专题07 绝对值的相关问题（化简求值、方程与最值）（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题07 绝对值的相关问题（化简求值、方程与最值） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值 题型二 绝对值化简（分类讨论型--） 题型三 采用零点分段讨论化简求值 题型四 含绝对值的方程（几何法与代数法） 题型五 两个绝对值的和的最值 题型六 两个绝对值的差的最值 题型七 多个绝对值的和的最值 题型八 系数不为“1”的绝对值的和差最值 题型九 型或型最值 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值 ⭐技巧积累与运用 已知点在数轴上的位置（即未知数的范围）的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 1．（24-25七年级上·成都市·期中）已知，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质．由，可得，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：，，，故选：B． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图所示已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简 【答案】/ 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：，，从而得出，，再根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，，∴，， ∴，故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西大同·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则_____，_____，_____，_____，化简_____ 【答案】；；；； 【分析】本题考查了数轴上点的特点，绝对值的性质，掌握数轴上点的位置确定式子的符号，绝对值的化简是解题的关键．根据数轴上点的位置可得，，由此判定式子的符号，结合绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：根据数轴上有理数、、位置可得，， ∴， ∴，，，， ∴， 故答案为：；；；； ． 绝对值化简（分类讨论型--） ⭐技巧积累与运用 当时，=1；当时，=-1。 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：，，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为，故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，分两种情况进行求解是关键． 根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵，∴，或，； 当，时，，当，时，， 综上，值为3或．故选：C． 3．（2024七年级上·重庆·专题练习）我们在讨论的结果时．就会对a进行分类讨论．当时， ；当时，；现在请利用这一思想解决下列问题： (1) ；(2) ；(3) 。 【答案】(1)1或．(2)2或0或(3)3或． 【分析】本题考查了绝对值化简，掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”是解题的关键．学会分类讨论思想是解题的关键．（1）分时和时，然后分别化简求值即可．（2）分四种情况讨论，当，时；当，时；当，时；当，时，然后分别化简求值即可．（3）分四种情况讨论，当，时；当，时；当，时；当，时，然后分别化简求值即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，，故答案为：1或． （2）解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，，故答案为：2或0或 （3）解：当，时，， 当，时， 当，时， 当，时， 故答案为：3或． 采用零点分段讨论化简求值 ⭐技巧积累与运用 零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)化简代数式；(2)化简代数式． 【答案】(1) 见解析 (2)见解析 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （1）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而化简代数式； (2)分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而化简代数式． 【详解】（1）当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 则=． （2）当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 则=． 【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山东·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式； 【答案】(1)原式 【分析】根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； 【详解】当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 含绝对值的方程（几何法与代数法） ⭐技巧积累与运用 代数法：同题型3；几何法：利用绝对值的几何意义求解。 1．（2024七年级上·成都市·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论；(2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 【答案】(1)，(2)或(3) 【分析】本题考查了含绝对值号的一元一次方程．（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）仿照例题，根据绝对值的定义解方程即可得到结论；（3）仿照例题，根据绝对值的意义即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，；当时，；故答案为：，； （2）解：原方程化为， 当时，方程可化为，解得：， 当时，方程可化为，解得：， 所以原方程的解是或； （3）解：∵方程有解，∴，故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数∴，是整数 ∵且， ∴①当时，∴， 当，，∴，， ∴； 当，，∴，， ∴； ②当时，，∴， 当，，∴，， ∴ 当，，∴，， ∴； ③当时，，∴，， 当，，∴，， ∴； 当，，∴，， ∴ 当，，∴，， ∴； 当，，∴，， ∴； 综上所述，的值为或．故答案为：或． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）若、为正整数，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程；根据题意得出，，结合、为正整数，即可求解． 【详解】解：∵表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∴表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∵，则或 ①当时，则， 当时，，解得：（舍去）当时，不合题意， ②当时，则，当时，，解得： 当时，，解得：（舍去） 由，当时，都成立，又∵为正整数，则， 综上所述，，故答案为：，． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ；②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 【答案】(1)，2，5(2)8或 (3)①5；②或6.5；③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义，数轴动点问题，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键．（1）根据绝对值的非负性可得答案；（2）分在3的左侧和右侧两种情况； （3）①由题意可得，化简绝对值可得答案；②分或两种情况解答； ③分点在的左侧和的右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：，，， ，，；故答案为：，2，5． （2）解：，，或；故答案为：8或． （3）解：①由题意得，，，故答案为：5； ②，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得；故答案为：或6.5； ③秒后，点表示的数是，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8． 两个绝对值的和的最值 ⭐技巧积累与运用 结论：在时，取得最小值为。 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和．请直接写出的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值，用分类的方法来求解是解题的关键． 分三种情况，分别计算即可得到答案． 【详解】法1：解：当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值为：，故答案为： ． 法2：当在-5的左边时，∵表示数3的点到表示数-5的点的距离为， ∴表示数的点到数-5的点的距离与表示数的点到数3的点的距离的和大于8；∴； 当在-5与3的中间时，表示数的点到表示数-5的点的距离与表示数的点到表示数3的点的距离的和等于8，∴； 当在3的右边时，表示数的点到表示数-5的点的距离与表示数的点到表示数3的点的距离的和大于8，∴； 综上所述，对于任意有理数，当在-5与3的中间时，有最小值，最小值为8． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上绝对值的几何意义是解题的关键，根据题意由数轴上表示的几何意义，求出的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵的最小值为3，∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是________；数轴上表示和的两点之间的距离是________； 【独立思考】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时的值为________． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1），（2）（3）或（4）有最小值，最小值为，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，绝对值的性质化简，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．（1）根据材料提示的计算方法进行即可；（2）根据材料提示的计算方法进行即可； （3）根据绝对值的性质，结合材料提示，表示的数与的数之间距离为，由此即可求解； （4）根据材料提示，表示的数到表示的数，表示的数之间的距离，由此分类讨论：当在的左边；当在与的中间；当在的左边；由此即可求解． 【详解】解：（1），，故答案为：，； （2），故答案为：； （3）根据题意可得，表示的数与的数之间距离为， ∴或；故答案为：或； （4）有最小值，最小值为，理由如下， 当在的左边时，∵表示数的点到表示数的点的距离为， ∴表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和大于，如图所示， ∴； 当在与的中间时，表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和等于，如图所示，∴； 当在的左边时，表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和大于，如图所示，∴； 综上所述，对于任意有理数，当在与的中间时，有最小值，最小值为． 两个绝对值的差的最值 ⭐技巧积累与运用 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴． 当点P在线段点上时，如图， ∴，∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴． 综上，，∴的最大值是3．故答案为：3． 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离；（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可；（2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离；故答案为：； （2）解：；故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：，解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：，解得：；故答案为：或； （4）解：，当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为，故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则，∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：；故答案为：7； 多个绝对值的和的最值 ⭐技巧积累与运用 ①当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ②当有四个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点之间； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为。 1．（23-24·重庆·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值。 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）-2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5，|x-2|+|x+3|+|x+5|的最小值为7，的最小值为50 【分析】问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且a=-3.5，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值；问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d； （2）根据（1）的结论即可求解；（3）根据绝对值的几何意义即可求解. 【详解】解：问题一：如图： ∴b=-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，-0，1，2，3，4， c=1，2，3，4或-8，-9，-10，-11； 问题二： （1）A、B两点的距离为d，则d=|m-n|； （2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离； （3）①∵动点C表示的数为x，∵|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离， |x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离， ∴当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值，∴|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5； ②∵|x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5 的点的距离， ∴当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7， ③|x-2|，|x-4|，|x-6|，…，|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，20 的点的距离， ∴当动点C在10和12之间时，18+14+…+2=50 有最小值50. 【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出计算式即可解决问题，体现了数形结合的优点． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)(2)①；②或(3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法．（1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解；（3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为，故答案为：； ②代数式的最小值是，，解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7；(2)(3)①，3；②1025156 【分析】本题考查数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案；（2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是，故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是，故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和；利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ，当数在和2之间时， ， 的最小值为3．故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数，即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 系数不为“1”的绝对值的和差最值 ⭐技巧积累与运用 系数不为“1”分为两种情况： ①绝对值系数不为“1”：例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 1．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____，②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；②(2)4(3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键．（1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题；（2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可；（3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或，解得或，故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4，，当时为0， 当时，取得最小值，其最小值为：，故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点，第8个分段点是2023，当时其和取得最小值， 即． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：(1)求_________；(2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解；（）由题意得，求出的值即可； （）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可；（）根据数轴上两点间的距离可得当时，最小；本题考查了数轴，绝对值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：由题意得：，解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴，∴，，，，，，，，共个整数，故答案为：； （4）解：根据题意得，当时，最小， ∴，故答案为：． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8(2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 型或型最值 ⭐技巧积累与运用 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，故当取最小值时，式子取最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性，是任意的有理数， ∴，∴的最小值是， ∴当取最小值时，式子有最大值，此时的值是，故选：A． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 3．（24-25·成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5； （4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若m满足方程，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值．熟练掌握绝对值意义是解题的关键． 由，根据绝对值意义可得，所以，即可化简求解． 【详解】解：∵∴∴ ∴ 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵，∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1．故选D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，之间距离小于3，，原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P．故选：C． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负以及化简绝对值, 由数轴可知：，，推出即可判断①；根据，，可得即可判断②；即可判断③；根据即可判断④；表示数轴上表示的点到表示数a，b的两点的距离之和，据此即可判断⑤； 【详解】解：由数轴可知：，， ∴，∴，故①正确； ∵，，∴∴，故②错误； ，故③错误； ∵，∴，故④正确； 当时，的最小值为．故⑤正确；故正确结论有3个．故选：B 5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：，，，， ，，， ，故答案为：1 6．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点是解答此题的关键．先根据为的中点与的位置可知，互为相反数，再由数轴可知：，即可得出由此即可作出解答． 【详解】解：∵在数轴中，为的中点，∴，∴，∴． 由数轴可知：，∴，∴． ∴原式．故答案为：． 7．（23-24·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】 4 －3 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去绝对值符号，判断出的最大值和最小值，即可得解． 【详解】解：①当时，，此时； ②当时，，此时； ③当时，，此时； 综上所述，的最大值为4，最小值为－3．故答案为：4，－3． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用：(1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________．(2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 【答案】(1)a；；或(2)6 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程．掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．（1）根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）根据a的取值范围，去掉绝对值再整理即可． 【详解】（1）解：，它在数轴上的意义表示a的点与的点之间的距离为1， ∵，∴，解得：或． （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴，，∴． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________．(2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值．熟练掌握数轴，化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴可知，，，然后求解作答即可； （2）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ∴，，，故答案为：，，； （2）解：． 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数：①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 【答案】(1)A，D(2)①；②；③数轴见详解， 【分析】本题考查了绝对值的意义，在数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）化简绝对值，得，即可作答．（2）①依题意，可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离；②可以看作和在数轴上对应的点之间的距离； ③依题意作出数轴，再运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：∵，∴，∴可能对应下面数轴上的点A或点D．故答案为：A，D； （2）解：依题意，①可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离；故答案为：； ②，∴可以看作和在数轴上对应的点之间的距离；故答案为：； ③∵，∴和3在数轴上对应的点之间的距离等于和在数轴上对应的点之间的距离 如图： 此时，∴． 11.（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料：数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题：（1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得：①；②． 【答案】（1）或；；（2）①；②； 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．（1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； 【详解】解：（1）∵，∴或，∴或； ∵，则表示到和的距离相等，∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵，∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵，∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意，∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； 12．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________；(2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3(2)或5(3)，或0，或1，或2(4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）；故答案为：3； （2）解：∵，∴，∴，或；故答案为：或5； （3）解：∵，即， 当 时，，∴； 当时，，此时，，或； 当时，，∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2：故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为．故答案为：6． 1．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时，，则时，有最大值； 当时，为定值； 当时，为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时，，则时，有最小值； 当时，； 当时，； 故当时，取有最小值，且最小值为；故答案为：，；，． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，根据题意求出调动后每个社团的相机都为10台，再用分别表示出，，，，再利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵台，∴调动后每个社团的相机都为10台， ∴，，， ∴，∴，∴，∴， ∴， 由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数的点到表示数0和数9的两个点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， ∵，∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，和能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴调动相机总台数的最小值为，故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作(1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现(2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用(3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离；求满足等式的的值；表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析(2)(3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．（1）结合题意，列式并化简绝对值即可；（2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为，故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，故答案：； 等式表示数轴上有理数到的距离是，即或，解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或(2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值；（2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值；（3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，（4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则；则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则，∴最大值为4；故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7；故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处，根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则，∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 5．（24-25七年级上·成都市·假期作业）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示．①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，，∴，即，∴， ∴点表示的数为或；故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，；∴点M表示的数为或故答案为：或 6．（23-24·浙江宁波·七年级校考期中）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________；(2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 【答案】(1)5；1或(2)4(3)2，5(4)最大值为7，最小值为 【分析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，与表示的点的距离为3的点表示的数为1或，由此可解； （2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值；（3）由（2）可知，当时，有最小值，又当时，有最小值，由此可解；（4）先根据已知式子得出，，，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，； ，表示x的点与表示的点的距离为3， ，，或． （2）解：可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和， 当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． （3）解：可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 即当时，的最小值是5． （4）解：，，， ， ，，，， ，，，的最大值为：，最小值为：， 即的最大值为7，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值与数轴相关知识，读懂题目所给信息，掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 绝对值的相关问题（化简求值、方程与最值） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值 题型二 绝对值化简（分类讨论型--） 题型三 采用零点分段讨论化简求值 题型四 含绝对值的方程（几何法与代数法） 题型五 两个绝对值的和的最值 题型六 两个绝对值的差的最值 题型七 多个绝对值的和的最值 题型八 系数不为“1”的绝对值的和差最值 题型九 型或型最值 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值 ⭐技巧积累与运用 已知点在数轴上的位置（即未知数的范围）的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 1．（24-25七年级上·成都市·期中）已知，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图所示已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简 . 3．（24-25七年级上·山西大同·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则_____，_____，_____，_____，化简_____ 绝对值化简（分类讨论型--） ⭐技巧积累与运用 当时，=1；当时，=-1。 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 3．（2024七年级上·重庆·专题练习）我们在讨论的结果时．就会对a进行分类讨论．当时， ；当时，；现在请利用这一思想解决下列问题： (1) ；(2) ；(3) 。 采用零点分段讨论化简求值 ⭐技巧积累与运用 零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)化简代数式；(2)化简代数式． 2．（24-25七年级上·山东·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式； 含绝对值的方程（几何法与代数法） ⭐技巧积累与运用 代数法：同题型3；几何法：利用绝对值的几何意义求解。 1．（2024七年级上·成都市·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论；(2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）若、为正整数，且，则 ， ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ；②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 两个绝对值的和的最值 ⭐技巧积累与运用 结论：在时，取得最小值为。 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和．请直接写出的最小值 ． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是________；数轴上表示和的两点之间的距离是________； 【独立思考】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时的值为________． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由． 两个绝对值的差的最值 ⭐技巧积累与运用 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离；（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； 多个绝对值的和的最值 ⭐技巧积累与运用 ①当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ②当有四个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点之间； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为。 1．（23-24·重庆·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值。 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 系数不为“1”的绝对值的和差最值 ⭐技巧积累与运用 系数不为“1”分为两种情况： ①绝对值系数不为“1”：例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 1．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____，②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：(1)求_________；(2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 型或型最值 ⭐技巧积累与运用 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 3．（24-25·成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5； （4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若m满足方程，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 7．（23-24·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用：(1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________．(2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________．(2)化简：． 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数：①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 11.（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料：数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题：（1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得：①；②． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________；(2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 1．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作(1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现(2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用(3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离；求满足等式的的值；表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 5．（24-25七年级上·成都市·假期作业）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示．①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 6．（23-24·浙江宁波·七年级校考期中）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________；(2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$