24.6 正多边形与圆（第2课时 正多边形的性质）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.6 正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的 概念.（重点） 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点） 情景导入 将一个圆 n 等分，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形． 反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？ 新知探究 我们仍然以正五边形为例来进行探究． 如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B，C作⊙O，连结OA，OB，OC，OD，OE. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB. 又 ∵ ∠ABC=∠BCD， ∴ ∠OBA=∠OCD. A B C D E O ∵ AB=DC， ∴ △OAB≌△ODC. ∴ OA=OD，即点D在⊙O上. 同理，得点E也在⊙O上. 所以正五边形ABCDE有一个以O为圆心的外接圆. 新知探究 由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等，所以以点O为圆心、弦心距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切. 所以正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆. A B C D E O H 概念归纳 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆． 我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫 做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正 n 边形的每个中心角都等于. 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形一共有 n 条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图. (1) (2) (3) (4) 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 课本例题 例 求边长为a的正六边形的周长和面积． 解 如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S. ∵ 多边形ABCDEF是正六边形， ∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形. ∴ C=6BC=6a. A B C D E F O G 在△BOC中，有 A B C D E F O G 课堂练习 1. 一个不等边三角形是否一定有一个外接圆和内切圆？如果有，它们是不是同心圆？ 解：是. 不是同心圆，因为一个不等边三角形的内心与外心不重合. 2． 有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R，求R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比． 解：如图所示，正六边形外接圆的半径是正六边形的中心到顶点的距离，即OC= ； 正六边形内切圆的半径是正六边形的中心到一边的距离，即OG=R. 提示：要求正六边形ABCDEF的内切圆的半径与外接圆的半径之比，只需找到内切圆的半径与外接圆半径的关系即可. ∵OG⊥CD，∠COG=30°， 3． 证明：在正 n 边形中，中心角与正 n 边形的每个外角相等． 证明：正 n 边形的中心角，即每边所对的圆心角，即； 正 n 边形的每个外角，即. 故正 n 边形的中心角与正 n 边形的每个外角相等. 分层练习-基础 【答案】C 2．[2024·福州期中]如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF，则∠FDC的度数是(　　) A．18° B．30° C．36° D．40° C 3．[2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________． 【点拨】连接BE交AC于点O，如图. ∵正五边形ABCDE的边长为4，∴AB＝BC＝4. ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°， BC＝AB＝AE. ∴∠BCA＝∠BAC＝ ∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°. ∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°. 【答案】C 【答案】D 6. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用圆内接正十二边形(图②)来计算圆周率，则圆周率π约为(　　) A．12sin 30° B．12cos 30° C．12sin 15° D．12cos 15° 【点拨】如图，连接OA6，OA7，过点O作OM⊥A6A7， 则在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°. 设⊙O的半径为R，则A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°. 【答案】C 7. 我们学习了，在多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．观察如图所示的每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题： (1)将下面的表格补充完整： 60° 正多边形的边数 3 4 5 6 …   ∠α的度数         … 10 ° 45° 36° 30° 18 (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝25°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，正六边形ABCDEF外接圆的半径为4，则其内切圆的半径是________． 分层练习-巩固 【答案】B 10．[2024·石家庄一模]题目：“要在边长为10的正方形ABCD内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形ABCD内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d. 例如，当正多边 形为正六边形时，如图①，该正六边 形边长的最大值d＝5.” 【点拨】根据题意，若正多边形能在正方形ABCD内自由旋转，需满足正多边形外接圆的半径等于正方形ABCD内切圆的半径. 【答案】A 11．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大正六边形的边长均为a，左右两个小正六边形的边长均为b. (1)tan∠ADE＝________； 【点拨】如图，连接AD，AE，FC，AD与FC交于点O，过M作MN⊥AE，交AE于点N，设左边小正六边形的中心为H，连接HF，HK，HG. 由图形可得，上下两个大正六边形 关于FC对称，易知AM＝DE＝a， FK＝b，∠GMA＝120°， FC是圆的直径. (2)若b＝3，则a＝________． 分层练习-拓展 12. [阅读材料]与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆．设正n(n≥3)边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积． [解答问题] (1)如图②，当n＝4时，仿照材料中的方法和过程，可求得S正四边形＝___________________； 4r2·tan 45°(或4r2) (2)如图③，当n＝5时，仿照材料中的方法和过程求S正五边形； (3)根据以上探索过程，可直接推出S正n边形＝___________. 习题 24.6 1．作已知⊙O的内接正八边形. 解：如图，八边形ABCDEFGH即为所求． 2．用等分圆周的方法画出下列图案. 解：如图1，把圆分成六等分，分别以点B，D，F为圆心，AB为半径画弧可得图案． 如图2，把圆分成十二等分，分别以点G，H，M，N，R，P为圆心，AG为半径画弧可得图案． 如图3，把圆分成四等分，分别以四等分点A，B，C，D为圆心，AO为半径画圆可得图案． 3．已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD，CE分别平分∠ABC、∠ACB． 求证：五边形AEBCD是正五边形． 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵BD，CE平分∠ABC、∠ACB． ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°． ∴ ． 易证五边形AEBCD为正五边形． 解：如图，过点A作AC⊥BC于点C． ∵正六边形的每一个内角为120°， ∴∠CAB=30°． ∴BC= AB=6，AC=BC=6 ． ∴b=2AC=12． 4．如图，正六边形的螺帽边长a=12，这个扳手的开口b应是多少？ 解：如图，设圆O为圆形铁片，四边形 ABCD为截出的正方形铁片，连接OB，OC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC=90°.∴OB= BC= a. ∴圆O的直径为2OB= a. 答：圆形铁片的直径最小要 a. 5．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，问圆形铁片的直径最小要多长？ 6．分别求出半径为R的圆内接正三角形、圆内接正方形的周长和面积. 解：如图1，连接OB，OC，过O作OD⊥AB于D. ∵⊙O是正三角形ABC的外接圆， ∴∠AOB= =120°. ∵OA=OB， ∴∠AOD=∠BOD=60°. 在Rt△ADO中，AO=R，AD=Rsin60°= R， OD=Rcos60°= R. ∵OD⊥AB，∴AB=2AD= R. ∴正△ABC的周长是3AB=3R， 面积是 如图2，连接OA，OB，OD． ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠COD= =90°． ∵OD=OC=R，由勾股定理易得CD=R. ∴正方形ABCD的周长为4R=4R，面积为 =2R2． 7．设正三角形的外接圆半径与内切圆半径之差为2cm，求这个正三角形的面积． 解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高， 点O是其外接圆的圆心． 由等边三角形的三线合一得点O在AD上， 并且点O还是它的内切圆的圆心． ∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD． 而OA=OB，∴OA：OD=2：1． ∵OA-OD=2，∴OA=4cm,OD=2cm． ∴AD=6cm． ∵AD= BD，AB=2BD， ∴AB=4 cm． ∴S△ABC= （cm2）． 8．已知：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点P.求证：（1）PE=AB； 证明：由题意得∠EAB=∠ABC=108°， ∴∠AEB=∠ABE=∠PAB=∠PBA=36°． ∴∠EAP=72°，∠EPA=36°+36°=72°． ∴∠EAP=∠EPA.∴PE=AE=AB. 8．已知：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点P. 求证：（2）PE2=BE•BP． 证明：∵△AEB、△PAB都是底角为36°的等腰三角形， ∴△AEB∽△PAB．∴ ． ∴AB2=BE•BP． 又∵PE=AB，∴PE2=AB2=BE•BP． 课堂小结 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 1．[2024·德阳]已知正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为(　　) A．1 B. C．2 D．4 【点拨】如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝＝60°. 又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形， ∴OA＝AB，∠OAB＝60°. 设AB＝x，则OA＝x， ∴OM＝OA·sin60°＝x. 易知S正六边形＝6S△AOB＝6， ∴6××x×x＝6， 解得x＝2或x＝－2(舍去)， 即正六边形的边长为2. 2＋2 ∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCA＝180°－72°－36°＝72°， ∴∠CBO＝∠BOC.∴CO＝BC＝4.∴AO＝AC－4. ∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝∠BCA，∴△ABO∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得AC＝2＋2或AC＝2－2(舍去). 经检验，AC＝2＋2是该方程的解， ∴AC的长为2＋2. 4．[2024·潍坊一模]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为劣弧上的动点，则∠APB的大小为(　　) A．162° B．108° C．144° D．不能确定 【点拨】如图，连接OA，OB，AD，BD. ∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°. ∴∠ADB＝∠AOB＝36°. ∵四边形APBD是⊙O的内接四边形， ∴∠APB＋∠ADB＝180°.∴∠APB＝180°－36°＝144°. 故选C. 5． [2024·合肥模拟]如图，正方形ABCD内接于⊙O.点E为上一点，连接BE，CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为(　　) A. B. C．3 D．3 【点拨】如图，连接OA，OB，OE. ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°， AB＝BC，∠ABC＝90°. ∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝45°. ∴∠OBC＝∠ABC－∠OBA＝45°. 又∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝60°. 又∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形. ∴OB＝BE＝3. ∴OA＝3. ∴在Rt△AOB中，BC＝AB＝＝3.故选D. ∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6M＝A7M. ∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°. ∴π≈＝12sin15°.故选C. 【解】不存在．理由如下：由(1)得，正n边形中∠α＝， 当∠α＝25°时，则＝25°，解得n＝7.2(不是整数)， ∴不存在一个正n边形，使其中的∠α＝25°. 2 【点拨】如图所示，过点O作OG⊥AB于G，连接OA，OB，则OG为正六边形内切圆的半径，AG＝BG， OA＝4.易得△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝4，∴AG＝AB＝2. ∴OG＝＝＝2 9． [2024·周口模拟]如图，在△OAB中，顶点O，A，B，将△OAB与正六边形ABCDEF组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 026次旋转结束时，点E的坐标为(　　) A. B. C. D. 【点拨】如图，过点E作x轴的垂线，垂足为M，由对称性可知，点A在EM上，过点F作FG⊥AE于点G. ∵A，B， ∴OM＝1，AM＝，AO＝AB＝2. ∵在正六边形ABCDEF中，EF＝AF＝AB， ∴EF＝AF＝AO.∴易证△EFG≌△AFG≌△AOM. ∴EG＝AG＝AM＝.∴EM＝3. ∴点E的坐标为. 将△OAB与正六边形ABCDEF组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第1次旋转结束时，点E的对应点E1的坐标为， 第2次旋转结束时，点E的对应点E2的坐标为， 第3次旋转结束时，点E的对应点E3的坐标为， 第4次旋转结束时，点E的对应点E4的坐标为， 第5次旋转结束时，点E的对应点E5的坐标为， 第6次旋转结束时，点E的对应点E6的坐标为， …， ∴点E的坐标为4次一循环. ∵2 026÷4＝506……2， ∴第2 026次旋转结束时，点E的对应点E2 026的坐标为.故选B. 甲：当正多边形为正方形PQMN时，如图②，该正方形边长的最大值d＝5； 乙：当正多边形为等边三角形 EFG时，如图③，该等边三角形 的边长的最大值d＝5.针对甲和乙的答案， 下列判断正确的是(　　) A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 对于甲：当正多边形为正方形PQMN时，若能自由旋转，且正方形PQMN边长最大时，连接PM，QN，则PM＝QN＝10，此时易得正方形PQMN的边长 PQ＝5， 即 d＝5，故甲的答案正确； 对于乙：如图，连接OE，OF，OG. 当正多边形为等边三角形EFG时，若能自由旋转，且等边三角形EFG边长最大时，其半径OG＝OF＝OE＝5，此时易得等边三角形EFG的 边长EF＝5， 即d ＝5.故乙的答案正确.故选A. 2 (1)∵MN⊥AE，MA＝MG， ∴AN＝AG，∠MAN＝＝30°， ∴AN＝AMcos∠MAN＝acos30°＝a， ∴AG＝a.易知GE＝AG，∴AE＝2AG＝2a. 易得∠AED＝120°－＝90°， ∴tan∠ADE＝＝＝2. ＋1 【点拨】∵∠AED＝90°，∴AD是圆的直径. ∵AE＝2a，DE＝a， ∴AD＝＝＝a. ∵左边小六边形是正六边形，H为左边小正六边形的中心， ∴∠KHF＝＝60°，HF＝HK＝HG，∴△HFK是等边三角形，∴HF＝FK＝b，∴HG＝b.∴FG＝2b. ∴易得FC＝2b＋2b＋a＝4b＋a. ∵FC和AD都是直径，∴FC＝AD. ∴4b＋a＝a. ∵b＝3，∴12＋a＝a， 解得a＝＝＋1. 如图①，当n＝3时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，则OC⊥AB.易得AB＝2AC， ∠AOC＝∠AOB＝×＝60°. 又∵在Rt△AOC中，OC＝r，∴AC＝r·tan 60°. ∴AB＝2r·tan 60°.∴S△OAB＝·2r tan 60°·r＝r2·tan 60°. ∴易得S正三角形＝3S△OAB＝3r2·tan 60°. 【解】如图，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，则OC⊥AB.易得AB＝2AC，∠AOC＝∠AOB＝×＝36°. 又∵在Rt△AOC中，OC＝r， ∴AC＝r·tan 36°.∴AB＝2r·tan 36°. ∴S△OAB＝r·2r·tan 36°＝r2·tan 36°. ∴易得S正五边形＝5S△OAB＝5r2·tan 36°. anr2·tan $$