23 第二章 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标]　1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算) 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算) (教师用书) 工程建设中，我们常常遇到这样的决策问题：如在某铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，从经济和时间投入上来看，我们当然应该修一条从仓库垂直于铁路方向的公路．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，那么怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ [讨论交流]　 问题1．你能推导出点到直线的距离公式吗？ 问题2．当直线与坐标轴垂直时，如何求点到直线的距离？ 问题3．应用点到直线的距离公式时，必须将直线方程化为一般式吗？ 问题4．你能把求两条平行直线间的距离转化为求点到直线的距离吗？ 问题5．你会推导两条平行直线间的距离公式吗？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　点到直线的距离 探究问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？ [提示]　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图 ，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与直线l的方程联立方程组， 解得交点Q， ∴|PQ|＝． 当A＝0时，直线l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝； 当B＝0时，直线l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝． 所以当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立． 公式特征：(1)点到直线的距离公式中，直线的方程要转化为一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是将点P(x0，y0)的坐标代入一般式左边所得值的绝对值，分母是一般式一次项系数平方和的算术平方根． [新知生成] 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 【链接·教材例题】 例5　求点P(－1，2)到直线l：3x＝2的距离． [分析]　将直线l的方程写成3x－2＝0，再用点到直线的距离公式求解． [解]　点P(－1，2)到直线l：3x－2＝0的距离 d＝＝． 【链接·教材例题】 例6　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积． [分析]　由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． [解]　如图2.3-7，设边AB上的高为h，则 S△ABC＝h． |AB|＝＝2． 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离． 边AB所在直线l的方程为＝， 即x＋y－4＝0． 点C(－1，0)到直线l：x＋y－4＝0的距离 h＝＝． 因此，S△ABC＝×2×＝5． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0． [解]　(1)根据点到直线的距离公式，得 d＝＝． 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为． (2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0． 根据点到直线的距离公式，得 d＝＝＝． 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为． (3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴， 所以d＝＝． 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为． [母题探究]　求过点P(－2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ [解]　设原点为O，连接OP(图略)，易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线． 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2， 所以直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0，即直线2x－y＋5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为＝． 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [学以致用]　1．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A．－ B．－ C． D． AB　[由题意知点A和点B到直线l的距离相等，得到＝， 化简解得a＝－或a＝－．故选AB．] 探究2　两条平行直线间的距离 探究问题2　如图所示，已知两平行直线l1，l2的方程，并且从l1上任选一点P(x0，y0)，思考如何求出l1，l2的距离？ [提示]　只需求出P(x0，y0)到l2的距离，即为直线l1，l2的距离． [新知生成] 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 【教用·微提醒】　(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况． (2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式． 【链接·教材例题】 例7　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离． [分析]　在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离． [解]　先求l1与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4，0)． 点A到直线l2的距离 d＝＝＝， 所以l1与l2间的距离为． 例8　求证：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为 d＝． [分析]　两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离． [证明]　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即 d＝． 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此 d＝＝＝． [典例讲评]　2．若直线l1：ax－y－2＝0与l2：x－ay＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 D　[直线l1：ax－y－2＝0与l2：x－ay＋2＝0平行，则解得a＝1， 故l1：x－y－2＝0与l2：x－y＋2＝0之间的距离d＝＝2． 故选D．] 　求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． [学以致用]　2．已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为(　　) A．0 B． C． D． C　[由题意可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1，且AB⊥l2时，|AB|有最小值， 其最小值为平行直线 l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x＋2y－4＝0， 所以|AB|min＝＝． 故选C．] 探究3　平行直线间的距离的最值问题 [典例讲评]　3．两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． [解]　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3； 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d≤3，即所求的d的取值范围是(0，3]． (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3． 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0． 　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． [学以致用]　3．已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________． x＋2y－3＝0　[当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1，1)，B(0，－1)． 所以kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0．] 1．已知点A(2，1)，点B在直线x－y＋3＝0上，则|AB|的最小值为(　　) A． B． C．2 D．4 C　[|AB|的最小值即为点A到直线x－y＋3＝0的距离， 即＝＝2．故选C．] 2．已知两条平行直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋C＝0(C＜0)间的距离为4，则C的值为(　　) A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10 B　[∵两条平行直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋C＝0(C＜0)间的距离为4， ∴＝4，解得C＝－2或C＝14，∵C＜0，∴C的值为－2． 故选B．] 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B． C． D． D　[直线3x＋2y－3＝0，即6x＋4y－6＝0， 由两直线平行知m＝4， 故两平行线间的距离d＝＝＝．故选D．] 4．已知点P(－1，b)到直线2x＋y－1＝0的距离为2，则b＝________． 3±2　[由题意可得＝2⇒b＝3±2．] 1．知识链：(1)点到直线的距离公式． (2)两条平行直线间的距离． (3)两条平行直线间的距离最值问题． 2．方法链：数形结合、分类讨论、参数法． 3．警示牌：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出点到直线的距离公式． [提示]　点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝． 2．试写出两条平行直线间的距离公式． [提示]　两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． 3．如何解决与距离有关的最值问题？ [提示]　(1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题． 课时分层作业(十九)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 一、选择题 1．(多选)下列直线与直线l：x－y＋2＝0平行，且与它的距离为的是(　　) A．x－y＋4＝0 B．x－y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＝0 AD　[设与直线l：x－y＋2＝0平行，且与它的距离为的直线方程为x－y＋c＝0(c≠2)， 则＝，解得c＝4或c＝0，故所求直线方程为x－y＋4＝0或x－y＝0． 故选AD．] 2．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距与另一条直线x＋2y＋3＝0在x轴上的截距相同，则点P(，2)到直线l的距离为(　　) A．2 B． C．1 D． C　[因为直线x＋2y＋3＝0在x轴上的截距为－3，故所求直线在y轴上的截距为－3， 又直线l的倾斜角为60°，即直线的斜率为，故所求直线的方程为y＝x－3， 则点P(，2)到直线l的距离为＝1．故选C．] 3．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则(　　) A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝ C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝ B　[∵直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，∴＝≠，解得a＝2， ∴直线方程ax－y＋4＝0化为2x－y＋4＝0， 两条平行直线2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0间的距离d＝＝， 故a＝2，d＝． 故选B．] 4．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，5)，则△ABC的面积为(　　) A．3 B． C． D． B　[|BC|＝＝， BC所在直线方程为＝，即3x－y－7＝0． ∴A(1，1)到直线BC的距离d＝＝， ∴S△ABC＝××＝． 故选B．] 5．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是(　　) A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 BCD　[对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，A正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线的距离相等，所以B错误；对于C，由A知，若d1＝d2＝0时，满足若d1＋d2＝0， 但此时ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上， 此时直线P1P2与直线l重合，所以C错误；对于D，若d1·d2≤0， 即(ax1＋by1＋c)×(ax2＋by2＋c)≤0，点P1，P2分别位于直线l的两侧或直线上， 所以直线P1P2与直线l相交或重合，所以D错误．故选BCD．] 二、填空题 6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直线l：y＝kx＋3．若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k＝________． 0或　[由题可知＝，解得k＝0或k＝．] 7．若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则的值为________． ±1　[由两直线平行得3a＋12＝0，解得a＝－4． 方程3x－2y－1＝0可化为6x－4y－2＝0，利用平行直线间的距离公式得＝＝4，所以＝＝±1．] 8．在y轴上有一点P(0，b)，使得以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形面积为6，则b的值为________． －5或7　[∵点A(1，2)，B(3，4)，∴|AB|＝＝2， ∵△ABP的面积为6，∴设点P到AB的距离为d，则·d＝d＝6，得d＝3， ∵直线AB的方程为＝，即x－y＋1＝0，∴d＝＝3， 解得b＝－5或b＝7．] 三、解答题 9．已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3)． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程； (2)求四边形ABCD的面积． [解]　(1)设与x＋y－1＝0平行的直线为x＋y＋C＝0(C≠－1)， ∴＝，∴5＝|6＋C|， ∴C＝－11，即边CD所在的直线方程为x＋y－11＝0． 设与3x－y＋4＝0平行的直线方程为3x－y＋D＝0(D≠4)， ∴＝，∴10＝|6＋D|， ∴D＝－16，此时直线BC边所在的直线方程为3x－y－16＝0， 故斜截式方程分别为y＝3x－16，y＝－x＋11． (2)联立可得x＝－，y＝， 即A， 联立可得x＝，y＝－， 即B， 所以|AB|＝5，又AB与CD的距离d＝＝5， 故平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝50． 10．(多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则(　　) A．a＝－3 B．b＝2 C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 ABD　[∵直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，∴解得b＝2，a＝－3， 故点P(1，2)，直线ax＋by＋3＝0可化为－3x＋2y＋3＝0， 故点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为＝，故选ABD．] 11．已知点A(－1，1)，B(3，5)，若A，B到直线l的距离都为2，则直线l的方程不可能为(　　) A．x－y＋2－2＝0 B．x－y＋2＋2＝0 C．y＝3 D．x－y－1＝0 D　[根据题意，|AB|＝＝4，＞2， 则A与B可能在直线l的同侧且与直线l平行，也可能直线l过线段AB中点． ①当直线l平行直线AB时，kAB＝＝1，可设直线l的方程为x－y＋b＝0， 依题意得：＝＝2，解得b＝2－2或b＝2＋2， 故直线l的方程为x－y＋2－2＝0或x－y＋2＋2＝0． ②当直线l过线段AB中点(1，3)时， 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1； 若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0， 依题意得：＝＝2，解得k＝0， 直线l的方程为y＝3．故选D．] 12．已知点(a，b)在线段3x＋4y－10＝0(－2≤x≤6)上，则a2＋b2－2的取值范围是(　　) A．[2，18] B．[2，38] C．[0，38] D．[0，2－2] B　[法一：如图所示，(a，b)是线段上的一点，且a2＋b2为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为(－2，4)，(6，－2)，到原点距离的平方分别为20，40， 由图知原点到线段的距离d＝＝2，则d2＝4， 综上，a2＋b2∈[4，40]，所以a2＋b2－2∈[2，38]． 法二：因为点(a，b)在线段3x＋4y－10＝0(－2≤x≤6)上，所以b＝－a＋， 令y＝a2＋b2－2＝a2＋－2＝a2－a＋(－2≤a≤6)，开口向上，对称轴a＝∈[－2，6]，当a＝时，y最小，且为2，当a＝6时，y最大，且为38． 所以a2＋b2－2∈[2，38]．故选B．] 13．在平面直角坐标系Oxy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________． 4　[设P，x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4．] 14．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1＜m＜4．当m为何值时，△ABC的面积S最大？ [解]　|AC|＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0． ∵点B(m，)到直线AC的距离d＝， ∴△ABC的面积S＝·d＝＝． ∵1＜m＜4，∴1＜＜2， ∴0＜≤，0＜S≤． ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 15．已知a＞0，直线l1：x＋ay＝2a＋4与y轴的交点为A，l2：2x＋ay＝2a＋8与x轴的交点为B，l1与l2的交点为C．当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线l1的距离是(　　) A． B． C． D．2 B　[如图， 直线l1：x－4＝－a(y－2)，l2：2(x－4)＝－a(y－2)都过点(4，2)， 即点C的坐标是(4，2)．在x＋ay＝2a＋4中，令x＝0，得y＝2＋，所以A， 同理可得B(4＋a，0)，所以S四边形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝×4＋(4＋a)×2＝8＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立． 所以当a＝2时，四边形OACB的面积取最小值． 此时，点B的坐标为(4＋2，0)，直线l1的方程是x＋2y－4－4＝0， 点B到直线l1的距离是＝．故选B．] 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $$