10 第四章 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 整体感知 [学习目标]　1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算) 2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模) 第1课时　等比数列的前n项和公式 (教师用书) 如今手机越来越普遍，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [讨论交流] 问题1．等比数列的前n项和公式是什么？ 问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？ 问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 探究建构 探究1　等比数列的前n项和公式 探究问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ [提示]　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比，可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn， 第1课时　等比数列的前n项和公式 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1， 上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn-1相互转化． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [新知生成] 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 【教用·微提醒】　(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 【链接·教材例题】 例7　已知数列{an}是等比数列． (1)若a1＝，q＝，求S8； (2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8； (3)若a1＝8，q＝，Sn＝，求n． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [解]　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝． (2)由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝， 即q8＝． 又由q＜0，得q＝－， 所以S8＝＝． (3)把a1＝8，q＝，Sn＝代入Sn＝，得 ＝． 整理，得 ＝． 解得n＝5． 【链接·教材例题】 例8　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，求公比q． [解]　若q＝1，则＝＝2≠，所以q≠1． 当q≠1时，由＝，得·＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 整理，得 1＋q5＝， 即q5＝－． 所以q＝－． [典例讲评]　1．(1)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝________． (2)在等比数列{an}中， ①若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； ②若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； ③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q． 189 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 (1)189　[∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．] (2)[解]　①由Sn＝， an＝a1qn-1以及已知条件得 由②得，a1·2n＝192，∴2n＝． 由①得，189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3． 又∵2n-1＝＝32，∴n＝6． ②设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0，∴④÷③得，q3＝， 即q＝，∴a1＝8， ∴a4＝a1q3＝8×＝1， S5＝＝＝． ③因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q＝2或． 反思领悟　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学以致用]　1．(1)(源自北师大版教材)①已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3．求S3； ②求等比数列1，，…的前10项的和． (2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，am＝125，求Sm． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [解]　(1)①由等比数列的前n项和公式，得 S3＝＝＝26． ②因为公比q＝，所以S10＝＝＝． (2)设该等比数列的公比为q， 由a4－a2＝24，a2＋a3＝6， 得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6， 解得a2＝1，q＝5，所以a1＝＝， 所以an＝a1qn-1＝5n-2，令am＝125，解得m＝5， 所以S5＝＝． 探究2　等比数列前n项和公式的函数特征 探究问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ [提示]　Sn＝＝－qn＋， 设A＝－，则Sn＝Aqn－A． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [新知生成] 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝___，Sn是n的正比例函数． na1 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 【教用·微提醒】　(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列． [解]　法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1． 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列． [母题探究]　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________． 　[∵Sn＝3n+1－2k＝3×3n－2k， 且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 反思领悟　(1)已知Sn，通过an＝ 求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学以致用]　2．等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t为常数且mt≠0)，则＝________． －4　[法一：a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，即m＝－4t， 故＝－4． 法二：Sn＝m·4n-1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4．] －4 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 探究3　错位相减法求和 [典例讲评]　3．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1． 因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝． (2)由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋…＋，① Tn＝＋…＋，② ①－②得Tn＝＋…＋， 即Tn＝＝， 整理得Tn＝， 则2Tn－Sn＝2＝－＜0，故Tn＜． 反思领悟　用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学以致用]　3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1． (1)试求数列{an}的通项公式； (2)求Sn． [解]　(1)根据an＋1＝2an＋2n+1，两边都除以2n+1，可得＝＋1，所以＝1，数列是公差为1的等差数列，首项为＝， 故＝＋(n－1)×1＝n－，可得an＝×2n＝(2n－1)×2n-1． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 (2)Sn＝×2＋×22＋×23＋…＋×2n， 两边都乘2，得2Sn＝×22＋×23＋…＋×2n+1， 以上两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－×2n+1＝1＋×2n+1＝×2n+1－3， 所以Sn＝×2n+1＋3＝(2n－3)×2n＋3． 【教用·备选题】　1．求数列，…，，…的前n项和． [解]　设Sn＝＋…＋，① 则Sn＝＋…＋，② ①－②，得Sn＝＋…＋，即Sn＝＋…＋＝＝＋1－－＝． 所以Sn＝3－＝3－． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． [解]　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1 ＝－nxn+1，∴Sn＝． 综上可得，Sn＝ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A． B． C． D． 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝．] 第1课时　等比数列的前n项和公式 2 3 题号 1 4 2．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(　　) A．6　　B．7　　C．8　　D．9 √ C　[由题意知q4＝＝16且q＞0，则 q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝510，解得n＝8．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 2 3 题号 4 1 3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．　　B．　　C．15　　D．40 C　[若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 2 4 3 题号 1 4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________． －21　[由a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2， 所以S6＝＝＝＝－21．] －21 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的推导． (2)等比数列前n项和公式的基本运算． (3)等比数列前n项和公式的结构特点． 2．方法链：公式法、错位相减法． 3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何使用等比数列前n项和公式求和？ [提示]　(1)等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和公式是如何推导的？ [提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ① 用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 整理得Sn＝(q≠1)． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 3．错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？ [提示]　(1)适用范围：它主要适用于{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错项对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 阅读材料·拓展数学视野 棋盘上的麦粒 一般认为，国际象棋起源于古印度．国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者提出的要求是：在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在 第1课时　等差数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 50 第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在第4个格子里放上23颗麦粒……每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王将棋盘上的麦子都给他．国王觉得这个要求并不过分，欣然同意．假设每1 000粒麦子的质量为40 g，猜想一下，国王有能力满足发明者的要求吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 51 阅读材料·拓展数学大视野 根据等比数列前n项和公式可知，发明者所要求的麦粒数为1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．从而可知，发明者要求的麦子质量为×40 g≈7.38×1014 kg．也就是说，发明者要求的麦子质量约为7.38×1011吨，即7 380亿吨．2016年，我国大宗粮油作物(包括小麦、水稻)产量约为5.4亿吨，全球大宗粮油作物总产量约为27.8亿吨．古印度的那位国王能满足发明者的要求吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 52 一、选择题 1．等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝(　　) A．32　　B．31　　C．64　　D．63 课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 第1课时　等比数列的前n项和公式 53 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[设数列{an}的公比为q， 则解得 ∴S5＝＝31．故选B．] 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　) A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8 C．＝8 D．＝9 √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 AD　[设等比数列{an}的公比为q，∵a6＝8a3， ∴a3q3＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2． 因此A正确，B不正确．又S6＝＝63a1，S3＝＝7a1， ∴＝9，因此C不正确，D正确．故选AD．] 14 15 56 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　B．12　　C．6　　D．3 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 57 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 D　[设等比数列的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则解得 所以a6＝a1q5＝3． 故选D．] 58 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　) A．2　　B．－或2 C．　　D．或－2 √ 14 15 A　[设等比数列{an}的公比为q．因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，所以3a1q2＝5a1q＋2a1．又因为an＞0，所以3q2＝5q＋2，解得q＝2或q＝－(舍)．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 59 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1．若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12　　B．20　　C．11　　D．21 √ 14 15 C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an． 因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0． 因为q≠1，所以q＝－2， 故S5＝＝11，故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 60 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列．(填“是”或“不是”) 14 15 是　[等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)， 所以Sn＝qn， Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)符合上式形式，此时A＝， 故数列{an}是等比数列．] 是 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 61 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________． 14 15 5　3　[由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得解得] 5 3 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 62 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知数列{an}，an＝22n-1，其前n项的和为Sn，则S5＝________． 14 15 682　[由题意an＝22n-1，n∈N*， ∴＝＝22＝4，n∈N*， ∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝4的等比数列， ∴S5＝＝＝682．] 682 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4． (1)证明：{an＋1}是等比数列； (2)求Sn． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)证明：已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4①，则Sn＝3Sn－1＋2(n－1)＋4②， 由①－②可得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，又a1＝4，则S2＝4＋a2＝3×4＋6， 即a2＝14，则a2＝3a1＋2，所以an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＋1＝5，即{an＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可得，an＋1＝5×3n-1，即an＝5×3n-1－1， 则Sn＝5(30＋31＋…＋3n-1)－n＝－n＝－n． 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A．ac＜0 B．b是数列{an}的公比 C．数列{Sn}可能为等比数列 D．数列{an}不可能为常数列 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 ABD　[对于A，B，当q≠1时，Sn＝＝·qn，则c＝，a＝－，b＝q，所以a·c＝＜0，故AB正确；对于C，若Sn为等比数列，则其通项公式必须满足a·bn的形式，即c＝0，但此时a＝0，显然不符合，故C不正确； 对于D，设等比数列公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数形式，不是指数形式，故不会是常数列，所以D正确． 故选ABD．] 14 15 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．记Sn为等比数列{an}(an＞0)的前n项和，且a1a3＝16，S1，S2，S3成等差数列，则S6＝(　　) A．126　　B．128　　C．254　　D．256 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[设等比数列{an}的公比为q，则a1＞0，q＞0， 由题意可得 即 整理得则解得 所以S6＝＝126．故选A．] 14 15 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．(多选)设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和．若a2＝，a3a5＝，则(　　) A．a4＝　　 B．S3＝ C．an＋Sn为常数　　 D．{Sn－2}为等比数列 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 ACD　[设{an}的公比为q(q＞0)，则a2q·a2q3＝，解得q＝，故an＝a2qn-2＝，则a1＝1，Sn＝＝2－．对于A，a4＝＝，故A正确；对于B，S3＝2－＝，故B错误；对于C，an＋Sn＝＋2－＝2为常数，故C正确；对于D，由Sn－2＝－＝，n≥2，可得{Sn－2}为等比数列，故D正确．故选ACD．] 14 15 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝________． 14 15 －85　[等比数列{an}中，S4＝－5，S6＝21S2，显然公比q≠1， 设首项为a1，则＝－5，① ＝，② 化简②得q4＋q2－20＝0，解得q2＝4或q2＝－5(不合题意，舍去)，代入①得＝， 所以S8＝＝(1－q4)(1＋q4)＝×(－15)×(1＋16)＝－85．] －85 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 72 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1(x≠0)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 73 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n， ∴an＝ 当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n． 14 15 74 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1， ∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，① 则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．② ①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn． 当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn， ∴Tn＝； 当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n． 14 15 75 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝1－Sn．问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等比数列的前n项和公式 76 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1． 于是，当n≥2时，有 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)． 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列． 因此，an＝a1·3n-1(n∈N*)． 14 15 77 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)存在．因为Sn＝＝a1·3n－a1， 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n． 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 即a1＝－2． 所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列． 14 15 78 $$