1.5二次函数的应用（2）（教学课件）数学湘教版九年级下册

1.5 二次函数的应用（2） 主讲： 湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 学习目标 目标 1 目标 2 1.通过分析实际问题中变量之间的关系，建立二次函数模型.(难点） 2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 自学指导 阅读教材P30-31。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P30的的动脑筋,结合几何图形，利用二次函数几何图形的面积最值问题，并注意自变量的取值范围。 2、看P31的例，学会利用二次函数解决销售利润问题及最值问题，注意自变量的取值范围，并掌握做题的格式与步骤。 探究新知 动脑筋 如图，用8米的铝材做一个日字形窗框，试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S(m²)最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m， 其中 ． 则窗框的透光面积为：，． 配方得： ， ． 这时高为： ． ∴当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2． ∴当时，S取最大值. 要考虑是不是在自变量x的取值范围内 还可以怎么求最大值？ 探究新知 动脑筋 如图，用8米的铝材做一个日字形窗框，试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S(m²)最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨 1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 例题讲解 例 ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. 例题讲解 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 例题讲解 解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元。则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为(180-10x)件。单件利润为(30+x-20)元。则 y=(10+x)(180-10x), 即 y=-10x²+80x+1800(0≤x≤18). 配方得 y=-10(x-4)²+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960. 答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. 上涨价格不小于0且销售量不小于0 例题讲解 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？ 1.应当求出函数解析式和自变量的取值范围． 3.确定所求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内． 2.通过配方变形，或利用顶点公式求它的最大值或最小值． 例题讲解 基础检测 1. 用一条长40cm的铝丝围城一个面积为Scm²的矩形，则下列各数中不可能为S的值的是（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 D 解析：设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm，根据题意得 S=x(20-x)=-x²+20x=-(x-10)²+100. 当x=10时，S有最大值为100。故不可能为S的值的是120. 基础检测 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简） y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 基础检测 3、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，每件销售价的取值范围为15≤x≤19，那么一周可获得的最大利润是 (　　)    A．1 508元     B．1 556元  C．1 558元     D．1 560元 B 基础检测 4、如图，在一个直角三角形铁片的内部切割一个矩形零件ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形零件的一边AB＝x m，矩形零件的面积为y m2，则y的最大值为________． 300 基础检测 5.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。 (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元。 x+10 50010x 1. 小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎样剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？ 分析：正方形的面积随边长的变化而变化，如果要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长要满足特定的条件。设一个正方形的边长xcm，则所需彩带长为4xcm，另一段彩带的长为(72-4x)cm，从而另一个正方形的边长为(18-x)cm，由此建立函数模型即可解决问题。 一展身手 解：设围成的其中一个正方形的边长为xcm，则另一段彩带的长为(18-x)cm，围成两个正方形的面积和为y(cm²).则 y=x²+(18-x)². 即 y=2x²-36x+324(0≤x≤18). 配方得 y=2(x-9)²+162. 因为函数二次项系数2＞0，所以当x=9时， y有最小值162. 一展身手 当x=9时，18-x=9，两个正方形的周长均为36cm. 因此小妍要把彩带剪成相等的两段，即每段36cm时，两个正方形的面积的和最小，此时的面积这和为162cm². 一展身手 2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件。 （1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本） 解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） （2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） 配方得y=－100（x－3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元 即降价为3元时，利润最大 所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元。 答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元。 一展身手 19 挑战自我 1、在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A B C D (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） (2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米） (3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4米时，S最大值＝32 平方米 x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 2. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下表： 挑战自我 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元.则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元. 则 解得：k=－1，b＝40. （1）设此一次函数解析式为 . 所以一次函数解析为 . 解： 挑战自我 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 ∵－2＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∵15≤x≤19，∴当x＝19时，y取得最大值，最大值为－2×(19－20)2＋1 558＝1 556(元)．本题的易错点是忽略每件销售价的取值范围为15≤x≤19，误取当x＝20时得出最大值，为1 558元，错选C. 由题意可得DC∥AF，则△EDC∽△EAF，故＝，则＝，解得AD＝，故y＝AD·AB＝·x＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，即y的最大值为300. $$