第26章 概率初步(3节+6知识点+7题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

第26章 概率初步 26.1 随机事件 课程标准 学习目标 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率 ①知道确定事件（必然事件和不可能事件）、随机事件； ②了解事件的概率； 知识点01 确定事件与随机事件 ·不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件． ·必然事件：在一定条件下，可以事先知道其一定会发生的事件叫做必然事件． ·确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件. ·随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. ·事件：确定性事件和随机事件统称为事件 【即学即练1】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖 B．射击一千次，命中靶心 C．太阳每天从西方升起 D．任意画一个三角形，其内角和是 【即学即练2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．用两条线段组成一个三角形 B．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 C．抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 D．经过任意三点画一个圆 知识点02 事件的概率 ·概率：一般地，表示一个随机事件Ａ发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概率，记作P(A) 【即学即练3】（2024·安徽合肥·模拟预测）随着城市化进程的加速和人们对环保出行的需求增加，共享电瓶的发展趋势日益明显．如图，某共享电瓶柜中装有4块“  ”、6块“”以及6块“  ”三种型号的电瓶，匆忙的小王从中随机取出一块，恰好为“  ”的电瓶的概率为（    ） A． B． C． D． 26.2 等可能情形下的概率计算 课程标准 学习目标 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率 ①能描述简单随机事件的特征(可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等)； ②能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果； ③能计算简单随机事件的概率。 知识点01 事件发生的概率 ·等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有ｎ种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件Ａ发生的结果有ｍ(ｍ≤ｎ)种，那么事件Ａ发生的概率为. ·必然事件与不可能事件的概率： ①Ａ是必然事件时，ｍ＝ｎ，P(Ａ)＝１；②Ａ是不可能事件时，ｍ＝０，P(Ａ)＝０．所以０≤P(Ａ)≤１． ·随机事件的概率： ①一般的，对任何随机事件Ａ（试验结果为有限种可能），它的概率P(Ａ)满足０＜P(Ａ)＜１． ②必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，所以P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件) 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 知识点02 列表法和画树状图法求概率 ·列表法：用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 适用条件：涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法. ·树状图法：用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 适用条件：涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图。 【即学即练2】如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2024·安徽合肥·二模）为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，我区教育相关部门要求家访要达到全覆盖．某校七年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图． (1)扇形统计图中到家家访的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率． 26.3 用频率估计概率 课程标准 学习目标 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 ①知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率; ②体会数据的随机性以及概率与统计的关系; ※③能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题。 知识点01 频率 ·频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数，若n是总试验次数，m是在n次试验中随机事件A发生的次数，件A发生的频数即为m。 ·频率：频率是频数与数据组中所含数据的个数的比。n次试验中，随机事件A发生lm次，事件A发生的频率即为 【即学即练1】小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 知识点02 用频率估计概率 ·频率的稳定性：在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. ·用频率估计概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率（这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数P． 于是，我们用P这个常数表示随机事件A发生的概率。P（A） ＝P． ·频率与概率的区别：频率是计算出来的，是准确值，概率是通过多个频率估计出来的，是估计值。 ·求一个随机事件概率的基本方法：通过大量的重复试验，用这个随机事件发生的频率作为它的概率的估计值。 【即学即练2】在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【即学即练3】某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【即学即练4】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过大量重复试验，发现摸出黑球的频率稳定在附近，则袋子中白球的个数约为（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 9 17 46 92 178 452 如果这个射手射击1000次，估计他击中靶心的次数和下面数最接近的是（    ） A．800 B．850 C．900 D．950 ·利用列表法或树状图法计算两次试验中某一事件发生概率 有放回事件：试验的结果共有n×n种情况 无放回事件：试验的结果共有n×(n-1)种情况 【题型一：事件的判断】 例1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）赵师秀《约客》诗中写道“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不属于上述任何一种 变式1-1.（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于必然事件的是（    ） A．拔苗助长 B．瓜熟蒂落 C．竹篮打水 D．百步穿杨 变式1-2.下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼 例2．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件 C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D．“长度分别是，，的三根木条能组成一个三角形”是必然事件 例3.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）对于“反比例函数的图象经过原点”这一事件，说法正确的是（    ） A．这一事件是必然事件 B．这一事件是随机事件 C．这一事件是不可能事件 D．需要根据的取值判断事件类型 【题型二：列表法或树状图法求概率（无放回）】 例4．（2024·安徽合肥·一模）新趋势·跨学科问题  如图是古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物图片，它们的反面完全相同，小明和小亮同时从中任意各抽取1张图片，两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 例5.（2024·安徽合肥·二模）如图是一个竖直管道的示意图，水从人口进入，先经过管道或再经管道或从出口流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口流到出口的概率是（    ） A． B． C． D． 变式5.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯．西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”． (1)为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测．本次抽样调查的样本容量是________； (2)6月10日是我国文化和自然遗产日．某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化．请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率． 【题型三：列表法或树状图法求概率（有放回）】 例6.（2024·江苏无锡·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘A和转盘B各一次．将转盘A上的数字记为x，转盘B上的数字记为y． (1)当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为__________； (2)求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【题型四：几何概型】 例7．如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 变式7.（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）小华用赵爽弦图设计了一个正方形气枪射击的靶盘，大正方形是由四个全等的直角边长分别为2和1的直角三角形和一个小正方形拼成的．若射击一次，则击中在阴影区域的概率为 ． 例8.一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    变式8.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【题型五：数学知识中的概率计算】 例9.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 变式9.（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 例10.（2024·安徽阜阳·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有A，B两个格点，在网格的其他格点上任取一点C，恰能使为等腰直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型六：概率计算与学科融合】 例11．（2024·安徽合肥·三模）新趋势・跨学科问题  生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（    ） A． B． C． D． 例12.（2024·安徽合肥·三模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（    ） A． B． C． D． 例13.（2024·安徽合肥·二模）化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A． B． C． D． 【题型七：统计与概率】 例14．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： (1)本次抽测了_____名九年级学生，______； (2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ (3)在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 变式14-1.（2024·安徽合肥·三模）深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团     B．足球、篮球社团    C．模拟联合国    D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； (3)在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 变式14-2.（2024·安徽合肥·二模）某中学开展“我劳动，我光荣”主题演讲比赛，参加决赛的40名选手的成绩分成五组进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 决赛选手成绩统计表 分组 分数段 频数 第1组 2 第2组 第3组 12 第4组 14 第5组 4 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________，请在图中补全频数分布直方图； (2)40位参赛选手成绩的中位数落在第__________组； (3)选拔赛中成绩在第5组的选手有男生1名，女生3名，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． 变式14-3.（2024·安徽合肥·一模）某校七年级开展了一次知识竞赛活动，赛后随机抽取了七（1）、七（2）两班各20名同学的初赛成绩（单位：分）进行整理分析，给出了部分信息如下： 【信息一】七（1）班同学的样本成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 2 4 5 5 4 各组平均数/分 51 62 75 87 95 【信息二】七（1）班样本成绩在一组的是（单位：分）：73，73，73，77，79；七（1）班样本成绩的众数在这一组． 【信息三】七（2）班样本成绩的平均数为74.5分，中位数为76分． (1)七（1）班样本成绩的众数是________分，七（1）班样本成绩的中位数是________分，七（1）班样本成绩的平均数________分； (2)根据两个班样本成绩的平均数和中位数，请你判断哪个班的竞赛初赛成绩较好． (3)七（1）班抽取样本成绩在中共有两名男生和两名女生，若从中选择两位同学参加决赛，恰好男女生各一名的概率是多少？ 一、选择题 1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）“明天是晴天”这个事件是（　　） A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．随机事件 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．画一个三角形，其内角和是180° B．在一只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 C．抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 D．在纸上画两条直线，这两条直线平行 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若标有，，的三只灯笼按如图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘），直到摘完，则最后一只摘到的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）小梅和小华一起去参观某抗日烈士纪念馆，该纪念馆有两个入口，有四个出口．若小梅同学随机选择一个入口进入，在离开纪念馆时再随机选择一个出口离开，则小梅恰好从入口进入纪念馆，从或出口离开纪念馆的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽池州·模拟预测）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 11．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）小明和同学做“抛质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表所示．若抛掷硬币的次数为2000，则“反面朝上”的频数最接近（    ） 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 A．1000 B．800 C．900 D．1180 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 13．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（    ）    A．① B．② C．①② D．①③ 二、填空题 14．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为 . 15．（2023·辽宁·中考真题）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．    16．（2023·安徽安庆·一模）如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使的面积为1的概率是 ．    三、解答题 17．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，求球落在阴影区域的概率． 18．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 19．（2024·安徽·模拟预测）为了解学生“校园安全”知识的掌握情况，学校随机抽样调查了部分学生的“校园安全”知识测试成绩作为样本，根据收集到的信息绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据统计图中所提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量是_________，扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角的度数为______； (2)请补全“校园安全”知识测试成绩条形统计图，并判断“校园安全”知识测试成绩的中位数在哪一组； (3)学校准备从“D组”中获得满分的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加市级“校园安全”知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20.如图，A、B是边长1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点上任意放置点C（除去A、B两点），以A、B、C三点为顶点能画出等腰三角形的概率是 ．    21.（2024·安徽合肥·一模）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．    (1)本次抽取调查的学生共有______人，______，______，并补全条形统计图； (2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人； (3)九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 22．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（中阴影部分），用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图．解决上列问题： （1）小球落在不规则图案上的概率约为 ； （2）不规则图案的面积大约为 ． 24.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 概率初步 26.1 随机事件 课程标准 学习目标 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率 ①知道确定事件（必然事件和不可能事件）、随机事件； ②了解事件的概率； 知识点01 确定事件与随机事件 ·不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件． ·必然事件：在一定条件下，可以事先知道其一定会发生的事件叫做必然事件． ·确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件. ·随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. ·事件：确定性事件和随机事件统称为事件 【即学即练1】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖 B．射击一千次，命中靶心 C．太阳每天从西方升起 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确； 射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确； 太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确； 任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确； 故选：D． 【即学即练2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．用两条线段组成一个三角形 B．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 C．抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 D．经过任意三点画一个圆 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件：“一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，进行判断即可． 【详解】解：A、用两条线段组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，不符合题意； D、经过任意三点画一个圆是随机事件，符合题意． 故选：D． 知识点02 事件的概率 ·概率：一般地，表示一个随机事件Ａ发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概率，记作P(A) 【即学即练3】（2024·安徽合肥·模拟预测）随着城市化进程的加速和人们对环保出行的需求增加，共享电瓶的发展趋势日益明显．如图，某共享电瓶柜中装有4块“  ”、6块“”以及6块“  ”三种型号的电瓶，匆忙的小王从中随机取出一块，恰好为“  ”的电瓶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用“  ”的电瓶数除以电瓶总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有块电瓶，其中“  ”的电瓶有6块，且每块电瓶被去除的概率相同， ∴小王从中随机取出一块，恰好为“  ”的电瓶的概率为， 故选：C． 26.2 等可能情形下的概率计算 课程标准 学习目标 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率 ①能描述简单随机事件的特征(可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等)； ②能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果； ③能计算简单随机事件的概率。 知识点01 事件发生的概率 ·等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有ｎ种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件Ａ发生的结果有ｍ(ｍ≤ｎ)种，那么事件Ａ发生的概率为. ·必然事件与不可能事件的概率： ①Ａ是必然事件时，ｍ＝ｎ，P(Ａ)＝１；②Ａ是不可能事件时，ｍ＝０，P(Ａ)＝０．所以０≤P(Ａ)≤１． ·随机事件的概率： ①一般的，对任何随机事件Ａ（试验结果为有限种可能），它的概率P(Ａ)满足０＜P(Ａ)＜１． ②必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，所以P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件) 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是掌握随机事件的取值范围． 根据随机事件的取值范围是求解即可． 【详解】解：随机事件的取值范围是， ∴某随机事件发生的概率的值不可能是1． 故选：D． 知识点02 列表法和画树状图法求概率 ·列表法：用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 适用条件：涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法. ·树状图法：用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 适用条件：涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图。 【即学即练2】如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 【即学即练3】（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图求等可能事件的概率，方法是用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图为： 根据树状图可知，共有8种等可能的结果，其中3次摸到的弹珠颜色都是红色的有1种可能． ∴3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为． 故选：D． 【即学即练4】（2024·安徽合肥·二模）为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，我区教育相关部门要求家访要达到全覆盖．某校七年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图． (1)扇形统计图中到家家访的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率． 【答案】(1)135 (2)见解析 (3) 【知识点】画条形统计图、列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）由到校的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题； （2）作差法求出人数，补全条形统计图即可； （3）列出表格，共有12种等可能的结果，正好抽到A、B两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，正确求出概率是解题的关键． 【详解】（1）这次抽取的学生人数为：     扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角度数为： 故答案为：． （2） 补全条形统计图如下： （3）列表如下： 本周恰好选中A、B两人的概率：． 26.3 用频率估计概率 课程标准 学习目标 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 ①知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率; ②体会数据的随机性以及概率与统计的关系; ※③能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题。 知识点01 频率 ·频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数，若n是总试验次数，m是在n次试验中随机事件A发生的次数，件A发生的频数即为m。 ·频率：频率是频数与数据组中所含数据的个数的比。n次试验中，随机事件A发生lm次，事件A发生的频率即为 【即学即练1】小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 知识点02 用频率估计概率 ·频率的稳定性：在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. ·用频率估计概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率（这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数P． 于是，我们用P这个常数表示随机事件A发生的概率。P（A） ＝P． ·频率与概率的区别：频率是计算出来的，是准确值，概率是通过多个频率估计出来的，是估计值。 ·求一个随机事件概率的基本方法：通过大量的重复试验，用这个随机事件发生的频率作为它的概率的估计值。 【即学即练2】在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查利用频率估算概率，由表格数据得出摸到黑球的概率是0.25，再根据概率公式列出方程是解题的关键． （1）根据频率的计算公式代数求解即可； （2）观察表中数据，可知通过无数次试验，黑球的频率将稳定在0.25，即摸到黑球的概率为0.25，据此可求出白球的个数． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25， ∴估计摸到黑球的概率为0.25， ∴求的总个数为（个） ∴白球的个数为（个）． 【即学即练3】某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键． 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意； 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意． 、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意； 故选：． 【即学即练4】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过大量重复试验，发现摸出黑球的频率稳定在附近，则袋子中白球的个数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋子中黑球有个，由题意可得，求出黑球个数，即可求出白球个数，理解摸出黑球的频率稳定在附近即是摸出黑球的概率是是解题的关键． 【详解】解：设袋子中黑球有个， 由题意可得，， ∴， ∴袋子中黑球有个， ∴袋子中白球的个数为个， 故选：． 【即学即练5】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 9 17 46 92 178 452 如果这个射手射击1000次，估计他击中靶心的次数和下面数最接近的是（    ） A．800 B．850 C．900 D．950 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估算概率．根据表格得出击中靶心的概率约为，进行求解即可． 【详解】解：由表格数据可知：击中靶心的概率约为， ∴如果这个射手射击1000次，估计他击中靶心的次数为； 故选：C． ·利用列表法或树状图法计算两次试验中某一事件发生概率 有放回事件：试验的结果共有n×n种情况 无放回事件：试验的结果共有n×(n-1)种情况 【题型一：事件的判断】 例1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）赵师秀《约客》诗中写道“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不属于上述任何一种 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】赵师秀《约客》诗中写道“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件， 故选：C． 变式1-1.（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于必然事件的是（    ） A．拔苗助长 B．瓜熟蒂落 C．竹篮打水 D．百步穿杨 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、拔苗助长是不可能事件，故此选项不符合题意； B、瓜熟蒂落是必然事件，故此选项符合题意； C、竹篮打水是不可能事件，故此选项不符合题意； D、百步穿杨是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式1-2.下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的知识点是事件的分类，解题关键是对各个成语进行正确的理解． 通过对各个成语的分析，对事件进行分类即可得到答案． 【详解】对于选项，水涨船高是必然事件，不正确； 对于选项，守株待兔是随机事件，正确； 对于选项，水中捞月是不可能事件，不正确； 对于选项，缘木求鱼是不可能事件，不正确； 故选：． 例2．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件 C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D．“长度分别是，，的三根木条能组成一个三角形”是必然事件 【答案】B 【知识点】事件的分类、三角形三边关系的应用、用SAS证明三角形全等（SAS）、轴对称图形的识别 【分析】根据不可能事件，必然事件和随机事件的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．不可能事件发生的概率为0，则“概率为0.0001的事件”是随机事件，故A错误； B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件，故B正确； C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，故C错误； D．∵， ∴长度分别是，，的三根木条不能组成一个三角形， ∴“长度分别是，，的三根木条能组成一个三角形”是不可能事件，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握不可能事件、必然事件、随机事件的定义． 例3.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）对于“反比例函数的图象经过原点”这一事件，说法正确的是（    ） A．这一事件是必然事件 B．这一事件是随机事件 C．这一事件是不可能事件 D．需要根据的取值判断事件类型 【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、事件的分类 【分析】由，可得，，可得对于“反比例函数的图象经过原点”这一事件是不可能事件． 【详解】解：∵， ∴，， ∴对于“反比例函数的图象经过原点”这一事件是不可能事件； 故选C 【点睛】本题考查的是事件的分类以及各事件的判断，反比例函数的性质，熟记不可能事件的含义是解本题的关键． 【题型二：列表法或树状图法求概率（无放回）】 例4．（2024·安徽合肥·一模）新趋势·跨学科问题  如图是古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物图片，它们的反面完全相同，小明和小亮同时从中任意各抽取1张图片，两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的方法，了解古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物是解题的关键．利用列表法或画树状图法求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率即可作出选择． 【详解】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： 一共有20种等可能的情况，其中两张图片的人物恰好属于同一部名著有8种可能的情况， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 故选：C． 例5.（2024·安徽合肥·二模）如图是一个竖直管道的示意图，水从人口进入，先经过管道或再经管道或从出口流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口流到出口的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到开着的两个管道可以使流水从入口流到出口的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设a、b、c、d、e五个管道分别用A、B、C、D、E表示，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中开着的两个管道可以使流水从入口流到出口的结果数有12种， ∴流水还可以从入口流到出口的概率是， 故选：C． 变式5.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯．西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”． (1)为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测．本次抽样调查的样本容量是________； (2)6月10日是我国文化和自然遗产日．某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化．请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率． 【答案】(1)100 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、总体、个体、样本、样本容量 【分析】本题考查列表法与树状图法、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的表格，求出相应的概率． （1）根据样本容量的定义，可以写出本次抽样调查的样本容量； （2）根据题意，可以画出相应的表格，然后求出相应的概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 本次抽样调查的样本容量是100， 故答案为：100； （2）根据题意列表如下： 第一人 A B C D 第二人 A — B — C — D — 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，即，， ∴A，B两人同时被选中的概率为． 【题型三：列表法或树状图法求概率（有放回）】 例6.（2024·江苏无锡·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘A和转盘B各一次．将转盘A上的数字记为x，转盘B上的数字记为y． (1)当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为__________； (2)求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图解决概率，解题的关键是： （1）转动一次转盘A有3种可能，根据概率公式即可得； （2）先利用树状图列点的所有可能的结果，再找出点恰好为一次函数图象上的点的结果，最后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵转盘A被平均分成三等份， ∴当转动转盘A时，指针指向数字1所在区域的概率为； （2）解：依题意，列表为： 1 2 3 2 3 4 共有9种等可能的结果，其中，， 在一次函数图象上， ∴点恰好为一次函数图象上的点的概率为． 【题型四：几何概型】 例7．如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形面积的比例得出概率是解题的关键，将对角线和的中点连接，设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为，利用几何概率即可求得答案． 【详解】解：作如图所示连接， 设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为， 那么，一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是． 故选∶D． 变式7.（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）小华用赵爽弦图设计了一个正方形气枪射击的靶盘，大正方形是由四个全等的直角边长分别为2和1的直角三角形和一个小正方形拼成的．若射击一次，则击中在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概型的求法，根据几何概型的意义，求出小正方形的面积，再求出大正方形的面积，算出其比值即可． 【详解】解：根据题意分析可得： 大正方形的边长为 ，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为 ． 故答案为：． 例8.一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为，设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义(反映随机事件出现的可能性大小)计算即可． 【详解】解：设每小格的面积为1， 由图知，整个面积为9，黑色区域的面积3， 最终停在黑色区域上的概率是． 故答案为：． 变式8.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为4，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 【题型五：数学知识中的概率计算】 例9.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了，二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率；首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵开口向下， ∴； ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴； 列表如下：     a b 1 2 5 1 2 5 ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为． 故选：B． 变式9.（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下，    一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，； ∴经过第二象限的概率是， 故选：． 例10.（2024·安徽阜阳·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有A，B两个格点，在网格的其他格点上任取一点C，恰能使为等腰直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使为等腰直角三角形的点． 【详解】解：如图， 可以找到个恰能使为等腰直角三角形的点，概率为：， 故选：B． 【题型六：概率计算与学科融合】 例11．（2024·安徽合肥·三模）新趋势・跨学科问题  生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们子女可以是双眼皮的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A a A a 由表格中，一共有4种等可能性的结果数，其中他们子女可以是双眼皮的结果数有3种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故选：D． 例12.（2024·安徽合肥·三模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解，如图，设甲中三个开关为A、B、C，乙中两个开关为D、E， 画树状图如下， 一个有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮的结果有，，共有2种， ∴小灯泡发亮的概率为. 故选：B 例13.（2024·安徽合肥·二模）化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案， 【详解】解：氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，分别用表示， 画树状图如图： 四种溶液中随机取出两种溶液，共有12种可能，其中两种溶液混合后产生气体的有：（）碳酸氢钠溶液和稀盐酸溶液、（）碳酸氢钠溶液和稀硫酸溶液4种情况，所以有气体生成的概率是． 故选：C． 【题型七：统计与概率】 例14．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： (1)本次抽测了_____名九年级学生，______； (2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ (3)在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】(1)， (2)该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人 (3) 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以即可得解； （3）先求出组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【详解】（1）解：本次抽测了名九年级学生， ； （2）解：组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人； （3）解：组人数为（人）， ∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生， ∴抽取的优秀学生人数为（人）， ∵其中恰好有2名女生， ∴组的男生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 变式14-1.（2024·安徽合肥·三模）深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团     B．足球、篮球社团    C．模拟联合国    D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； (3)在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 【答案】(1)＝20，见解析 (2)144° (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可； （2）由B类的占比乘以即可得到圆心角； （3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总人数（人）． A类人数（人）． ∵， ∴； 条形统计图如图： ． （2）∵， ∴“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为； （3）画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果． 所以（甲乙进入同一社团）． 变式14-2.（2024·安徽合肥·二模）某中学开展“我劳动，我光荣”主题演讲比赛，参加决赛的40名选手的成绩分成五组进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 决赛选手成绩统计表 分组 分数段 频数 第1组 2 第2组 第3组 12 第4组 14 第5组 4 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________，请在图中补全频数分布直方图； (2)40位参赛选手成绩的中位数落在第__________组； (3)选拔赛中成绩在第5组的选手有男生1名，女生3名，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)8，见解析 (2)3 (3) 【知识点】求中位数、频数分布表、列表法或树状图法求概率、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数、用列表法和画画树状图法求概率，能从统计图中获取信息，掌握用列表法活画树状图法求概率的方法是解此题的关键． （1）用样本容量减去其他组的频数即可求出的值，再补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的确定方法即可确定为参赛选手成绩的中位数落在第几组； （3）用列表法或画树状图法即可求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：由题意得： ， 补全的频数分布直方图如图所示； （2）解：因为40个数据的中位数是第20，21个数据的平均数，而第20，21个数据均落在第3组， 所以40位参赛选手成绩的中位数落在第3组； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率为． 变式14-3.（2024·安徽合肥·一模）某校七年级开展了一次知识竞赛活动，赛后随机抽取了七（1）、七（2）两班各20名同学的初赛成绩（单位：分）进行整理分析，给出了部分信息如下： 【信息一】七（1）班同学的样本成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 2 4 5 5 4 各组平均数/分 51 62 75 87 95 【信息二】七（1）班样本成绩在一组的是（单位：分）：73，73，73，77，79；七（1）班样本成绩的众数在这一组． 【信息三】七（2）班样本成绩的平均数为74.5分，中位数为76分． (1)七（1）班样本成绩的众数是________分，七（1）班样本成绩的中位数是________分，七（1）班样本成绩的平均数________分； (2)根据两个班样本成绩的平均数和中位数，请你判断哪个班的竞赛初赛成绩较好． (3)七（1）班抽取样本成绩在中共有两名男生和两名女生，若从中选择两位同学参加决赛，恰好男女生各一名的概率是多少？ 【答案】(1)73；78；77 (2)七（1）班竞赛成绩较好，因为平均数和中位数均大于七（2）班 (3) 【知识点】求众数、求中位数、利用平均数做决策、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义，分别求解即可； （2）根据两个班样本成绩的平均数和中位数作出判断即可； （3）根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，七（1）班样本成绩的众数在这一组，且样本成绩在一组的是（单位：分）：73，73，73，77，79， 其中73出现了3次，出现的次数最多， ∴七（1）班样本成绩的众数是73分； 将七（1）班样本成绩按从小到大排列，排在第10、11位的是77、79， ∴七（1）班样本成绩的中位数是； 结合七（1）班同学的样本成绩频数分布表， 可知七（1）班样本成绩的平均数为． 故答案为：73；78；77； （2）七（1）班样本成绩的平均数和中位数分别为77和78， 七（2）班样本成绩的平均数和中位数分别为74.5和76， 因为七（1）班的平均数和中位数均大于七（2）班， 七（1）班竞赛成绩较好； （3）根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中男女生各一名的结果有8种， ∴恰好男女生各一名的概率． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数以及列举法求概率等知识，熟练掌握相关定义和正确作出树状图是解题关键． 一、选择题 1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）“明天是晴天”这个事件是（　　） A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．随机事件 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．画一个三角形，其内角和是180° B．在一只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 C．抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 D．在纸上画两条直线，这两条直线平行 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件：“一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，进行判断即可． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、是不可能事件，不符合题意； C、是必然事件，不符合题意； D、是随机事件，符合题意； 故选D． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若标有，，的三只灯笼按如图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘），直到摘完，则最后一只摘到的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题的关键是熟练掌握列表法或画树状图法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到最后一只摘到的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有3种等可能的结果，其中最后一只摘到B的情况有2种， ∴最后一只摘到B的概率是． 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了，二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率；首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵开口向下， ∴； ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴； 列表如下：     a b 1 2 5 1 2 5 ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为． 故选：B． 5．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下，    一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，； ∴经过第二象限的概率是， 故选：． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）小梅和小华一起去参观某抗日烈士纪念馆，该纪念馆有两个入口，有四个出口．若小梅同学随机选择一个入口进入，在离开纪念馆时再随机选择一个出口离开，则小梅恰好从入口进入纪念馆，从或出口离开纪念馆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图展示所有8种等可能的结果，找出小梅恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有8种等可能的结果，小梅恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的结果数为2，所以小梅恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的概率． 故答案为：B． 7．（2024·安徽池州·模拟预测）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及反比例函数图象性质，根据点A在双曲线，得出，因为从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，所以得出共有种结果，满足条件有种，即可作答． 【详解】解：列树状图如图所示： 共有种等可能结果， ∵点A在双曲线， ∴得出 满足条件有种 ∴ 故选：B． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 列表可得出所有等可能的结果数以及取出的个数之和是的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 共有种等可能的结果，其中取出的个数之和是的倍数的结果有: , 共种, ∴取出的个数之和是的倍数的概率是， 故选: A． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：如图， 设开关分别为：， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：． 10．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】分式方程的实际应用、由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，分式方程的应用，设黑球的个数为个，根据频率可列出方程，解方程即可求得，从而得到答案，根据概率列出方程是关键． 【详解】设袋中有黑球个，由题意得：， 解得：，经检验，是分式方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有6个． 故选：B． 11．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）小明和同学做“抛质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表所示．若抛掷硬币的次数为2000，则“反面朝上”的频数最接近（    ） 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 A．1000 B．800 C．900 D．1180 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率． 【详解】解：观察表格发现：，，，，， 随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近， ∴当抛掷硬币的次数为2000时，“正面朝上”的频数最接近次． 故选：A． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上两点求解即可． 【详解】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于， 所以小球落在不规则图案上的概率约为， 则估计不规则图案的面积大约是， 故选：B． 13．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（    ）    A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可． 【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 二、填空题 14．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为 . 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键． 【详解】画树状图，如图所示： 由图知，随机闭合开关中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则P（能让两盏灯泡同时发光）， 故答案为：． 15．（2023·辽宁·中考真题）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 16．（2023·安徽安庆·一模）如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使的面积为1的概率是 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、利用网格求三角形面积 【分析】根据的面积为1，在网格上找到满足题意的点，再根据概率公式，即可． 【详解】解：任意放置一点（除点，）共有种可能的结果， 其中能使的面积为1的结果有4种， 使的面积为1的概率为：． 故答案为：．    【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是全面找到满足题意的结果，熟练掌握概率的公式． 三、解答题 17．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，求球落在阴影区域的概率． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】利用面积之比近似为概率解答即可． 本题考查了概率的公式计算，熟练掌握概率计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由图可知，阴影部分的面积是整个圆面积的一半， ∴球落在阴影区域的概率为：． 18．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． （2）原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（2024·安徽·模拟预测）为了解学生“校园安全”知识的掌握情况，学校随机抽样调查了部分学生的“校园安全”知识测试成绩作为样本，根据收集到的信息绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据统计图中所提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量是_________，扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角的度数为______； (2)请补全“校园安全”知识测试成绩条形统计图，并判断“校园安全”知识测试成绩的中位数在哪一组； (3)学校准备从“D组”中获得满分的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加市级“校园安全”知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60，； (2)见解析，C组 (3) 【知识点】求中位数、求扇形统计图的圆心角、由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据“C组”的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“A组”所占的百分比乘以，即可求出“A组”所对应扇形的圆心角的度数； （2）用调查的总人数减去“A组”“C组”和“D组”的人数，求出“B组”的人数，从而补全统计图； （3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）样本容量为：（人）． ∴扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角为：． 故答案为：60，； （2）“B组”的人数有：（人）， 补图如下： ∵样本中共有60个数据，第30位和第31位都在C组 ∴“校园安全”知识测试成绩的中位数在C组； （3）画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：． 【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率所求情况数与总情况数之比． 20.如图，A、B是边长1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点上任意放置点C（除去A、B两点），以A、B、C三点为顶点能画出等腰三角形的概率是 ．    【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】先数出所有的情况数和满足条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C在如图所示9个位置时，以A、B、C三点为顶点能画出等腰三角形， ∵一共有34种情况，能让为等腰三角形的有9种情况， ∴以A、B、C三点为顶点能画出等腰三角形的概率， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 21.（2024·安徽合肥·一模）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．    (1)本次抽取调查的学生共有______人，______，______，并补全条形统计图； (2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人； (3)九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 【答案】(1)50，20，10，详见解析 (2)260 (3) 【知识点】求条形统计图的相关数据、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再计算各项所占百分比即可得； （2）根据喜爱“乐器”兴趣班所占百分比，由总体人数求出喜爱“乐器”兴趣班的人数； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 喜欢“绘画”兴趣班的百分比为，； 喜欢“乐器”兴趣班的百分比为，； 喜欢“书法”兴趣班的人数：（人）；喜欢“乐器”兴趣班的人数：（人）） 补全条形统计图如图：    故答案为： 50，20，10． （2）喜欢“乐器”兴趣班的百分比为， 估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为（人） 故答案为：260； （3）把王红和李明分别记为a，b，其他3位同学分别记为c，d，e， 画树状图如下：    共有20种等可能的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种， 王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 22．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（中阴影部分），用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图．解决上列问题： （1）小球落在不规则图案上的概率约为 ； （2）不规则图案的面积大约为 ． 【答案】 0.45 【知识点】由频率估计概率、几何概率 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）根据图②可得频率稳定在，则概率为； （2）根据小球落在不规则图案上的概率约为列式求解即可． 【详解】解：（1）根据图②可得频率稳定在， ∴小球落在不规则图案上的概率约为， 故答案为：； （2）∵小球落在不规则图案上的概率约为， ∴不规则图案的面积大约为． 故答案为： ． 24.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：反应的化学方程式为， 和的原子个数比为，和的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$