第03讲 直角三角形全等的判定及角平分线的性质-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第03讲 直角三角形全等的判定及角平分线的性质 课程标准 学习目标 直角三角形全等的判定 角平分线的性质及判定 1.理解掌握直角三角形全等的 HL"的条件,并能利用这些条件判别两个直角三角形全等解决一些简单的实际问题 2 会利用与角平分线有关的知识解决问题 知识点01 应用“HL”证明直角三角形全等 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【即学即练1】 如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）由（1）得，则，再运用证明，即可作答． 【详解】（1）证明：在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； 知识点02 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 【即学即练1】 如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，， 则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）由垂直平分可得，由角平分线的性质可得，，从而证得，得证； （2）易证，得到，又，因此，代入，，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， 垂直平分， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2） 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 知识点03 角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【即学即练1】 在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由题意得出，，即易证，得出，说明点在的平分线上． 【详解】解：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上． 题型01 用HL证全等 【典例1】如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质， （1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可； 解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【变式2】如图，已知，交的延长线于点E，于点F，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直接根据证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【变式3】我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查垂直平行线的判定，直角三角形全等的判定： （1）根据垂直平行线的判定定理可得点D和点B在线段的垂直平分线上，即可证明； （2）根据证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点D和点B在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 在和， ． 题型02 全等的性质和HL综合 【典例1】如图，在中，，以为边向外作等边，过点作于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等边三角形的性质得出，证明，得出． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式1】知在四边形中，，，，连接，若，，求的长度 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，利用证明即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 证，得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵在与中 ∵， ∴， ∴ ∴， 【变式3】在长方形中，是平面内一个动点，，过点作交直线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当点在长方形内部且到直线的距离等于3时，求的长； (3)若，在运动过程中，是否存在，，三点共线，若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)存在，此时的长度为或． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）过点作的垂线，垂足为，交于点，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当点M在线段上时，当点M在延长线上时，画出图形，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵长方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题意得， ∵， ∴，， ∴， 由（1）得， 设，则， 在中，，即， 解得，即； （3）解：由题意得，，，， 当点M在线段上时，如图， 在中，，，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当点M在延长线上时，如图， 同理，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在，此时的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解决问题的关键是分类讨论． 题型03 角平分线的性质定理 【典例1】如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三线合一和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后利用角平分线的性质得到结论即可． 【详解】证明：连接， ∵， ⸫， ∵M为的中点， ⸫平分， ∵，， ⸫． 【变式1】在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 【变式2】如图，在中，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，由题意可得，再由三角形面积公式得出，，即可得解． 【详解】证明：∵在中，平分，，， ∴， ∵，， ∴． 题型04 角平分线的判定定理 【典例1】如图，在中，，点是、平分线的交点． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析； (2)1． 【分析】（1）过作于，于，于，根据角平分线的性质得到，，继而，再根据角平分线的判定即可证明； （2）先由勾股定理求出，再由的面积的面积的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：过作于，于，于， 点是、平分线的交点， ，， ， ，， 平分； （2）解：，，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到边的距离是1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及判定，勾股定理，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）得，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∵，， ∴平分． 【变式2】如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 【变式3】在学习角平分线判定的过程中，小凤遇到一个问题：在四边形中，，，交于点．求证：平分．他的思路，首先过点作的垂线，利用三角形全等得两垂线段相等，由角平分线的判定，使问题得到解决．请根据小凤的思路完成下面的作图和填空． 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹） ∵，， ∴ ① ， ∵，， ∴ ② ， 又∵ ③ ， ∴ ④ ， ∴ ⑤ ， ∵，， ∴平分． 【答案】画图见解析；，，，， 【分析】本题考查了垂线的画法，全都三角形的判定和性质，角平分线的判定，先根据垂线的画法画出图形，根据补角性质得到，即得到，进而得到，最后根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：过点作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， 故答案为：，，，，． 题型05 作角平分线(尺规作图) 【典例1】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【变式1】如图，已知在中，点D在边上，且， (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；保留作图痕迹，不要求写作法 (2)在（1）的条件下，连接求证：点D在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：平分， ， ，， ∴， ， ，， ， ∴ 点D在线段的垂直平分线上． 【变式2】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1），，中任选两条线段，分别作垂直平分线，得到的交点即为所求点； （2）作、夹角（锐角）的角平分线，作线段的垂直平分线，两者的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，的垂直平分线，与的交点为K，K即为学校的位置．    （2）解：如图所示，点C即为所求．    【点睛】本题考查复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及作法，垂直平分线的性质及作法． 【变式3】如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问超市应建在何处（使用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】根据尺规作一个角的平分线的方法，作出、的平分线，两条角平分线的交点即为超市的位置． 【详解】解：如图所示，超市应建在点O处．    【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握用直尺和圆规作一个角的平分线的方法，角平分线上点到角的两边距离相等． 一、单选题 1．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中 ， ∴. 故选：C. 3．如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据可证明，据此解答即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 6．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定．首先证明，推出，，再利用三角形内角和定理，平行线的判定即可一一判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，①正确，③错误； 如图，∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，④正确； ∵， ∴，故②正确； ∴正确的有3个， 故选：C． 7．如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图痕迹得出垂直平分，平分，进而可得，，再根据三角形内角和定理得出，根据等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故选A． 8．如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图， 根据尺规作线段等于已知线段解答图一，再根据尺规作角平分线解答图二，然后根据尺规作线段垂直平分线解答图三，四． 【详解】第一个图是尺规作，则是等腰三角形，符合题意； 第二个图是尺规作的角平分线，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第三个图形是尺规作的垂直平分线，可得，再由，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第四个图形是尺规作的垂直平分线，可得，则是等腰三角形，符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：D． 9．三角形三个内角平分线的交点（     ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离都相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线的性质．根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，符合题意； B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 10．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证明，再证明，即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作于M，于N，则，证明，可证，再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， 是等边三角形， 故②正确； 过B作于M，于N，则， ， ， ， ，， 平分， 故③正确； 为的中点， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，平分则的面积为 ．    【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据在中，平分且，得出，再结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作，    ∵在中，平分且， ∴， ∴的面积， 故答案为：34． 12．如图，的三边、、长分别为40、50、70，其三条角平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点O作，，分别垂直于，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而可得到三个三角形面积的比值． 【详解】解：如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E． ∵平分， ∴， 同理， ∴． ∵的三边、、的长分别为40，50，70， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，三角形的面积公式求出的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴； 故答案为：3． 14．如图，，，于点，若，则的长度为 ．    【答案】/1厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，，由，得到，，根据直角三角形的性质求出，最后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：过点作于． ，，， ，． ， ，， ，， ． 故答案为：．    15．如图所示，点、在线段上，、相交于点，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题目中的条件知一对直角边相等，再添加斜边相等可以用“”判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 当添加条件时，， 故答案为：． 16．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中， 于点，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等． 由题意证得即可求解． 【详解】解：，, ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质 ，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”. 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点.作于点， 证明： 的最短距离为，再证明点、、三点共线，，然后根据三角形的面积求解即可. 【详解】解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，相交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先用证明，再用证明即可． 【详解】证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ． 20．如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 21．如图，线段、交于点，，，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 利用证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵ ∴   ∴ 22．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2）解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． （3）解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，解得：． 23．以两边、为边，向外作等边和等边，连接、交于点，求证： (1)． (2)平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出，即可得到； （2）过点A作，垂足为、，证明可得，由到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论． 【详解】（1）证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ； （2）解：过点A作，垂足为、，连接， ∴， ∵由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴在的平分线，即平分． 24．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质和全等三角形的判定与性质的运用，解题关键是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到和，再根据证明，从而得到结论； （2）根据证明，从而得到，设，则，根据和得到关于的方程，解方程，从而求得AE的长度． 【详解】（1）解：（1）解：，理由如下： 连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ，解得：， ，． 25．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直角三角形全等的判定及角平分线的性质 课程标准 学习目标 直角三角形全等的判定 角平分线的性质及判定 1.理解掌握直角三角形全等的 HL"的条件,并能利用这些条件判别两个直角三角形全等解决一些简单的实际问题 2 会利用与角平分线有关的知识解决问题 知识点01 应用“HL”证明直角三角形全等 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应 的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【即学即练1】 如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证： (1) ； (2)． 知识点02 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的 相等， 【即学即练1】 如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，， 则的长为 ． 知识点03 角平分线的判定 角的内部到角的两边 的点在角的平分线上. 【即学即练1】 在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 题型01 用HL证全等 【典例1】如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【变式2】如图，已知，交的延长线于点E，于点F，且．求证：． 【变式3】我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 题型02 全等的性质和HL综合 【典例1】如图，在中，，以为边向外作等边，过点作于点，且．求证：． 【变式1】知在四边形中，，，，连接，若，，求的长度 【变式2】如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 【变式3】在长方形中，是平面内一个动点，，过点作交直线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当点在长方形内部且到直线的距离等于3时，求的长； (3)若，在运动过程中，是否存在，，三点共线，若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 题型03 角平分线的性质定理 【典例1】如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 【变式1】在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【变式2】如图，在中，平分，，，求证：． 题型04 角平分线的判定定理 【典例1】如图，在中，，点是、平分线的交点． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求点到边的距离． 【变式1】如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【变式2】如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式3】在学习角平分线判定的过程中，小凤遇到一个问题：在四边形中，，，交于点．求证：平分．他的思路，首先过点作的垂线，利用三角形全等得两垂线段相等，由角平分线的判定，使问题得到解决．请根据小凤的思路完成下面的作图和填空． 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹） ∵，， ∴ ① ， ∵，， ∴ ② ， 又∵ ③ ， ∴ ④ ， ∴ ⑤ ， ∵，， ∴平分． 题型05 作角平分线(尺规作图) 【典例1】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【变式1】如图，已知在中，点D在边上，且， (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；保留作图痕迹，不要求写作法 (2)在（1）的条件下，连接求证：点D在线段的垂直平分线上． 【变式2】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 【变式3】如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问超市应建在何处（使用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    一、单选题 1．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 7．如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．三角形三个内角平分线的交点（     ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离都相等 D．不能确定 10．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 二、填空题 11．如图，在中，平分则的面积为 ．    12．如图，的三边、、长分别为40、50、70，其三条角平分线交于点，则 ． 13．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ． 14．如图，，，于点，若，则的长度为 ．    15．如图所示，点、在线段上，、相交于点，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是 ． 16．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 17．如图，在中， 于点，，若，则 ． 18．如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，相交于点O，．求证：． 20．如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 21．如图，线段、交于点，，，，若，求的长． 22．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 23．以两边、为边，向外作等边和等边，连接、交于点，求证： (1)． (2)平分 24．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 25．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$