第6章复习课-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

第6章 图形的相似 复习课 知识梳理 1. 比例线段 (1)成比例线段:在四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么这四条线 段叫作成比例线段 (2)比例的基本性质:如果a:b-c:d,那么ad-bc;反过来,如果ad-bc(b:0,d去0) 那么a:b-c:d. (3)比例中项:在比例式a:b一b:c中,b叫作a和c的比例中项. 2. 黄金分割 (1)概念:如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC:AB= ,那么称线段AB被点C黄金分割,C叫作线段AB的黄金分割点. C# (2)黄金比:比值:5-1. 3. 相似三角形的性质与判定 (1)①基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 ②推论,平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所截得的三角形与原三角形 (2)判定:①两角法:两角分别 的两个三角形相似 ②三边法:三边成比例的两个三角形相似 ③两边及夹角法:两边成比例且 相等的两个三角形相似. (3)性质:①相似三角形的对应角 ,对应边 ②相似三角形(或多边形)周长的比等于 ③相似三角形对应线段(对应中线、角平分线、高)的比等于 ④相似三角形(或多边形)面积的比等于相似比的 4.位似 (1)定义:①相应顶点到同一点的距离之比相等 ②相应顶点所在的直线都经过同一点 (2)性质:①任意一组对应点到位似中心的距离之比等于 ②对应顶点所在的直线相交于一点. ③对应边平行(或在同一条直线上). ④具有相似图形的一切性质 5.投影 (1)平行投影:由 光线形成的投影是平行投影 (2)中心投影:由同一点( )发出的光线形成的投影叫作中心投影 《71 课时提优计划 作业本,数学 九年级下册 )> 题组:提优训练 同/考点一/相似三角形的判定与性质 1. 如图,在△ABC中,D是边AB上的点,下列条件中,不能判定△ADC和△ACB相似 ( 的是 ) A. 乙ACD-B B. ADC-/ACB C. AD:AC-CD:BC D. AD:AC-AC:AB (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且DE/BC,BE、CD相交于点O.若 △DOE的面积与△COB的面积的比为4:25,则AD:DB等于 C ) B.2:5 A.2:3 C.3:5 D. 4:25 3. 如图,在△ABC中,AB-9,AC-6,BC-12,点M在边AB上,AM-3,过点M作直线MN 与边AC交于点N,使截得的三角形与△ABC相似,则MN的长为 4. 如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边DC、BC上,AE DF,垂足为G. (1)求证:△ADEo△DCF. (2)若AB-6,BC-9,DE-4,求BF的长 同/考点二/位似图形 5. 如图,A'B'/AB,B'C'/BC,且OA':A'A-4:3,则△ABC与 是位似图形,位 似比为 ;△OAB与__是位似图形,位似比为__. 。 (第5题) (第6题) 6. 如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(2.5,5)、B(5,0),以原点为位似中心,将线段 AB缩小得到线段CD.若点D的坐标为(2,0),则点C的坐标为 172 第6章 图形的相似 同/考点三/相似三角形的综合应用 7. 如图,在△ABC中,AB=4,D是边AB上的一点(不与点A、B重合),过点D作DE/ BC,交AC于点E.连接DC,设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S' 8. 问题情境: 数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质,在矩形ABCD的 边CD上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在边AD上的点F处 实践探究: 问题解决: (3)如图3,延长EF,与 ABF的平分线交于点M,BM交AD于点N.当NF=AN+ FD时,的值. 图1 图2 图3 73 课时提优计划 作业本,数学 九年级下册 1>>>> 直击中考前沿 1.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、 丙、丁,其中是相似图形的为 ( , 乙 丙 丁 B. 乙和丁 A.甲和乙 C. 甲和丙 D. 甲和丁 2 界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,已知四边形 ABCD是黄金矩形(AB BC),点P是边AD上一点,则满足PB1PC的点P的个数为 C ) C.1 A.3 B.2 D.0 3.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比为1:4,则这两个三角形面积的比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 4. (2024·浙江)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△ABC是位似图形,位似中 心为点O.若点A(一3,1)的对应点为A(-6,2),则点B(一2,4)的对应点B的坐标为 ( -_ A.(-4,8) B.(8,-4) C.(-8,4) D.(4,-8) # _ (第4题) (第5题) 5.(2024·青海)如图,AC和BD相交于点O,请你添加一个条件 ,使得△AOB △COD. 6.(2024·河南)如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为OC的中点,EF/ AB交BC于点F.若AB一4,则EF的长为 #### (第6题) (第7题) 7. (2024·重庆)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE//CB,且 DE=DC,连接AE交BC于点F.若 CAB=CFA,CF-1,则BF 174 第6章 图形的相似 8.(2024·眉山)如图,菱形ABCD的边长为6, BAD-120{},过点D作DEIBC,交BC 的延长线于点E,连接AE分别交BD、CD于点F、G,则FG的长为 __## (第8题) (第9题) 9.(2024·苏州)如图,在△ABC中, ACB=90{},BC=5,AC=10,点D、E分别在边AC、 AB上,AE=/5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,连接CE、CF,若 △CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD的长为 10. (2024·盐城)如图,点C在以AB为直径的O上,过点C作O的切线1,过点A作 AD11,垂足为D,连接AC、BC (1)求证:△ABCo△ACD (2)若AC-5,CD-4,求⊙O的半径 11.(2024·湖北)在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿EF折 叠,使点A的对应点P落在边CD上,点B的对应点为G,PG交BC于点H (D)如图1.求证,DEPo/入CPH (2)如图2,当P为CD的中点,AB-2,AD=3时,求GH的长. (3)如图3,连接BG,当P、H分别为CD、BC的中点时,探究BG与AB的数量关系,并 说明理由. # G 图2 图1 图3 (754.(1)由题意得，AH⊥AC,.∠HAB=90°.∴△PGF是等边三角形，∴.∠GPF=60°.PF∥ ∠ABH=74°，.∠AHB=90°-∠ABH=90°- AB,.∠BEH=∠GPF=60°.在Rt△BEH中， 74°=16°.(2)选择方案一：，∠ABH是△BCH的 EH=BE·cos∠BEH=2cos60°=1，BH=BE· 一个外角，∠ABH=74°，∠ACH=37°，∴∠CHB= sin∠BEH=2sin60°=√3.在Rt△BCH中，CH= ∠ABH-∠ACH=74°-37°=37°，.∠ACH= CE十EH=5,由勾股定理得BC=√BH十CH= ∠CHB,∴.BH=BC=200m.在Rt△BAH中， √(W3)2+52=2√7.，∠AEG=∠BEH=60°， AH=BH·sin74°≈200×0.96=192(m),.河宽约 ∠AGE=∠PGF=60°，∠AEG=∠AGE=∠EAG= 为192m.选择方案二：设AB=xm.在Rt△ABH 60°，∴.△AEG是等边三角形，∴.AE=AG=EG=1, 中，∠ABH=74°，∴.AH=AB·tan74°≈3.5x(m). ∴.AG=PG=1,∴.∠PAG=∠APG=30°，.∠PAE 在Rt△ACH中，∠ACH-37°，·AC=,AH tan37≈ ∠EAG+∠PAG=90°，.AP=PE·cos30°=(PG+ &器-兰m.AB+AC=Bc,c+ 3x=311, 四m0-2x9-后发得-票 2 解得x=7.AH=3.5x≈192(m,河宽约为 192m.5.【感知】∠OMN+∠ONM=90°解析： ,O为AC的中点，N为边BC的中点，∴.ON∥AB, ON=2AB.:MN∥AC,即MN∥AO,四边形 复习课 AMNO是平行四边形，ON=AM,AM=号AB, 知识梳理 ∴.AM=BM,∴.ON=BM,∴.四边形BMON是平行 2.(1)BC:AC(2)0.6183.(1)②相似(2)①相 等③夹角(3)①相等成比例②相似比③相 四边形.，四边形ABCD是矩形，.∠B=90°，.四边 似比④平方4.(2)①相似比5.(1)平行 形BMON是矩形，∴∠MON-90°，∴.∠OMN+ (2)点光源 ∠ONM=90°.【应用】如图1，连接DN,并延长 题组提优训练 DN交AC于点F.,AB=BC=4,∠ABC=90°， 考点一：1.C解析：'∠A=∠A,∠ACD=∠B, ∴.AC=4√2，∠ACB=∠BAC=45°.AD、CE是 .△ADCC∽△ACB,故A选项不符合题意；：∠A Rt△ABC的中线，∴.AE=BE=2,BD=CD=2. ∠A,∠ADC=∠ACB,∴.△ADC∽△ACB,故B选 :M,N分别是AD,CE的中点，DN=2BE=1, 项不符合题意；∠A=∠A,AD:AC=CD:BC,不 DN∥AB,∴.∠FDC=∠ABC=90°，∠DFC=∠BAC= 能判定△ADC和△ACB相似，故C选项符合题意； 45°，∴.∠DFC=∠DCF=45°，∴.DF=DC=2,.DN= :∠A=∠A,AD:AC=AC:AB,∴.△ADC∽ △ACB,故D选项不符合题意.2.A解析：DE∥ NF,FC=2√2，∴.AF=AC-CF=22,∴.MN= BC,.△DOE∽△COB,.SAOE= 2AF=号X2巨=E.【拓展】如图2，连接PP,作 S△DB BH⊥CE交CE的延长线于点H.,BE=EP= =景：DE∥BC品-=是AD: CP=2,∴.P是CE的中点，CE=4.F为BC的中DB=2:3.3.4或6解析：①如图1，△AMN 点，PF∥AB,PF=2BE=1.G是EP的中点， △ABC÷A-,:AM=3,AB=9,BC=12. PG-7 EP-1.PG-PF./FGP -60', g=-号，MN=4:②如图2，△AMNo△ACB, 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 44 能：AM=3,AC=6,BC=12 12 4,自变量x的取值范围是0<x<4.8.(1)号 名MN=6综上所述，MN的长为4或6， 解析：根据翻折的性质得，BF=BC,∠FBE=∠CBE 15,∴.∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°.：四边形 ABCD是矩形，∴.BC∥AD,∴.∠AFB=∠FBC= M 30A-90BF-2AB,.BC-2AB 2. (2)将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在 图1 图2 4.(1)证明：，四边形ABCD为矩形，.∠ADC= 边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，EF=CE. ∠C=90°，∴.∠CDF+∠ADG=90°.：AE⊥DF, 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=CD, .∠AGD=90°，∴.∠DAG+∠ADG=90°，∴∠DAG ∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°， ∠CDF.又∠C=∠ADE,.△ADEC∽△DCF. ∠AFB=∠DEF,△FABO△EDF,E (2),四边形ABCD为矩形，∴.AD=BC=9,CD AF·DF=AB·DE.'CE=4,AF,FD= AB AB=6.,△ADE∽△DCF,∴.DE:CF=AD:DC, 12,AB=CD=DE+CE,.(4+DE)·DE=12,解 即4：CF-916,解得CF-号：BF-BC-CF- 得DE=2(负值已舍去)，∴，AB=4十2=6.在 9-8=19 Rt△EDF中，由勾股定理得DF=√EF一DE= 33 考点二：5.△A'B'C'7:4△OA'B'7:4 -2=25,AF=12=23,BC=AD= 25 6.(1,2)解析：，以原点为位似中心，将线段AB 缩小得到线段CD,点B的坐标为(5,0)，点D的坐标 A+DF=25+25=460-06停 为(2,0)，∴线段AB缩小到原来的名得到线段CD, (3)如图，过点N作NG⊥BF于点G.BM平分 ∠ABF,AD⊥AB,NG⊥BF,∴.AN=GN.,BN= 点A的坐标为(2.5,5)，点C的坐标为 BN,∴.Rt△ABN≌Rt△GBN(SAS),∴.BG=AB. (2.5×号5×号)即1,2. :∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA,.△NGF∽ 考点三7.Q)子 解析：DE∥BC,.△ADE∽ △BAF,证-器NF-AN+FD,AD-C BF=2NF,∴.AB=2GN.设AN=GN=a,FD=b,则 △ABC,SADE DE SAABC C .D是边AB的中点， NF=a+b,AB=2a,AD=BC=BF=2a+26,..FG= BF-BG=2b.在Rt△NFG中，由勾股定理得FG+ DE/BC,E是边AC的中点，DE=,。 'S△ABC GN=NF,整理得(2b)2+a2-(a+b)2,即b= 3a, 冬：△ADE与△CED等底同商，iSe=Sam, ∴BC=2a+2X号a=10a,AB_2a-3 3a=3a…BC10=5 S41 (2),AB=4,AD=x, DE/BC,△ADEO△ABC,÷SA=(A0 AB 0能-铝--00 G 16 4x.AB= 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 45 直击中考前沿 .∠ADE=180°-∠DEC=180°-90°=90°.在 1.D解析：观察可知，甲和丁对应角相等，对应边成比Rt△ADE中，由勾股定理得AE=√DE+AD= 例，且形状相同，大小不同，∴是相似图形的为甲和丁. √(35)2+62=3√7.AD∥BE,.△AFD 2.D解析：PB⊥PC,∴点P4 在以BC为直径的圆上，如图所 △EFB,能-能-号-号：AF=号AE=号× 示.四边形ABCD是黄金矩B 形，∴.令AB=CD=(W5-1)a, 37-g.:AD/CE,△AGD0△BC∴2- AD=BC=2a,∴.⊙M的半径为 2-号=2，AG=号AE=号×37=27， CE 3 a.:(W5-1)a-a=(W5-2)a>0,∴.边AD与⊙M 相离，∴.边AD上满足PB⊥PC的点P的个数为O. :.FG-AG-AF-2/7-9. 3.D解析：若两个相似三角形的相似比为1：4，则 析：：AE=5AD,∴.可设AD=x,AE=5x 这两个三角形面积的比是1：16.4.A解析： :△ADE沿DE翻折得到△FDE,∴.DF=AD=x, ,△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O, ∠ADE=∠FDE.如图，过点E作EH⊥AC于点 点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),∴△ABC与 H,设EF与AC相交于点M,则∠AHE=∠ACB= △A'B'C的相似比为1：2.点B的坐标为（一2， 4),点B的对应点B的坐标为（一2×2,4×2），即 90,又∠A=∠A,∴△AHEO△ACB,.E票- BC (一4,8).5.∠A=∠C(答案不唯一)解析： ,∠A=∠C,∠AOB=∠COD,∴.△AOB△COD. 是怎：CB=5,CA=10,AB=aC+C (答案不唯一，如∠B=∠D,AB∥CD也可以)6.1 √10+5=55，：.E理=Ag=5g,EH=x, 5 解析：：四边形ABCD是平行四边形，.OC= 105√5 AH=2x,DH=AH-AD=2x-x=x=EH, 2AC.:E为0C的中点，CE=20C=是AC ∴，△EHD是等腰直角三角形，∴∠HDE=∠HED= EF∥AB,∴△CF∽△CAB,需-怎，甲 45°，则FD=AD=DH=EH,∠FDE=∠ADE=135°， ∴.∠FDM=∠FDE-∠HDE=135°-45°=90°. 零-EF=1.1.3解折：CD-CA,DE/ ∠FDM=∠EHM=90°， CB,AF=EF,CF是△ADE的中位线，DE= 在△FDM和△EHM中，{∠DMF-∠HME, 2CF=2.,DE=DC,∴.AC=2CF=2.,∠CAB= FD-EH, ∠CFA,∠ACF=∠BCA,∴.△CAFC∽△CBA, △FDM≌△EHM(AAS),DM=MH=Z, .AC:BC=CF:AC,..2 BC=1:2,..BC=4, 六BF=BC-FC=3.&解析：菱形ABCD CM=AC-AD-DM=I0-号，∴Sam=Sae+ 的边长为6，∠BAD=120°，.AD=BC=CD=6, Saoe=2CM·EH+2CM·DF=2(10-2x): AD∥BC,∠BCD=120°，∴.∠DCE=60°.，DE⊥ xX2=(10-z）·x,S=Sac-Sae BC,.∠DEC=90°.在Rt△DCE中，，∠CDE= 90-∠DCE=90'-60°=30，CE=2CD=}× 2AC·BC-AC·EH=号×10X5-号×10· 2 x=25-5x.,△CEF的面积是△BEC的面积的 6=3.由勾股定理得DE=√CD一CE=√6-3= 33,.BE=BC+CE=6+3=9.AD /BE, 2倍，(10-2小z=2(25-5x),整理得3x- 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) *46 40x+100=0,解得五=9,4=10（含去），即AD= 角形.P为CD的中点，设DP=CP=y,∴.AB= PG=CD=2y.:H为边BC的中点，∴BH=CH. 10 3 ,'∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠PCH,.△MBH≌ APCH(ASA),..BM=CP=y,HM=HP,..MP= MA=MB+AB=3y,.HP=号PM=名，在 "D Rt△PCH中，由勾股定理得CH=√PH一PC= D 5 (第9题) (第10题) y,BC=2CH=5y,·AD=BC=5.在 10.(1)证明：如图，连接OC.”1是⊙O的切线， Rt△APD中，由勾股定理得AP=√AD+PD= .OC⊥1.，AD⊥l,.OC∥AD,.∠CAD=∠ACO= 后，BG/AP,△MBGn△MP,÷g0-惯- ∠CAB.AB为⊙O的直径，∴.∠ACB=∠D=90, .△ABC∽△ACD.(2)在Rt△ADC中，由勾股定 斋G-能-登-6，即AB= 6 理得AD=√AC-CD=√5-4=3.由(1)知， 33 △ABC△ACD,是-S即=号AB= √6BG. 空00的半径为曾11.(1)证明：如图1，四 边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ ∠3=90°.由翻折的性质得，∠EPH=∠A=90°， .∠1+∠2=90°，∠3=∠2，.△DEPn△CPH. 图1 图2 (2),四边形ABCD是矩形，.CD=AB=2,BC 第7章锐角三角函数 AD=3,∠A=∠D=∠C=90°.，P为CD的中点， 7.1正切 ∴DP=CP=2CD=2X2=1,设EP=AE=x,则 第1课时正切(1) ED=AD-AE=3-x.在Rt△EDP中，由勾股定理 课堂演练 得EP2=ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1,解得x= 1B解析：由题意得，anB-合瓷- .2.D解 号∴EP=AE=x=号ED=AD-AE=8- 3 析：在Rt△ABC中，各边的长都缩小为原来的子， 李由(D)知，△DEPO△CPH“肥-铝，即 ∴.∠A对边与∠A邻边的比值不变，∠A的正切值 不变.3.C解析：，BC⊥AN,.∠ABC+∠A= 于=P,PH=是.由折叠的性质知，PG= 3 3 90°.CD⊥AM,∴∠ABC+∠DCB=90°，∴.∠A= AB=2,GH=PG-PH=2-号-是 (3)如图 ∠DCB,amA=an∠DCB-8B4.A解析： 2,延长AB、PG交于点M,连接AP.由翻折的性质 过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则在 得，AP⊥EF,BG⊥直线EF,EA=EP,∠EPM= R△ADC中，ian∠AcB=品-号-号5.C解 ∠EAM,.BG∥AP.'EA=EP,∴.∠EAP= 析：，AD是△ABC的高，.AD⊥BC.,BD=2CD= ∠EPA,∴·∠EAM-∠EAP=∠EPM-∠EPA,即 ∠BAP=∠GPA,.MA=MP,即△MAP是等腰三 6CD=3在R△ADC中，mC=品=2AD= 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·47m