05 第四章 探究课 斐波那契数列的常见性质-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步讲义(人教A版2019)

　斐波那契数列的常见性质 1．数列的数学模型 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)． 2．斐波那契数列的性质 (1)求和问题：①Sn＝an＋2－1． ②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n． ③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1． [证明]　①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1． ②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n． ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1． (2)平方和问题：＝anan＋1，即 [证明]　斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则＝a2a1， ＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1， ＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a3， …， ＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－1， 所以＝anan＋1， [典例]　(1)(多选)已知数列{an}为斐波那契数列，Sn为其前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a6＝8 B．S9＝54 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024 ＝a2 024 (2)同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．若a2 026＝a，那么数列{an}的前2 024项的和为________． (1)ACD　(2)a－1　[(1)对于A，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；对于B，S9＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＝88，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确；对于D，由性质＝anan＋1，故D正确． (2)由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023，可得a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝a2 024＋a2 025－a2＝a2 026－1＝a－1．故数列{an}的前2 024项的和为a－1．] 斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第________项． 2 026　[由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第2 026项．] 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$