01 第四章 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 整体感知 [学习目标]　1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理) 3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理) 第1课时　数列的概念与简单表示法 (教师用书) 某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？ 年份 1 2 3 4 5 6 分枝数 1 1 2 3 5 ？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [讨论交流]　 问题1．数列的概念是什么？ 问题2．什么是数列的通项公式？ 问题3．数列与函数之间有什么关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 探究建构 探究1　数列的概念与分类 探究问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807． (2)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025． 第1课时　数列的概念与简单表示法 (3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．” (4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－2，4，－8，16，…． 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ [提示]　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)项数有限，(3)(4)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项没有发生变化，(3)项呈现周期性的变化，(4)项的大小交替变化． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [新知生成] 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第__项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第__项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用____表示．其中第1项也叫做____． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为____． 确定的顺序 项 1 2 an 首项 {an} 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数　 有穷数列 项数____的数列 无穷数列 项数____的数列 按项的 变化趋势　　 递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 有限 无限 大于 小于 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 分类标准 名称 含义 按项的 变化趋势　　 常数列 各项都____的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项____它的前一项，有些项____它的前一项 相等 大于 小于 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 【教用·微提醒】　(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [典例讲评]　1．已知下列数列： (1)2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024； (2)1，，…，，…； (3)1，－，…，，…； (4)1，0，－1，…，sin ，…； (5)2，4，8，16，32，…； (6)－1，－1，－1，－1． 其中，有穷数列是______，无穷数列是___________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号) (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(5) (2) (6) 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 (1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(5)　(2)　(6)[(1)是有穷数列且是递增数列；(2)是无穷、递减数列；(3)是无穷数列；(4)是无穷数列；(5)是递增数列且是无穷数列；(6)是有穷数列且是常数列．] 反思领悟　数列的判定方法及其分类 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； (2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而判断它是有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学以致用]　1．给出下列数列： (1)1，2，22，23，24，…，263； (2)－，－，－，…，－，…； (3)1，2，3，…，10 000； (4)－1，1，－1，1，－1，1，…； (5)1，2，3，5，8，13，21，…； (6)，…． 其中，________为有穷数列，____________为无穷数列，________为递增数列，________为递减数列，________为常数列．(填序号) (1)(3) (2)(4)(5)(6) (1)(3)(5) (2) (6) 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 (1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根据数列的分类，容易得到，(1)(3)为有穷数列，(2)(4)(5)(6)为无穷数列，(1)(3)(5)为递增数列，(2)为递减数列，(6)为常数列．] 探究2　数列的通项公式 探究问题2　我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ [提示]　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(4)，an＝，n∈N*． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [新知生成] 如果数列{an}的第n项an与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)． 【教用·微提醒】　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 序号n 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 【链接·教材例题】 例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－，－，…；(2)2，0，2，0，…． [解]　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝． (2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1＋1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [典例讲评]　2．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1，3，7，15，31，…； (2)9，99，999，9 999，…； (3)－，－，－，…； (4)1，2，1，2，1，2，…． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1． (2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1． (3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n． (4)法一：可写成分段函数形式： an＝ 法二：an＝＝， 即an＝． [母题探究]　(1)根据本例中的第(2)题，试写出前4项为3，33，333，3 333的一个通项公式． (2)试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的一个通项公式． [解]　(1)由本例中的第(2)题可知，每一项乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N*． (2)因为a1＝1－0.1；a2＝1－0.01＝1－(0.1)2； a3＝1－0.001＝1－(0.1)3；a4＝1－0.000 1＝1－(0.1)4， 所以an＝1－(0.1)n，n∈N*． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 反思领悟　根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或 (－1)n+1调整． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学以致用]　2．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式． (1)2，4，6，8，10，…； (2)1，3，5，7，9，…； (3)0，2，0，2，0，…； (4)－，－，－，…． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n． (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1． (3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为 an＝ (4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n． 探究3　数列与函数的关系 探究问题3　回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，并思考：数列可以用上述方法表示吗？ [提示]　可以．但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [新知生成] 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 ____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照______________________时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______ 正整数集N* 从小到大的顺序依次取值 列表法 图象法 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 【链接·教材例题】 例1　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． (1)an＝；(2)an＝cos ． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15． 图象如图4.1-2(1)所示．   (2)当通项公式中的n＝1，2， 3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1． 图象如图4.1-2(2)所示． [典例讲评]　3．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值，并在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f (x)的最大值，并与an的最大值比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　由－2n2＋13n＞0，可得0＜n＜． 又因为n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式an，可得a1＝11，a2＝18，a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6， 图象为如图所示中的点， 根据图象得a3最大，且a3＝21． 因为f (x)＝－2x2＋13x＝－2＋， 当x＝时，f (x)max＝． f (x)的图象是如图所示的抛物线，显然＞21． 因为3＜＜4，且离3较近，所以当n＝3时，an取到最大值a3＝－2×32＋13×3＝21． 【教用·备选题】　已知函数f (x)＝2x－2－x，数列{an}满足f (log2an)＝－2n． (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． [解]　(1)∵f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝ ＝－2n，∴an－＝－2n， ＋2nan－1＝0，解得an＝－n±． ∵an＞0，∴an＝－n． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 (2)数列{an}是递减数列，理由如下： ∵＝＝＜1，an＞0， ∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列． 反思领悟　求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足 (n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学以致用]　3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A．　　　B．　　　C．4　　　D．0 √ D　[an＝－3＋，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 【链接·教材例题】 例3　如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2＋2n＝120．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解． 探究4　数列通项公式的应用 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　令n2＋2n＝120， 解这个关于n的方程，得 n＝－12(舍去)，或n＝10． 所以，120是数列{an}的项，是第10项． [典例讲评]　4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n． (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ [思路引导]　(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值． (2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可． (3)令an＜0，解出n的范围，进而求n． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2． 因为∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项． (3)an＝n(3n－28)，令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． 反思领悟　求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学以致用]　4．数列的第5项为(　　) A．0 B．－1 C． D．－ C　[由题意，可知数列的第5项为(－1)5cos ＝－1× ＝．故选C．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 2 4 3 题号 1 应用迁移 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，… B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－，－，－，… D．1，，…， √ C　[A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．] 第1课时　数列的概念与简单表示法 2 3 题号 1 4 2．数列，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ √ D　[根据题意，数列，…， 即，…， 故该数列的一个通项公式可以为．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 2 3 题号 4 1 3．(多选)下面四个结论中正确的是(　　) A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到实数集上的函数 B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 C．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} D．对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列 ABD　[{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，C项错误；ABD正确．故选ABD．] √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 2 4 3 题号 1 4．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3等于________． 20　[根据题意，数列{an}的通项公式为 an＝ 则a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，则a2·a3＝20．] 20 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 1．知识链：(1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系． 2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法． 3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面． (2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？ [提示]　按项数可分为：有穷数列和无穷数列． 按项的变化趋势可以分为：递增数列、周期数列、递减数列、常数列和摆动数列． 相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列． [提示]　数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性． 2．你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 3．所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出一个例子？ [提示]　并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…． 当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1， …，可以用an＝ 也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 课时分层作业(一)　数列的概念与简单表示法 题号 1．是数列，…的(　　) A．第6项　　B．第7项　　C．第8项　　D．第9项 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 A　[由题意可知，该数列为，…， 故是数列，…的第6项．故选A．] 第1课时　数列的概念与简单表示法 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．数列－，…的一个通项公式为an＝(　　) A．(－1)n· B．(－1)n+1· C．(－1)n· D．(－1)n+1· √ 14 15 C　[通过观察可知，a1＜0，(－1)1＝－1，(－1)2＝1，所以BD选项错误． 对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数5，所以A选项错误． 故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 52 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．下列说法中正确的是(　　) A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0，2，4，6，…可记为{2n} √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 53 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 C　[对于A，常数列既不是递增数列也不是递减数列，故A错误； 对于B，数列是按顺序排列的，故B说法错误； 对于C，数列的第k项是1＋，故C正确； 对于D，数列中的第1项无法用an＝2n(n∈N*)表示，故D错误． 故选C．] 14 15 54 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1－1，则下列各数是{an}中的项的是(　　) A．2 047　　B．2 048　　C．2 044　　D．2 041 √ 14 15 A　[分别令2n-1－1等于选项中给出的4个数，只有A选项中，求得的n为正整数．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 55 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，那么“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 56 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 A　[当k≥－2时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n－1≥1＞0， ∴数列{an}为递增数列，即由“k≥－2”可以推出“{an}为递增数列”， 当数列{an}为递增数列时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k＞0， ∴k＞－(2n＋1)恒成立，又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3， ∴k＞－3，即由“{an}为递增数列”推不出“k≥－2”， ∴“k≥－2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 故选A．] 14 15 57 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________． 14 15 　12　[， 由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(负值舍去)．] 12 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 58 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．数列－，…的一个通项公式是an＝________． 14 15 　[＝(－1)1×＝(－1)2×＝(－1)3× ＝(－1)4×，所以一个通项公式是an＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 59 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an的最小值为________，此时n的值为________． 14 15 　3　[依题意，an＝ 当n≤3且n∈N*时，an单调递减，所以最小值为a3＝； 当n≥4且n∈N*时，an单调递增，所以最小值为a4＝； 综上，an的最小值为，此时n的值为3．] 3 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象． (1)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f (x)＝2x＋1的值构成的数列{an}； (2)数列{an}的通项公式为an＝ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 61 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)根据题意，依次将x的值代入函数f (x)＝2x＋1， 可得数列的前10项依次为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21， 其图象如图： 14 15 62 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)an＝ 则数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11， 图象如图： 14 15 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　) A．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列 B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列 √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 BD　[对于A，若数列an的前几项为－2，－1，0，1，2，3，则{an·an＋1}不是递增数列，故A错误； 对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正确； 对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…， 设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)， 因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C错误； 对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝＝＞0， 因此数列{an}是递增数列，故D正确． 故选BD．] 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知函数f (x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝ f (n)(n∈N*)，则下列选项错误的是(　　) A．f (x)的值域是R B．an的最小值为a1＝ C．an＜1 D．数列{an}是递增数列 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[由于函数f (x)＝，所以f (n)＝＝1－2×， 故an＝1－2×，由于∈， 所以an＝1－2×∈，故A错误，C正确； 由于f (x)＝＝1－2×，故函数f (x)为增函数，故数列{an}是递增数列，故D正确；由于函数f (x)为增函数，故an的最小值为a1＝，故B正确．故选A．] 14 15 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 D　[由题意可得an＝＝．根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．当n＝3时，n＋＝，a3＝； 当n＝4时，n＋＝，a4＝，因为＜， 所以an的最大值是a4＝．故选D．] 14 15 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．已知数列{an}的通项公式为an＝若ak＝a20(k≠20)，则k＝________． 14 15 1 023　[因为an＝所以a20＝＝210． 因为ak＝a20(k≠20)，显然k不能为偶数，则k为奇数，即k＋1＝210＝1 024，解得k＝1 023．] 1 023 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4． (1)30是不是数列{an}中的项？70呢？ (2)数列中有多少项是负数？ (3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值． 14 15 [解]　(1)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，无正整数解，则30不是数列的项．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，则70是数列的第11项． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，则n＝2或3，所以数列中有2项是负数． (3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝－， 故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2． 14 15 72 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去， 记OA1，OA2，…，OAn，… 的长度构成数列{an}，则此 数列的通项公式为an＝________． 14 15 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　数列的概念与简单表示法 73 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)为直角三角形＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．] 14 15 74 $$