第10讲 投影与视图-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第10讲 投影与视图 课程标准 学习目标 1. 平行投影和中心投影 2. 三视图 1.了解投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影的概念; 2.能够理解直棱柱、圆锥的形状及特点,.能够求出直棱柱、圆锥侧面展开图的面积 3.理解三视图中主视图、左视图、俯视图的概念,并掌握简单立体图形的三视图的画法, 知识点01 平行投影 投影:光线照射物体,会在平面(如地面、墙壁)上留下它的影子,把物体映成它的影子叫作投影，物体在投影下的像简称为物体的投影. 投影线:照射的光线. 投影面: 所在的平面. 平行投影:由平行光线形成的投影.若投影线与投影面互相 ,就称为正投影. 平行投影的特点: (1)平行投影中,同一时刻的光线是平行的. (2)平行投影的物高与影长对应成比例. (3)连接物体顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体顶端作已知光线的平行线得到影子的位置. 【即学即练1】 下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 知识点02 中心投影 中心投影:光线从 发出的投影. 【即学即练1】 下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是（   ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．月亮 知识点03 直棱柱的侧面展开图 (1)直棱柱的特征 ①有两个面互相 , 称它们为底面; ②其余各面均为 ,称它们为侧面; ③侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面. (2)直棱柱的分类:根据直棱柱底面图形的边数,分为直三棱柱、直四棱柱、直五牲等.长方体和正方体都是直四桂,底面是 的直棱柱叫作正棱柱， (3) 直棱柱的侧面展开图:直棱柱的侧面展开图是一个矩形,这个矩形的长是 的底面周长,宽是直棱柱的侧棱长(高). 【即学即练1】 “堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A．B． C． D． 知识点04 圆锥的侧面展开图 (1) 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,它的底面是一个圆,连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高,圆锥顶点与底面圆上任意一点的 都叫作圆锥的母线. (2)圆锥的侧面展开图是一个 ,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面圆的周长. 【即学即练1】 如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 知识点05 几何体的三视图 1.理解三视图的有关概念 (1) 主视图:从前往后看得到的正投影； (2) 左视图:从左往右看得到的正投影； (3) 俯视图:从上往下看得到的正投影; (4) 三视图:主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”. 2.掌握三视图的画法 (1) 三视图的位置:在画三视图时,俯视图在主视图的 , 左视图的右边, (2) 三视图中各视图的大小关系:主视图与俯视图的长 ,主视图与左视图的高 ,左视图与俯视图的宽 . 注意：在画几何体的三视困时，般本着主视图在左上方、左视图在右上方俯视图在左下方与主视图对齐的原则,即(主、俯视图)长对正。(主、左视图)高平齐(左、俯视图)宽相等. 【即学即练1】 下列四个几何体中，左视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 知识点06 由三视图判断几何体 方法:先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,同时考虑物体的形状,然后根据各个视图的 ,综合起来考虑 图形. 步骤: (1) 观察三视图,看其可分解为哪些简单几何体的三视图; (2) 想象出各简单几何体; (3) 根据三视图反映的位置关系组合简单儿何体,得到想象的立体图形; (4)对想象出的物体作三视图检验正误,尤其要注意虚线与实线的区别. 【即学即练1】 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 题型01 平行投影、中心投影的概念 【典例1】数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，若路灯的底部距人m米，则下列说法正确的是（   ） A．若m变小，则人的影长变长 B．若m变小，则人的影长变短 C．若m变大，则人的影长变短 D．若m变大，则人的影长不变 【变式3】有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 题型02 由展开图计算几何体的表面积、体积 【典例1】有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【变式1】一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【变式5】如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 题型03 求展开图上两点折叠后的距离 【典例1】图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则图中正方形顶点，在围成的正方体中的距离是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式1】如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【变式3】如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）cm． A． B． C． D． 题型04 圆锥的有关计算 【典例1】圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】有一个圆锥，其母线长是，底面圆的直径是，点为底面圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点开始绕圆锥侧面一圈后又回到点，则这条线最短为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 题型05 判断几何体的三视图 【典例1】如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式2】古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（   ） A．B． C． D． 【变式3】下列图形的三视图中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（   ） A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体 题型06 由三视图还原几何体 【典例1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．正方体 D．圆锥 【变式1】一个手提水果篮的抽象几何体从正面看和从上面看到的形状图如图所示，则这个水果篮的抽象几何体是（　　） A． B． C． D． 【变式2】观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（   ） A．三棱锥 B．长方体 C．三棱柱 D．不能确定 【变式3】如图是一个立体图形的主视图，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 题型07 视图的有关计算 【典例1】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【变式1】一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【变式2】如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【变式3】如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【变式5】某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【变式6】如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（    ） A．8 B．4 C． D． 一、单选题 1．下面是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数，则m的值为（  ） A．3 B．－4 C．－6 D．2 3．将如图的正方体展开后，不可能是（   ） A． B． C． D． 4．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 5．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图所示是它的主视图和左视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．一个正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在正方体中，与“昌”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．建 B．设 C．美 D．好 8．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 10．动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 二、填空题 11．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 12．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是 ． 13．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 14．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为倒数，则的值为 ． 15．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 16．在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 17．如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 18．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为 ． 三、解答题 19．如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)____________，____________，____________； (2)求的值． 20．如图所示的是一个正方体的表面展开图，相对的两个面上的数字互为相反数，分别求出字母x，y，A的值． 21．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 22．如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有____________条棱，有____________个面，有____________个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是____________（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和． 23．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 投影与视图 课程标准 学习目标 1. 平行投影和中心投影 2. 三视图 1.了解投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影的概念; 2.能够理解直棱柱、圆锥的形状及特点,.能够求出直棱柱、圆锥侧面展开图的面积 3.理解三视图中主视图、左视图、俯视图的概念,并掌握简单立体图形的三视图的画法, 知识点01 平行投影 投影:光线照射物体,会在平面(如地面、墙壁)上留下它的影子,把物体映成它的影子叫作投影，物体在投影下的像简称为物体的投影. 投影线:照射的光线. 投影面:投影所在的平面. 平行投影:由平行光线形成的投影.若投影线与投影面互相垂直,就称为正投影. 平行投影的特点: (1)平行投影中,同一时刻的光线是平行的. (2)平行投影的物高与影长对应成比例. (3)连接物体顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体顶端作已知光线的平行线得到影子的位置. 【即学即练1】 下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影；根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 皮影戏中的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； C. 台灯下的笔筒的影子为中心投影，故此选项不合题意；     D. 汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； 故选：B． 知识点02 中心投影 中心投影:光线从一点发出的投影. 【即学即练1】 下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是（   ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．月亮 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影的知识，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 找到不是灯光的光源即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 故选：D． 知识点03 直棱柱的侧面展开图 (1)直棱柱的特征 ①有两个面互相平行,称它们为底面; ②其余各面均为矩形,称它们为侧面; ③侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面. (2)直棱柱的分类:根据直棱柱底面图形的边数,分为直三棱柱、直四棱柱、直五牲等.长方体和正方体都是直四桂,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱， (3) 直棱柱的侧面展开图:直棱柱的侧面展开图是一个矩形,这个矩形的长是直棱柱的底面周长,宽是直棱柱的侧棱长(高). 【即学即练1】 “堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了棱柱的侧面展开图．根据直三棱柱的侧面展开图形状进行解答即可． 【详解】 解：根据题意可得，“堑堵”的侧面展开图是， 故选：B 知识点04 圆锥的侧面展开图 (1) 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,它的底面是一个圆,连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高,圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线. (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面圆的周长. 【即学即练1】 如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【详解】解：圆锥底面周长， ∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为圆锥底面周长． 故选:． 知识点05 几何体的三视图 1.理解三视图的有关概念 (1) 主视图:从前往后看得到的正投影； (2) 左视图:从左往右看得到的正投影； (3) 俯视图:从上往下看得到的正投影; (4) 三视图:主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”. 2.掌握三视图的画法 (1) 三视图的位置:在画三视图时,俯视图在主视图的下边,左视图的右边, (2) 三视图中各视图的大小关系:主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等. 注意：在画几何体的三视困时，般本着主视图在左上方、左视图在右上方俯视图在左下方与主视图对齐的原则,即(主、俯视图)长对正。(主、左视图)高平齐(左、俯视图)宽相等. 【即学即练1】 下列四个几何体中，左视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图，熟练掌握分析三视图的方法是解题的关键，错因分析较容易题．失分原因是不会判断常见几何体的三视图．根据三视图的法则可得出答案． 【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图， A．的左视图是长方形， B．的左视图是等腰梯形， C．的左视图是等腰三角形， D．的左视图是圆， ∴符合题意的选项是D项． 故选：D． 知识点06 由三视图判断几何体 方法:先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,同时考虑物体的形状,然后根据各个视图的关系,综合起来考虑整体图形. 步骤: (1) 观察三视图,看其可分解为哪些简单几何体的三视图; (2) 想象出各简单几何体; (3) 根据三视图反映的位置关系组合简单儿何体,得到想象的立体图形; (4)对想象出的物体作三视图检验正误,尤其要注意虚线与实线的区别. 【即学即练1】 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据有两个视图是长方形，一个视图是圆，可知该几何体是圆柱． 【详解】解：主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，则该几何体是一个圆柱， 故选：C． 题型01 平行投影、中心投影的概念 【典例1】数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 先根据题意画出图形，再求出，然后根据物高与影长的比相等求出，最后根据得出答案． 【详解】如图所示，根据题意可知，， 根据物高与影长的比相等，得， 解得， ∴． 所以树高为4米． 故选：C． 【变式1】下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 光线所形成的投影称为平行投影，中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得， 选项A，B，D是中心投影，选项C是平行投影 ∴在地面上形成的投影与其它三项不同的是C． 故选：C． 【变式2】如图，若路灯的底部距人m米，则下列说法正确的是（   ） A．若m变小，则人的影长变长 B．若m变小，则人的影长变短 C．若m变大，则人的影长变短 D．若m变大，则人的影长不变 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影的特点和规律．由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 【详解】解：．若m变小，则人的影长变短，原说法错误，故该选项不符合题意； ．若m变小，则人的影长变短 ，原说法正确，故该选项符合题意； ．若m变大，则人的影长变长，原说法错误，故该选项不符合题意； ．若m变大，则人的影长变长，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影． 故选：D． 题型02 由展开图计算几何体的表面积、体积 【典例1】有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 【变式1】一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的意义及应用． 根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，那么，据此解答． 【详解】解：∵圆柱的底面圆的周长为：，圆柱的侧面展开正好是一个正方形， ∴圆柱的底面圆的周长=圆柱的高， 这个圆柱的底面直径与高的比是． 故选：A． 【变式2】棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键． 【详解】解：棱长是的正方体的表面积是， 故选C 【变式3】我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 【变式4】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【变式5】如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 题型03 求展开图上两点折叠后的距离 【典例1】图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则图中正方形顶点，在围成的正方体中的距离是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、展开图折叠成几何体、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由正方形的性质和勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得：， 由勾股定理得：； 故选：C． 【变式1】如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，得出正确的展开图是解题的关键． 先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵矩形的长为6、宽为3， ∴． 故选B． 【变式2】如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答． 将长方体纸箱按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中AB的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程． 【详解】解：如图（1）所示：，    如图（2）所示：， 最短路径为． 故选B． 【变式3】如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短，． 故选：A． 题型04 圆锥的有关计算 【典例1】圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图和弧长公式．设这个圆锥侧面展开图的圆心角为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长和圆锥的底面周长相等列式计算即可． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得，， 解得， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为， 故选：A 【变式1】若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则， 解得：． 故选：C． 【变式2】有一个圆锥，其母线长是，底面圆的直径是，点为底面圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点开始绕圆锥侧面一圈后又回到点，则这条线最短为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆锥平面展开图的最短路径问题，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图最短， 由题意可知：， ， 解得：， ， ， 故选：B． 【变式3】已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵底面半径是，母线长为， ∴， ∴侧面扇形圆心角为：， ∴， ∵为母线中点， ∴， 由两点间线段距离最短得， ， 故选：B． 题型05 判断几何体的三视图 【典例1】如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面可看，可得如下图形： ． 故选：D． 【变式1】如图，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查简单组合体的俯视图，根据俯视图的概念得出从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为 故选：C． 【变式2】古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】 解：根据俯视图的意义，得． 故选：C． 【变式3】下列图形的三视图中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（   ） A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【分析】本题主要考查简单的几何体的三视图，根据三视图的概念分别判断各个选项的三视图，再作出判断即可． 【详解】解：A．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意； B．球的三视图都是圆，故符合题意； C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意； D．长方体的三视图都是长方形，当长方形的长和宽不相同，故不符合题意； 故选：B． 题型06 由三视图还原几何体 【典例1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．正方体 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体， 由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱， 故选：A． 【变式1】一个手提水果篮的抽象几何体从正面看和从上面看到的形状图如图所示，则这个水果篮的抽象几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据几何体三视图判断几何体形状．根据题意利用几何体主视图和俯视图即可得到本题答案． 【详解】解：∵从正面看即主视图，上边是一个拱形，下边是一个矩形， ∵从上面看即俯视图是一个圆形， ∴几何体是D图形， 故选：D． 【变式2】观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（   ） A．三棱锥 B．长方体 C．三棱柱 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：根据三视图可知，该物体的名称为三棱柱， 故选C． 【变式3】如图是一个立体图形的主视图，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得，选项B的主视图是： ， 故选：B． 题型07 视图的有关计算 【典例1】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 【变式1】一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 【变式2】如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是． 故选：C． 【变式3】如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：有这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 【变式4】如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体表面积．掌握立体图形的三视图是解题的关键．由立体图形可知，上表面共有8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解． 【详解】解：图中每一个正方形面积， ， 故选：D． 【变式5】某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 【变式6】如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形， ∴面积为； 故选A． 一、单选题 1．下面是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，利用正方体及其表面展开图的特点解题．只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解题的关键．根据正方体的展开图特征进行解答即可． 【详解】解：A、C、D选项经过折叠均不能围成正方体；B选项折叠后能围成正方体． 故选：B． 2．如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数，则m的值为（  ） A．3 B．－4 C．－6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出m的值即可． 【详解】解：∵与是正方体相对两个面上的数字， 又由正方体相对两个面上的数互为相反数，得： ， 解得，， 故选：B． 3．将如图的正方体展开后，不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的平面展开图中三个有阴影的面的位置关系进行判断．根据正方体中三个阴影矩形在正方体的同一个顶点的位置，所以正方体的平面展开图中含有阴影的面不可能出现在相对面上，观察个选项中的平面展开图中三个有阴影的面的位置关系判断不可能是哪一个． 【详解】解：A选项：正方体展开图中上面和下面两个面是相对面，两个面中的阴影不可能在正方体的同一个顶点的位置，可知正方体展开后不可能是A选项； B选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是B选项； C选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是C选项； D选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是D选项； 故选：A． 4．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 5．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了俯视图．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫的俯视图是 故选：D． 6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图所示是它的主视图和左视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，明确三视图的定义以及由三视图还原几何体的法则是解题关键．根据三视图还原简单几何体，由主视图知物体共三列，且每一列都是一层；由左视图可知物体共三列，且每一列都是一层，即可计算出小正方体的最少块数． 【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共三列，且每一列都是一层；由左视图可知物体共三列，且每一列都是一层， 所以图中的小正方体最少块． 故选：C． 7．一个正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在正方体中，与“昌”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．建 B．设 C．美 D．好 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解∶ 解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”的特征可得， “设”的对面是“好”，“美”的对面是“南”，“昌”的对面是“建”， 故选：A． 8．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：． 故选：A． 10．动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4，第二个图可知的下面是5，5的右边是2，画出展开图即可求解． 【详解】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4， 第二个图可知的下面是5，5的右边是2 将正方形展开如图所示， ∴的对面是， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键． 二、填空题 11．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 12．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，规律探究；根据正方体相对两个面上的数字进行分析解答即可． 【详解】解：观察图可知，点数和点数相对，点数和点数相对，且四次一循环， 则可知滚动第一次点数朝上，滚动第二次点数朝上，滚动第三次点数朝上，滚动第四次点数朝上， ， 滚动第次后与第四次相同， 滚动第次后朝上的点数是， 朝下的点数是． 故答案为：． 13．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 【答案】三棱柱 【分析】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何的侧面、底面图形特征即可求解． 根据几何体特征，侧面为矩形，上下底面为三角形，则图中纸片折叠起来可以得到三棱柱． 【详解】解：根据几何体特征，图中纸片折叠起来可以得到三棱柱． 故答案为：三棱柱． 14．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体展开图中对应面的关系．利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出、、的值，即可求出结果． 【详解】解：根据正方体的展开图，可知：和是相对面，和是相对面，和是相对面， ∵该正方体相对面上的两个数互为倒数， ∴，，， ∴． 故答案为：． 15．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的相对面、相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键； 根据正方体的相对面得到关于、的方程，解方程求出、的值，即可求解． 【详解】解：的对面是，的对立面是， 故，， 解得：，， ； 故答案为： 16．在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握由展开图计算几何体体积的方法是解题的关键． 由甲乙两位同学的展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积，然后进行比较即可． 【详解】解：如图①， 纸盒底面的四边形是正方形， ， 长方体纸盒的高为：， 则甲同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； 如图②， 设，则， 由题意可得：， 解得：， ， 长方体纸盒的高为：， 则乙同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； ， 故答案为：． 17．如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 【答案】5 【分析】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：5． 18．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)____________，____________，____________； (2)求的值． 【答案】(1)8，2，3 (2) 【分析】本题考查正方体的展开图，代数式求值． （1）根据正方体的表面展开图相对的面在一行时间隔一个进行判断即可； （2）求出x、y、z的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “”与“x”是对面， “y”与“”是对面， “”与“z”是对面， 由于正方体相对面上所标的两个数互为相反数， 所以，，， 故答案为：8，2，3； （2）解：∵，，， ∴， 答：的值为． 20．如图所示的是一个正方体的表面展开图，相对的两个面上的数字互为相反数，分别求出字母x，y，A的值． 【答案】，， 【分析】此题考查了正方体展开图的知识、相反数的定义、求代数式的值等知识．根据题意得到，．得到，把字母的值代入计算即可． 【详解】解：由题图可知“”与“”所在的面是相对的面，“4”与“x”所在的面是相对的面，“A”与“”所在的面是相对的面． 由题意，得，， 解得，． 由题意，得， 将，代入，得． 21．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影的应用，熟练掌握同一时刻，所有物体的影子与其高度成正比是解题关键．延长，相交于点，先根据平行投影的性质可得的长，从而可得树影的长，再根据平行投影的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长，相交于点， ∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴树影长， 又∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为， ∴，即， ∴， 答：树高为． 22．如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有____________条棱，有____________个面，有____________个顶点； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是____________（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该三棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1) (2)④⑤ (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个相同的，长为，宽为的长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）由图可知，该三棱柱有9条棱，有5个面，个顶点． （2）用一个平面去截该三棱柱， 截面形状可以是三角形，长方形，梯形，五边形， ①②③不符合要求；④⑤符合要求， 截面形状不可能是④⑤． （3）由图可知，三棱柱侧面积为3个相同的， 长为，宽为的长方形的面积和， 三棱柱侧面积为 ． 23．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$