11 第四章 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 整体感知 [学习目标]　1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算) 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (教师用书) 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增． 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题，文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味．题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [讨论交流]　 问题1．等比数列前n项和有哪些性质？ 问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 探究建构 探究1　等比数列前n项和的性质 探究问题　在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n? [提示]　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn． 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm． 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [新知生成] 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_____(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，__________仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是____． qnSm S3n－S2n qn 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 【教用·微提醒】　当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 【链接·教材例题】 例9　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比． [证明]　当q＝1时， Sn＝na1， S2n－Sn＝2na1－na1＝na1， S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 当q≠1时，Sn＝， S2n－Sn＝＝＝qnSn， S3n－S2n＝＝＝qn(S2n－Sn)， 所以＝＝qn． 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． [典例讲评]　1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn． (1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值； (2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ 把③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63． 法二：∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63． 法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63． (2)法一：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)． 由已知a1＝1，q≠1，有 由②÷①，得q＝2， ∴＝85，4n＝256，∴n＝4． 故公比为2，项数为8． 法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋an＝a1q＋a3q＋…＋an－1q＝(a1＋a3＋…＋an－1)q＝S奇·q， ∴q＝＝＝2．又Sn＝85＋170＝255， 由Sn＝，得＝255， ∴2n＝256，∴n＝8．∴公比q＝2，项数n＝8． [母题探究] 1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． [解]　法一：因为{an}为等比数列，且公比q≠－1，设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1． ∴Sn＝，S3n＝＝， ∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2， 又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)． ∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30． 2．将本例(1)中条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． [解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56，又∵q＝2， ∴b1＝＝8， ∴b3＝b1q2＝8×22＝32． 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32． 发现规律　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝__和S偶＋S奇＝____这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋____和S偶＋S奇＝______这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为____，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． q S2n qS偶 S2n＋1 qn 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　1．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A．32　　B．64　　C．72　　D．216 (2)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________． √ 120 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (1)B　(2)120　[(1)易得q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故公比为2， 所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，所以a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选B． (2)因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120．] 【链接·教材例题】 例12　某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…． (1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数； (3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)． 探究2　等比数列前n项和的实际应用 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)由题意，得c1＝1200，并且 cn＋1＝1.08cn－100． ① (2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成cn＋1＝rcn－rk＋k． ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 所以，(1)中的递推公式可以化为 cn＋1－1250＝1.08(cn－1250)． (3)由(2)可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，则 (c1－1250)＋(c2－1250)＋(c3－1250)＋…＋(c10－1250)＝≈－724.3． 所以 S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10－724.3＝11 775.7≈11 776． [典例讲评]　2．某市2024年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%．则 (1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)在哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？(lg 657≈2.82，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝． 所以2030年应投入的数量为 a6＝a1q5＝128×＝972(辆)． 故该市在2030年应该投入972辆电力型公交车． (2)设{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝256×， 由＞，得Sn＞5 000，即256×＞5 000，化简得＞，两边取常用对数，则n(lg 3－lg 2)＞lg 657－5lg 2，即n＞≈7.3，又n∈N*，所以n≥8． 所以该市到2032年年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的． 反思领悟　与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法 (1)构建数列模型． (2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列． (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　2．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%． (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)由题意得，小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n-1． 令n＝5，得b5＝4.8×(1＋8%)4＝4.8×1.084≈6.72(万元)． (2)由题意，小李在甲公司连续工作n年的工资总收入为4.2n＋×0.6，小李在乙公司工作10年的总收入为＋0.72×10， 则4.2n＋×0.6≥＋7.2， 整理得(n＋24)(n－11)≥0，解得n≥11， 所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入． 【链接·教材例题】 例10　如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． 探究3　等比数列的前n项和在几何图形中的应用 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； (2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则 a1＝25． 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 ak＋1＝ak． 因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列． 设{an}的前n项和为Sn． (1)S10＝＝50×＝． 所以，前10个正方形的面积之和为 cm2． (2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…．而 Sn＝＝50， 随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50． 所以，这些正方形的面积之和将趋近于50． [典例讲评]　3．(源于北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　设第n个正三角形的内切圆的半径为an． 因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故a1＝a tan 30°＝a·＝a，a2＝a1， … an＝an－1． 即数列{an}是首项a1＝a，公比q＝的等比数列，所以an＝a． 设前n个内切圆的面积和为Sn，则 Sn＝ ＝＋(a1q)2＋(a1q2)2＋…＋(a1qn-1)2] ＝ ＝ ＝π＝π． 因此，前n个内切圆的面积和为π． 反思领悟　解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题． (2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2 025． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知＝2×＝， 则an＝an－1， 所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝为公比的等比数列， 即an＝4×． S2 025＝＝8×＝8－． 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 013，偶数项之和为2 026，则这个数列的公比为(　　) A．8　　　　B．－2　　　　C．4　　　　D．2 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ D　[由＝q，可知q＝2．] 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 1 4 2．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　) A．1 025　　B．1 024　　C．10 250　　D．20 240 √ C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0， ∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 4 1 3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2014年每月的基础工资为2 100元，绩效工资为2 000元．从2015年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2025年的年薪为(参考数据：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(　　) A．9.3万元　　 B．10.4万元 C．12.14万元　　 D．14万元 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 4 1 C　[由题意可得，基础工资(单位：元)可构成以2 100为首项，210为公差的等差数列，绩效工资(单位：元)可构成以2 000为首项，1.1为公比的等比数列，则此人2025年每月的基础工资为2 100＋210×(12－1)＝ 4 410(元)，每月的绩效工资为2 000×1.111≈5 706(元)，则此人2025年的年薪约为12×(4 410＋5 706)≈12.14(万元)．] 2 4 3 题号 1 4．一个项数为偶数的等比数列{an}，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列{an}的通项公式an＝____________． 12×　[设数列{an}的首项为a1，公比为q， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数， 所以q＝＝．又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以·q3＝64，即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×．] 12× 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的性质． (2)等比数列前n项和公式的实际应用． (3)等比数列前n项和公式的综合应用． 2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法． 3．警示牌：应用公式和性质时易忽略其成立的条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等比数列的前n项和有哪些重要性质？ [提示]　(1)若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)． (2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)； 若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． (3)等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(n为偶数且q＝－1时除外)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2．应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？ [提示]　(1)等比数列前n项和公式中项数的判断易出错． (2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为(　　) A．4　　B．6　　C．8　　D．10 课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 52 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由题意得，公比q＝＝2， 所以Sn＝＝341＋682＝1 023，解得n＝10． 故选D．] 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝(　　) A．130　　B．160　　C．390　　D．400 √ 14 15 D　[由题意知q≠－1，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 54 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．(多选)设数列{an}，{bn}都是等比数列，则(　　) A．若cn＝anbn，则数列{cn}也是等比数列　 B．若dn＝，则数列{dn}也是等比数列　 C．若{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列　 D．在数列{an}中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 55 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 ABD　[数列{an}，{bn}都是等比数列，设公比分别为q1，q2(q1q2≠0)， 对于A，由cn＝anbn，得＝＝q1q2，所以数列{cn}为等比数列，A正确； 对于B，由dn＝，得＝＝·＝q1·＝，所以数列{dn}为等比数列，B正确； 对于C，令an＝(－1)n，则S2＝S4－S2＝S6－S4＝0，不成等比数列，C错误； 对于D，＝为常数，D正确．故选ABD．] 14 15 56 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．等比数列{an}共有2n＋1项，其中a1＝2，偶数项和为84，奇数项和为170，则n＝(　　) A．3　　B．4　　C．7　　D．9 √ 14 15 A　[∵等比数列{an}共有2n＋1项，∴等比数列中偶数项有n项，奇数项有n＋1项．由题意得q≠±1，∴偶数项和为＝84，∴＝42q①，奇数项和为＝170，∴＝85②，两式相减得－1＝42q－85，解得q＝2，∴＝84，即4n＝64，解得n＝3．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 57 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的量为(　　) A．升　　B．升　　C．升　　D．升 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 58 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 D　[5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝， 所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝．故选D．] 14 15 59 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 14 15 2　[设等比数列{an}的前2n项中奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶． 由题意得 ∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 60 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．各项都是正实数的等比数列{an}，前n项和记为Sn．若S10＝10，S30＝70，则S40＝________． 14 15 150　[法一：设首项为a1，公比为q，由题意，知q≠±1，所以 由以上两式相除，得q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝ －3(舍去)．代入①，得＝－10，所以S40＝＝－10×(－15)＝150． 150 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 61 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 14 15 法二：易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30构成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，所以S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10×(1＋2＋22＋23)＝150．] 62 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米． 14 15 752　[设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列， a1＝128，q＝，S5＝＝248， 共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．] 752 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．某村拟加大资金投入，帮助村民扩大牧场规模并增加牛的存栏数．已知2024年年初牧场牛的存栏数为240，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出20头牛，设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…． (1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系； (2)求S10＝c1＋c2＋…＋c10的值(精确到1)． (参考数据：1.089≈2，1.0810≈2.16，1.0811≈2.33) 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)由题意得，cn＋1＝1.08cn－20． (2)由(1)得，cn＋1－250＝1.08(cn－250)， 则＝1.08，又c1－250＝－10， 所以数列{cn－250}是以－10为首项，1.08为公比的等比数列， 则cn－250＝－10×1.08n-1， 所以cn＝－10×1.08n-1＋250， 所以S10＝c1＋c2＋…＋c10＝10×250－10×≈2 355． 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．＝＋1 B．若＝9，则q＝2 C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2 D．若＝9，则q＝3 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 ABC　[∵q≠1，∴＝＝1＋qm． 而＝＝qm，∴A正确； B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2，故B正确； C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8． 又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确； D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC．] 14 15 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过(　　) A．3分钟　　 B．4分钟 C．5分钟　　 D．6分钟 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 B　[设an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得an＝an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝30． 所以前n分钟热气球上升的总高度Sn＝＝90，因为Sn＋1－Sn＝90－90＝90＞0，所以数列{Sn}为单调递增数列，又S3＝90≈63.3＜70，S4＝90≈72.2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度．故选B．] 14 15 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地．则下列说法正确的是(　　) A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 D　[由题意可知，该人每天走的路程构成了公比q＝的等比数列{an}． 设数列{an}的前n项和为Sn，则S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192，则an＝192×． a5＝192×＝12，则该人第五天走的路程为12里，故A错误； a3＝192×＝48，则该人第三天走的路程为48里，故B错误； S3＝＝336，则该人前三天共走的路程为336里，故C错误； 由S6－S3＝378－336＝42，可知该人最后三天共走的路程为42里，故D正确．故选D．] 14 15 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前三个音的频率总和为A1，前六个音的频率总和为A2，则＝________． 14 15 1＋ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 72 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 1＋　[由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等．设第一个音的频率为a1，相邻的两个音之间的频率之比为q(q≠1)，则可以将每个音的频率看成等比数列{an}，共13项，且＝q． 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以a13＝a1q12＝2a1，即q12＝2，所以q3＝． 因为A1＝，A2＝，所以＝＝＝1＋q3＝1＋．] 14 15 73 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nan，求{bn}的前n项和Tn． 14 15 [解]　(1)∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189． S6≠2S3，∴q≠1，则两式作商得1＋q3＝9， 即q3＝8，得q＝2，a1＝3，则an＝3×2n-1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 74 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·3×2n-1， ∴当n≥2时，＝＝－2， 即{bn}是首项为－3，公比为－2的等比数列， 则Tn＝＝＝－1＋(－2)n． 14 15 75 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图1所示．如图2所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的： 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 76 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图2阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝_____________． 14 15 4－4× 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 77 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 4－4×　[设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an， 则a1＝4，a2＝＝a1， a3＝＝a2＝a1， …， an＝＝an－1⇒＝， 所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则an＝4×． 14 15 78 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 由题意可得， S△AHE＝， 即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列， Sn＝＝4×＝4－4×，n∈N*．] 14 15 79 $$