体的六个面上分别写上数字，可写6个数字，根据分数乘法的意义，列式计算即可． 【详解】解：， 答：正方体有 3个面要写上“5”． 故答案为：3． 题型03 概率的意义理解 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B．天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】此题主要考查了事件的分类，概率的定义，方差的意义，矩形的判定等知识点，直接利用相关概念分别分析得出答案． 【详解】解：A、“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是随机事件，故此选项错误； B、天气预报“明天降水概率”，是指明天的可能性会下雨，故此选项错误； C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，方差越小越稳定，则甲的成绩更稳定，故此选项正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 B．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 C．早上的太阳从东方升起是必然事件 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 【答案】C 【分析】本题考查概率、普查、事件及方差等知识，根据概率的内涵、随机调查分类、事件分类及方差作决策等逐项验证即可得到答案，熟记概率的内涵、随机调查分类、事件分类及方差的意义是解决问题的关键． 【详解】解：A、明天降水的概率是50%，表示明天降雨可能性的大小，选项说法错误，不符合题意； B、了解全国中学生的节水意识涉及调查群体数量较大，应选用抽查方式，选项说法错误，不符合题意； C、早上的太阳从东方升起是一定发生的事情，属于必然事件，选项说法正确，符合题意； D、甲、乙两组数据的平均数相同，，，根据，由方差大的数据波动较大，甲组数据较稳定，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式，根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：掷一枚硬币会出现正面朝上和反面朝上两种等可能的情况， 第100次出现正面向上的概率为． 故选：B． 【变式3】“水中捞月”这个事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，“水中捞月”是不可能事件，据此即可求解，理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：“水中捞月”是不可能事件， ∴“水中捞月”这个事件发生的概率是， 故选：． 题型04 根据概率公式计算概率 【典例1】数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成8个学习小组，并采用随机抽签的方法确定一个小组来进行展示活动，则第4小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【详解】解：随机抽取一个小组，共有8种等可能结果，抽到第4个小组的有1种结果， ∴概率为， 故选：B． 【变式1】若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0，现背面向上，随机抽取一张卡片数字记为a，则能使二次函数的图象开口朝上的概率为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式，二次函数的性质．由二次函数图象开口朝上，进而可以求出a的取值范围，然后由概率公式进行计算可以得解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口朝上， ∴， ∴，4时，二次函数的图象开口朝上， ∴满足题意的概率为：． 故选：C． 【变式2】从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一步概率问题，涉及简单概率公式，根据题意，得到从“”中随机抽取一个字母的所有等可能情况及抽中字母“”的情况，代入简单概率公式计算即可得到答案，读懂题意，分析出各种等可能的结果是解决问题的关键． 【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，有种等可能的结果， 其中抽中字母“”的情况有种， （抽中字母“”）， 故答案为：． 【变式3】如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了概率，得出所给的图形的可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，汽车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点F驶出的概率为． 故答案为：． 题型05 几何概率 【典例1】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为r，则， ∴， ∴，解得：， ∴的面积为，内切圆的面积为， ∴小鸟落在花圃上的概率为． 故选A． 【变式1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设则圆的直径为求出小正方形的边长，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：设则圆的直径为阴影部分正方形的对角线长为， 则小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为 故选：C． 【变式2】如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】/0.390625 【分析】本题考查几何概率，掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题关键．根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为． ∵正方形网格总面积为， ∴针尖落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【变式3】如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，弄清黑色区域的面积与图形总面积间的关系是解题的关键．根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积，根据及几何概率的求解方法解答即可． 【详解】解：根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积， 所以该小球停留在黑色区域的概率； 故答案为：． 题型06 列举法求概率 【典例1】如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故选：B． 【变式1】将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率事件的求解，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键． 先列举出所有可能的情况数，再找出其中是偶数的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用1，5，8三个数字排成一个三位数，有：158，185，518，581，815，851共6种情况， 其中是偶数的有：158与518两种情况， ∴（排出的数是偶数）． 故答案为：． 【变式2】小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 【变式3】李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，一元二次方程根的判别式． （1）画出树状图，然后写出所有的可能取值即可得解； （2）利用根的判别式求出、的关系式，然后进行验证找出适合的，再根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能情况为：，，，，，，，，，，，． （2）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理可得：， ∴适合的有，，共个， 所以，． 题型07 列表法或树状图法求概率 【典例1】2024年10月29日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛，九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个，为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） (1)小希转动一次A盘，指针指向的数字是偶数的概率是______． (2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小希转动一次A盘，指针指向的数字是偶数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： A盘B盘 1 2 4 5 2 0 2 3 3 1 2 4 0 1 ∴共有12种可能结果，其中结果为负的有5种，结果为正的有5种， ∴小希获胜的概率为，小辰获胜的概率为， ∵， ∴游戏公平． 【变式1】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)“随机抽取一张，抽到语音类人工智能的卡片”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“人工智能机器人”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据必然事件和随机事件的定义求解即可； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：“随机抽取一张，抽到语音类人工智能的卡片”是随机事件， 故答案为：随机． （2）解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“人工智能机器人”的有2种， ∴P（抽取到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“人工智能机器人”）． 【变式2】某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全一样的小球，小球上分别印着“10元”“20元”“30元”的字样．规定顾客一次性消费满200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少． (1)小聪有1次摸球机会，求他摸中“30元”小球的概率； (2)小明有2次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的概率． 【答案】(1)他摸中“30元”小球的概率为； (2)． 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件． （1）利用概率公式求解即可求得答案； （2）列举出所有情况，用让他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】（1）解：他摸中“30元”小球的概率为； （2）解：画树状图如下： 两次摸奖结果共有9种情况，其中两次奖品价格之和超过30元的有6种情况，故所求概率为． 【变式3】一个不透明的袋子中装有红、黑两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为． (1)求袋子中黑球的个数； (2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【答案】(1)袋子中黑球有2个 (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：设袋子中黑球有个，则红球有个 根据题意得：， 解得：， 袋子中黑球有2个． （2）解：画树状图得：    ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， 两次都摸到相同颜色的小球的概率为：． 题型08 用频率估计概率的综合应用 【典例1】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【答案】A 【分析】主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键，设红球有x个，利用红球个数÷总数，进而得出答案； 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 故选：A． 【变式1】小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率以及运用概率公式求概率，掌握利用频率估计概率的方法成为解答本题的关键． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A．一枚骰子有1点到6点，出现4点的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； B．整数中每三个数就有一个能被 3 整除，所以概率是，符合统计图．符合统计图，故该选项符合题意； C．一枚硬币共有两面，出现反面的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； D． 一副扑克牌共有54张，任取一张，取到“大王”的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 【变式3】实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了频率估计概率及其综合应用，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是． 故答案为：． （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 一、单选题 1．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用列表法求等可能事件的概率，利用列表法列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】用树状图表示所有可能出现的结果有： 能让两灯泡同时发光 不能让两灯泡同时发光 能让两灯泡同时发光 不能让两灯泡同时发光 不能让两灯泡同时发光 不能让两灯泡同时发光 由图可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种， ∴能让两灯泡同时发光的概率为， 故选：B． 2．口袋里装有大小、形状完全一样的5个红球和7个白球，则下列说法不正确的是（   ） A．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 B．从中随机摸出6个球，可能都是红球 C．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 D．从中随机摸出8个球，一定有红球 【答案】B 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】解：A、从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大，说法正确，故A不符合题意； B、从中随机摸出6个球，可能都是红球，说法错误，故B符合题意； C、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，说法正确，故C不符合题意； D、从中随机摸出8个球，至少摸到1个红球，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 3．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 4．有五张正面分别写有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，抽取的牌为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率公式是解题关键．利用概率公式计算即可． 【详解】解：随机抽取一张共有5种等可能的情况，其中抽取的牌为偶数的情况有2，4两种， ∴． 故选B． 5．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：B． 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为名学生 【答案】A 【分析】此题考查了普查和抽样调查、样本的容量，事件的分类、中位数，根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A. 一组数据，，，，，，，的众数是4，则， 从小到大排列为：，，，，，，，这组数据的中位数是，故该选项正确，符合题意； B. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故该选项不正确，不符合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； D. 某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 7．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为． 故选：B． 8．近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有3张正面印有航天飞行任务标识的卡片，它们除标识之外其他完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，两次抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为， 故选：A． 9．下列事件属于必然事件的是（   ） A．挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 二、填空题 11．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握概率公式，分式的计算是解题的关键． 根据题意，设红球有个，则共有个球，根据概率公式，列分式方程求解即可． 【详解】解：设红球有个，则共有个球， ∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴红球有个， 故答案为： ． 12．在一次摸球活动中，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，据此估计摸到红球的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，摸到红球的频率在附近摆动，用频率估计概率即可知道摸到红球的概率． 【详解】解：进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动， 用频率估计概率可知：摸到红球的概率为． 故答案为：． 13．在一个不透明的盒子里有5个红球，3个黄球和若干个白球（这些球除颜色外无任何区别），通过若干次摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒子里白球的个数约为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，设盒子里白球的个数为x，根据题意可得： ， 解得：， 答：盒子中白球的个数约为2个， 故答案为：2． 14．山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到图所示的统计图，由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，深刻理解频率与概率的内在联系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，这种树苗成活的频率在上下波动，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在， 其成活的概率估计值约为， 故答案为：． 15．为了测试某种光刻机制作芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据： 累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验芯片数（单位：千块） 8 10 12 14 16 如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）： （结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中数据算出每次实验的成功率，得出成功的概率，利用需要不良电路图案数量16块除以概率即可求解． 【详解】解：从表格信息可得，当实验数据越大时，每增加块试验芯片可得2块不良电路图案， ∴成功获得不良电路图案的概率为， 该团队共需要30块不良电路图案，已经成功14块， 还差16块，有（块）（千块）， 故答案为：16． 16．如图，分别以正方形的顶点A，D为圆心，边长为半径，在正方形内部作和，现随意在正方形中取点，则这个点取在阴影部分里的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积，概率等知识点，如图，令与交于点，连接、，阴影部分的面积是扇形的面积与弓形的面积之和，由题目中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积，然后由概率的计算方法即可作答，熟练掌握扇形面积和概率的知识是解决此题的关键． 【详解】解：如图，令与交于点，连接、，过点作交于点F， 设正方形的边长为，则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴图中阴影部分的面积是:， ∴这个点取在阴影部分里的概率是：， 故答案为：． 17．现将背面完全相同，正面分别标有数的张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取两张，则两张卡片的数字均为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片的数字均为奇数的有种结果， ∴两张卡片的数字均为奇数的概率为， 故答案为：． 18．如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法， 根据题意，设，可得等边的面积，根据黄金分割点可得，，可证，可得，根据图形面积可得，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，设， 如图所示，过点作于点， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵点分别是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 如图所示，过点作于点， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题：                    七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！     这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ (1)此次抽样调查中，共调查了 名学生； (2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； (3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； (4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 【答案】(1)300 (2)，图见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用列表或画树状图的方法求概率等知识点，正确理解题意，从统计图中获取需要数据是解题的关键． （1）用最关心问题D的人数除以其所占百分比即可解答； （2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，然后补全条形统计图，再用其所占的比例乘以即可； （3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可； （4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再利用概率公式解即可． 【详解】（1）解：（人）； 故答案为：300． （2）解：最关心问题D的人数为：（人） 补全条形统计图如图所示； 学生最关心“课余生活”的圆心角度数为， 故答案为：126． （3）解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少． （4）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 戊 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） （戊，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） （戊，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） （戊，丙） 丁 （甲，丁） （乙、丁） （丙、丁） （戊，丁） 戊 （甲，戊） （乙，戊） （丙，戊） （丁，戊） 由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种． 所以恰好选中甲，乙两人的概率． 20．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，3，5，5，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计较动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转出的数字为2的概率是__________； (2)转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法和树状图法求概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键． （1）利用概率公式求解即可； （2）用树状图法得出所有可能的结果，再从中找到和为5的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）∵一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，3，5，5， ∴转动转盘一次，转出的数字为2的概率是； （2）画树状图如下： ∴所有可能的结果共12种，其中数字之和是5的倍数的有4种， ∴这两次转出的数字之和是5的倍数的概率为． 21．某年级在一班和二班进行了知识竞赛的预赛，两个班参加预赛的人数相同，成绩为、、、四个等级，其等级对应的分数分别为100分，90分，80分，70分，将这两个班学生的等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩条形统计图 二班预赛成绩扇形统计图 (1)这次预赛中，二班成绩在等级的人数是多少？ (2)已知一班成绩等级的3人中有2名男生和1名女生，二班成绩等级的都是女生，年级要从这些等级的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中都是男生的概率（用列表或树状图分析）． 【答案】(1)二班成绩在等级的人数是人； (2)抽取的2人中都是男生的概率为． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用列表法或树状图法求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意条形统计图求出二班参加竞赛的人数，再乘等级所占的百分比即可求解； （2）由题意画出树状图，表示出所有等可能的情况，再找出抽取的人中都是男生的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由条形图可知，一班参加竞赛的人数为：（人）， ∵两个班参加预赛的人数相同， ∴二班参加竞赛的人数为人， ∴二班成绩在等级的人数是：（人）； （2）解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有种等可能情况，其中，抽取的人中都是男生的结果有种， ∴抽取的2人中都是男生的概率为：． 22．福州市有三坊七巷（），鼓山（），烟台山（），小明和小红打算利用寒假去这三处景点旅游，用列表法或树状图法求小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下：三坊七巷（），鼓山（），烟台山（）， 小红小明 由表知，共有种等可能结果，其中小明和小红都选择到同一个景点旅游的有3种结果， 所以小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率为． 23．现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求： (1)两面涂有红色的小正方体的个数； (2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； (3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 【答案】(1)96 (2) (3) 【分析】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）一条棱上有去掉左右两个，共12条棱，即可求解； （2）无色的小正方体的个数为；除以所有正方体的个数即可； （3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可． 【详解】（1）解：一条棱上有去掉左右两个，因为这两个会出现三面涂有红色，共计12条棱， ∴块； （2）解：共有符合条件的小正方体个，而总的小正方体为个 ∴； （3）解：每个面有个，6个面有． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$