专题05 曲线轨迹的追寻：方程求解与解析（8大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题05 曲线轨迹的追寻：方程求解与解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：直接法 题型二：定义法 题型三：相关点法 题型四：交轨法 题型五：参数法 题型六：点差法 题型七：利用韦达定理求轨迹方程 题型八：四心的轨迹方程 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 一．直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 二．定义法求动点的轨迹方程 回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程． 三．相关点法求动点的轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 四．交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数． 五．参数方程法求动点的轨迹方程 动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 六．点差法求动点的轨迹方程 圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程． 直接法 1．在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 2．已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 定义法 1．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 相关点法 1．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 2．一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 4．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 交轨法 1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 4．图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的方程； (2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程． 参数法 1．方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程) 2．已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ． 4．已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ． 点差法 1．直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 2．已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ． 3．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 4．已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 利用韦达定理求轨迹方程 1．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程． 2．过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程. 3．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 4．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 四心的轨迹方程 1．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为 ． 2．已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 3．如图，在中，已知，，于，的垂心为，且，则点的轨迹方程为 . 4．点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是 . 1．当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 4．长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 5．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 6．在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 7．已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 8．已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 9．已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 10．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 11．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 12．已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形．    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点运动时，求点的轨迹方程． 1．已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 2．已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 3．已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 4．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 5．平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点．    (1)若直线的斜率为，求弦的长； (2)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，求直线交点的轨迹方程； (3)若的中点为，求面积的取值范围． 6．已知点，，和动点满足是，的等差中项． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 7．已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结. (1)求面积的最大值； (2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程. 8．已知两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹交于，两点，试探究直线与的交点是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由． 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 曲线轨迹的追寻：方程求解与解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：直接法 题型二：定义法 题型三：相关点法 题型四：交轨法 题型五：参数法 题型六：点差法 题型七：利用韦达定理求轨迹方程 题型八：四心的轨迹方程 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 一．直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 二．定义法求动点的轨迹方程 回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程． 三．相关点法求动点的轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 四．交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数． 五．参数方程法求动点的轨迹方程 动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 六．点差法求动点的轨迹方程 圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程． 直接法 1．在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 2．已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 4．已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动点 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：D 定义法 1．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动圆圆心为，半径为 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，又动圆过点，得， 即，则到两定点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为， 故选：C. 2．一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 4．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 如图所示， 由的方程得圆心，半径为， 因为，所以， 又，所以， 则，所以， 又， 所以， 又斜率不为，所以点不在轴上， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上， 则，，所以， 即点的轨迹方程为， 故答案为：，. 相关点法 1．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设点，点， 因为点在线段上，且有， 则①，②， 点在抛物线上， ， 将①②代入此方程，得， 化简得． 故答案为：． 2．一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动点坐标为，中点坐标为； 易知满足， 可得，因此， 代入可得. 故选：A 3．已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【解析】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 4．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 交轨法 1．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，. 因为，所以.   已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为.   因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 又因为，所以，即.   故选：D. 2．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 3．已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】联立两直线方程得, 解之得，消去参数得， 所以两直线交点的轨迹方程为：． 故答案为：. 4．图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的方程； (2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程． 【解析】（1）设抛物线的方程为． 因为，，所以点在抛物线上， 所以，故，所以抛物线的方程为． （2） 如图，由（1）知． 设直线：，，，， 由可得， 由，得，且，，． 分别过点作轴的垂线与过点的轴的垂线交于点,显然, 则有，同理有， 由可得， 整理得． 又时，，因，且，故有 即点的轨迹方程为，． 参数法 1．方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程) 【答案】 【解析】圆化为，它表示以为圆心，为半径的圆， 设圆心坐标为，于是得(t为参数)，消去t得：， 所以所求圆心轨迹方程是. 故答案为： 2．已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由题意可知， ， 所以，消去参数，得点的轨迹方程为． 故选：D． 3．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以中点坐标为， 即， 设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标， ，， ， 即当时，线段的中点轨迹方程为， 故答案为： 4．已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设 则， 由题意可得， 消参可得： 所以点的轨迹方程为． 故答案为： 点差法 1．直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 2．已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设这组平行直线的方程为， 联立方程组，整理得， 由可得， 则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为， 即这些点均在轨迹上， 即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是. 故答案为：． 3．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【答案】(或). 【解析】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则，即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为(或). 故答案为：(或) 4．已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 【答案】（） 【解析】设直线的方程为， 联立， 由于，所以， 设,则故 因此， 设， 由于，则， 故的轨迹方程为，（） 故答案为：（） 利用韦达定理求轨迹方程 1．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程． 【解析】（1）由题可知，，解得， ∴椭圆C的标准方程为． （2）由（1）知，，设，，则， 设直线的方程为， 由消去x并整理得， ∴， ∴，，且，∴， 设点，由三点共线得，即， 由三点共线得，即， ∴ ， 所以直线的斜率， ∴直线的方程为， 由解得，， ∴点的轨迹方程为． 2．过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程. 【解析】设，，， 由题意过点的直线的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，可得，， 且可得且， 所以由可得， 因为四边形是平行四边形，所以， 即，可得， 因为，而且，可得或， 所以的轨迹方程为（或）. 3．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 【解析】（1）设，BC中点为()，F(2，0)， 则有，， 两式相减，得 ， 即，        ① F(2，0)为三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直线BC的方程为. （2）由AB⊥AC得，所以 ② 设直线BC方程为，与椭圆方程联立消元，得， 所以，， ， 代入②式得，解得(舍)或， 所以，所以直线过定点， 设，则，即， 所以所求点D的轨迹方程是. 4．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 四心的轨迹方程 1．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程． 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则. 直线IF1与IF2的斜率之积：， 而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为 因此有. 再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴， 离心率e满足的椭圆， 其标准方程为. 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积： ， 其中r为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为： . 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 2．已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 3．如图，在中，已知，，于，的垂心为，且，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则， 则，，又， ，故． ，， 化简得，故点的轨迹方程为． 故答案为：. 4．点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，， 由，得， 即，， 因为为的重心， 所以，， 即，， 代入，得， 即， 因为，，三点不共线，所以， 则的重心的轨迹方程是. 故答案为：. 1．当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 设，因为M是线段PQ中点， 所以由中点坐标公式可得，，所以， 又因为P在圆上，所以， 于是可得M的轨迹方程为：， 故选：B. 2．设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 3．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 4．长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 5．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 6．在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 7．已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点、， 在双曲线中，，，则，则点， 由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在双曲线上，所以，，整理可得. 故答案为：. 8．已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 9．已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】联立两直线方程得, 解之得，消去参数得， 所以两直线交点的轨迹方程为：． 故答案为：. 10．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，因，则. 因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：. 故答案为：. 11．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 12．已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形．    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点运动时，求点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意：. 所以椭圆的标准方程为：，. （2）如图： 由，消去，得：. 因为直线与椭圆相切，所以，即. 设，则； . 又直线与垂直，所以：. 令，得：，即； 令，得：，即. 所以对，有， 因为，所以：. 所以点的轨迹方程为：. 1．已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 2．已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 【解析】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点， 所以圆的半径，所以圆的方程为，即. （2）设，因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即， 所以的轨迹是一个圆. 3．已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 4．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 5．平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点．    (1)若直线的斜率为，求弦的长； (2)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，求直线交点的轨迹方程； (3)若的中点为，求面积的取值范围． 【解析】（1）圆，圆心，半径. 若直线的斜率为，则直线斜率为， 则直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离. . 故弦的长为. （2）圆，圆心，半径. 由题意直线存在斜率，设直线，设， 联立消得，， 由韦达定理得，，. 则，即（） 又圆与轴交于， 则直线，直线， 联立两直线方程消得，， 将（）式代入得，， 解得. 故直线交点的轨迹方程为. （3）①当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积； ②当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心， 过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交， 故此时不存在； ③当直线的斜率存在，设为且时， 设直线，即. 则直线，即 由圆心到直线的距离， 得，解得． 所以圆心到直线的距离， 因为，即， 所以． 由，所以， 所以E点到直线的距离即点到直线的距离 ， 所以的面积． 令，则，所以， 因为，所以，所以， 综上所述，面积的取值范围是. 6．已知点，，和动点满足是，的等差中项． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 【解析】（1）由题意可得，，， 则， ， 又是，的等差中项， ， 整理得点的轨迹方程为． （2） 由（1）知， 又，平移公式为即， 代入曲线的方程得到曲线的方程为：， 即． 曲线的方程为． 如图由题意可设M，N所在的直线方程为， 由消去得， 令，，则， ，， 又为锐角，，即， ，又， ，得或． （3）当时，由（2）可得，对求导可得， 抛物线在点， ，处的切线的斜率分别为， ， 在点M，N处的切线方程分别为，， 由，解得交点的坐标． 满足即，点在定直线上． 7．已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结. (1)求面积的最大值； (2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程. 【解析】（1）由题知，，解得， 所以的方程为， 由，消并整理得， 由，解得， 设，则（※）， 又直线过点， 所以的面积， 将（※）代入，得， 设，则， 又，当且仅当，即，时取等号，所以， 故面积的最大值为（当且仅当即时取得）. （2）直线的方程为，令，得到， 所以，同理可得 故点的横坐标. 由（1）知（※）， 将（※）代入，得，故， 法1：又，所以直线的斜率，因为，所以， 设，则直线与的交点在以为直径的圆上. 以为直径的圆的方程是，即. 又点在椭圆内，所以，由， 消得，解得， 所以点的轨迹方程是. 法2：又，所以直线的方程为. 与联立，解得交点的坐标为. 因为，所以，即， 又由，两式相乘，得. 所以点的轨迹方程是. 8．已知两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹交于，两点，试探究直线与的交点是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由． 【解析】（1）设，由题意可知， 即，化简整理，得， 所以点的轨迹方程为. （2）由题意可设的方程为， 联立，消整理得， 设，，则，即， 由韦达定理有， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 解得 ， 解得， 所以存在定直线，其方程为． 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，设， 因为，所以， 解得：， 因为，所以 所以， 因为， 所以， 即. 故选：D 3．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，即， 又，则， 整理得， 即点M的轨迹方程为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$