24.6 正多边形与圆（第1课时 正多边形与圆）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.6 正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 了解正多边形的有关概念. 2. 理解并掌握正多边形与圆的关系.（重点） 情景导入 在七年级上册4.6节“用尺规作线段与角“ 的 ”数学活动”中，曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？ 72° 下面就来研究这样画的道理. 新知探究 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成 n 条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形. 新知探究 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且有 ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线.于是有： AB=BC=CD=DE=EA ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ A B C D E O P Q R S T 1 2 3 4 5 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 新知探究 由 AB=BC=CD=DE=EA ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ A B C D E O P Q R S T 1 2 3 4 5 得 AB=BC=CD=DE=EA ∴ ∠1=∠2. 同理，得 ∠2=∠3=∠4=∠5. 顶点ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ∴ BCE=CDA=3AB， ︵ 新知探究 A B C D E O P Q R S T 1 2 3 4 5 连接OA、OB、OC， 则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以点A、B、C为 切点的⊙O的切线. ∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 新知探究 又∵AB=BC，∴AB=BC. ∴△PAB≌△QBC. ∴∠P=∠Q，PQ=2PA. 同理可得∠Q=∠R=∠S=∠T, QR=RS=ST=TP=2PA. ∵五边形 PQRST 的各边都与⊙O相切， ∴五边形 PQRST 是⊙O的外切正五边形. ︵ ︵ A B C D E O P Q R S T 1 2 3 4 5 由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形． 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先 用量角器作一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的 n 等份点，从而作出正 n 边形（正五角星就是这样作出的）. （1）用量角器等分圆周 ① 正四边形的作法 如图（1），用直尺和圆规作⊙O 的两条互相垂直的直径，就可以把⊙O分成4等份，从而作出正四边形． 我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形图［图（2）］、正十六边形等 （2）用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周． ② 正六边形的作法 如图（1）.设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O 的一条直径 AB，然后分别以点 A，B 为圆心、R 为半径作弧，与⊙O 交于点 C，D，E，F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形． 如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等． 我们可以连接6等份圆周的相间两个点，得到正三角形，如图（2）. 课堂练习 1. 求下列正多边形每个内角及其外角的度数： （1）正五边形； （2）正八边形； （3）正十二边形． 课堂练习 （2）正八边形； （3）正十二边形． 2． 在一个半径为 2cm 的圆中，作出它的内接正六边形及内接正三角形． 解：正六边形作法： (1)以点O为圆心，以2为半径作圆； (2)以2为半径将圆6等分； (3)顺次连接6个等分点,所得六边形即为所求. 正三角形的作法：(1)(2)同上； (3)连接不相邻的3个等分点,所得三角形即为所求圆的内接正三角形. 3． 用量角器作出一个半径为 2cm 的圆的内接正五边形 解：作法：①作一个半径为2cm的圆； ②依次作出以半径为角的两边的五个72°角，即得到圆的五个等分点； ③然后依次连接五个等分点，所得五边形即为圆的内接正五边形. 分层练习-基础 1．给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形． 其中正确的是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 【点拨】①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；∴正确的为①④.故选A. 【答案】 A 2．求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形． 已知：如图，多边形ABCDE…是⊙O的内接多边形，AB＝BC＝CD＝DE＝….求证：多边形ABCDE…是正多边形. 3．下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O. 求作：⊙O的内接正方形． 作法：(1)作⊙O的直径AB； 【解】如图，四边形ACBD即为所作. 证明：由作图知CD为AB的垂直平分线， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝ ∠AOD＝90°，且CD经过圆心O， ∴AC＝BC＝BD＝AD， ∴四边形ACBD是菱形．由AB为⊙O的直径， 知∠ACB＝90°，∴四边形ACBD是正方形. 分层练习-巩固 4．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下面的方法近似地作出一个正七边形： 如图，已知AB为⊙O的直径． 步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O交于E，F两点，垂足为D. 步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次 截取BG＝GH＝HM＝MN＝NP＝PQ＝ED. 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ. 请根据上面的方法，用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但要保留作图痕迹． 【解】如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形. 分层练习-拓展 5. 尺规作图：如图，为 的直径. （1）求作：的内接正六边形 ； （要求：在所给圆中作图，不写作法，保留 作图痕迹） 解：的内接正六边形 如图所示. 5. 尺规作图：如图， 为 的直径. （2）在（1）中已画出的图形上连接 ，已知 的半径为4，求 的长.晓敏的解法如下，请你完善解答 过程中的两个空格的内容. 解：在中，连接 . 正六边形内接于 ， ， ， （____________________________ _____）（填推理的依据）. 为 的直径， ， . ， ______. 同弧所对的圆周角是圆心角的一半 课堂小结 正多边形与圆 正多边形 正多边形与圆的关系 各边相等 各角相等 缺一不可 内接正多边形 外切正多边形 【证明】∵AB＝BC＝CD＝DE＝…， ∴＝＝＝＝…， ∴点A，B，C，D，E，…将⊙O等分， ∴多边形ABCDE…是正多边形. ∴各边相等的圆内接多边形是正多边形. (2)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点； (3)作直线MN与⊙O交于C，D两点，顺次连接A，C，B，D，即四边形ACBD为所求作的圆内接正方形． 根据以上步骤作出图形，并证明：四边形ACBD为正方形． $$