专题02 直线与圆的交织：综合应用题型精析（9大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题02 直线与圆的交织：综合应用题型精析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一：直线与圆的位置关系的判断 题型二：弦长与面积问题 题型三：切线问题、切线长问题 题型四：切点弦问题 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型六：直线与圆的定点定值问题 题型七：圆与圆的位置关系 题型八：两圆的公共弦问题 题型九：两圆的公切线问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 直线与圆的位置关系的判断 1．若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 4．设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 5．直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 弦长与面积问题 1．直线被圆截得的弦长为 . 2．直线被圆截得的弦长为，则 . 3．设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 4．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 5．已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 切线问题、切线长问题 1．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 2．圆C：在点处的切线方程为 . 3．已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程 . 4．若过点作直线与圆：相切，则切线长为 ，直线的方程为 . 5．已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为 . 切点弦问题 1．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 2．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 3．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 4．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 5．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 圆上的点到直线距离个数问题 1．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 3．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 4．已知直线，圆，以下说法不正确的是（    ） A．与圆不一定存在公共点 B．圆心到的最大距离为 C．当与圆相交时， D．当时，圆上有三个点到的距离为 5．圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 直线与圆的定点定值问题 1．如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. (1)求证：为定值； (2)当时，求直线的方程和直线的方程. 2．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 3．已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 4．已知圆：，过点的直线与圆相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与圆交于，两点，在线段上，设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 5．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2．在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为(    ). A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 5．已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 两圆的公共弦问题 1．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（   ） A． B． C．2 D．4 4．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 两圆的公切线问题 1．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 2．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 4．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 1．（多选题）已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若为圆上一点，则的最小值为 C．若与圆相交于，两点，则 D．过上一点向圆作切线，切点为，则 2．（多选题）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 3．（多选题）已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线与圆相离 C．过圆心且与直线垂直的直线方程为 D．到直线的距离等于的点只有1个 4．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 5．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 6．已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 7．已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（多选题）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 2．（多选题）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 3．（多选题）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 4．（多选题）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．直线过定点 5．（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线围成的图形面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 7．已知圆经过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若经过点的直线与直线垂直，且与圆相交于两点，求． 8．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 9．已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 10．已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 11．材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 12．古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的交织：综合应用题型精析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一：直线与圆的位置关系的判断 题型二：弦长与面积问题 题型三：切线问题、切线长问题 题型四：切点弦问题 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型六：直线与圆的定点定值问题 题型七：圆与圆的位置关系 题型八：两圆的公共弦问题 题型九：两圆的公切线问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 直线与圆的位置关系的判断 1．若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解析】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 【答案】A 【解析】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 4．设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【解析】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 5．直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解析】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交. 故选：A. 弦长与面积问题 1．直线被圆截得的弦长为 . 【答案】2 【解析】由题意，圆的圆心到直线的距离， 故弦长为. 故答案为：2 2．直线被圆截得的弦长为，则 . 【答案】0或10 【解析】易知圆的圆心为，半径为 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得； 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：0或10 3．设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 【答案】 【解析】的圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 所以，因为， 解得. 故答案为： 4．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 5．已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 切线问题、切线长问题 1．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为， 所以圆在点P处的切线方程为，可得. 故答案为： 2．圆C：在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】依题意，点在圆C：上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 3．已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程 . 【答案】或（只写一条即可）． 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为5， 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 过且斜率存在的直线设其方程为，即， 由，解得， 直线方程为，即， 故答案为：或（只写一条即可）． 4．若过点作直线与圆：相切，则切线长为 ，直线的方程为 . 【答案】 3 或 【解析】如图： 过点作圆的一条切线，切点为，连接，，则三角形为直角三角形，且，而，， 所以，则. 依题意斜率存在，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为， 整理得，解得或， 故直线的方程为或. 故答案为：3，或 5．已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为 . 【答案】或 【解析】联立可解得，即； 设圆心，圆的半径为， 可得，解得或， 当时，可得，， 可得， 因此四边形的面积为； 当时，可得，， 可得； 所以四边形的面积为. 故答案为：或 切点弦问题 1．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 2．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 3．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 4．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 5．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 圆上的点到直线距离个数问题 1．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图， 由此可得圆的半径， 故选：B 2．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【答案】C 【解析】如图所示： 设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 3．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【解析】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 4．已知直线，圆，以下说法不正确的是（    ） A．与圆不一定存在公共点 B．圆心到的最大距离为 C．当与圆相交时， D．当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】C 【解析】如图： 直线即，所以直线过定点. 圆的圆心为，半径为：1. 对A：如图所示，直线与圆不一定有公共点，故A选项内容正确； 对B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， \且，故B选项内容正确； 对C：若直线与圆相交，则：，故C选项内容错误； 对D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，所以圆上到直线的距离等于的点有三个， 故D选项内容正确. 故选：C 5．圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆C：的圆心，半径R 点C到直线的距离为 圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则 故选：B 直线与圆的定点定值问题 1．如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. (1)求证：为定值； (2)当时，求直线的方程和直线的方程. 【解析】（1） 如图，当直线斜率不存在时，直线的斜率为0. 在方程中，令得，令得， ∴，∴. 当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，. 当直线斜率存在且不为0时，设，则， 由得，， 设，则， ∴，∴， ∴， ∴， 综上得，为定值，定值为. （2）由圆周角定理得，. 由得，， ∵，∴，为等腰直角三角形， ∴，∴. ∵，∴. 由（1）得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意. 取中点，连接，则，故三点共线， ∵，∴. 易知斜率大于0， 由得， 由得或， ∴. 方程为，即，方程为，即. 综上得，， 2．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 3．已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为. 4．已知圆：，过点的直线与圆相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与圆交于，两点，在线段上，设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【解析】（1）因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为. （2）证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，因为， 则，则，则由图知，， 则,直线方程为， 直线方程为，令得，即， 则 ， 所以，又，所以与轴平行. 5．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【解析】（1）根据题意，、， 设、，则，， 由于，所以， 则，得，故， 又为圆上，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. （2）设，则， 直线方程是，代入，得，即， 直线方程是，代入，得，即， 所以 ， 所以为定值. 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】由得圆心坐标为，半径， 由得圆心坐标为，半径， ∴，，，∴，即两圆相交． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】与原点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外切，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条， 故选：C. 3．圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于， 所以两圆相交. 故选：B. 4．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为(    ). A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】圆：的圆心为，半径为， 圆方程可化为， 圆的圆心为，半径为，圆心距， 因为，，， 所以两个圆的位置关系是相交. 故选：C. 5．已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】由题意可得，圆的圆心为，半径为5. 因为圆关于直线对称， 又的圆心为， 所以，解得， 所以圆，圆心为，半径为2， 则两圆圆心距， 因为， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 两圆的公共弦问题 1．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，① ，② ①②得. 故选：B. 2．已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为. 故选:A. 3．若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以. 故选：B. 4．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 圆可化为，其圆心，半径， ，即圆与圆相交， 将两圆方程相减得它们的公共弦所在的直线方程：， 点到直线的距离， 所以所求公共弦长为. 故选：B. 5．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【答案】D 【解析】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 两圆的公切线问题 1．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【答案】B 【解析】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 2．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 3．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 4．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 1．（多选题）已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若为圆上一点，则的最小值为 C．若与圆相交于，两点，则 D．过上一点向圆作切线，切点为，则 【答案】ABD 【解析】对于选项A，若，则，得，故选项A正确． 对于选项B，设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，故选项B正确． 对于选项C，因为，化简可得， 令，解得，故过定点， 当时，取最小值，则，故选项C不正确． 对于选项D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而当时，取得最小值为圆心到直线的距离， 故当时，取得最小值为，故选项D正确， 故选：ABD. 2．（多选题）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误； 对于B，直线的方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为， C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误. 故选：BC 3．（多选题）已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线与圆相离 C．过圆心且与直线垂直的直线方程为 D．到直线的距离等于的点只有1个 【答案】BD 【解析】对于A，圆：的标准方程为， 所以圆心，半径， 由圆的半径为2，则，解得，故A错误； 对于B，因为直线方程为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为直线垂直的直线斜率为， 则过圆心且与直线垂直的直线方程为， 即，故C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离， 由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确. 故选：BD. 4．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 【解析】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离 因此，解得， 所以实数的值为. 6．已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【解析】（1）设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 7．已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由点在直线上，且，设线段的中点， 由，得点在圆上， 圆的圆心，半径，而点在圆上， 即圆与圆有公共点，则，解得， 而，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 1．（多选题）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】BD 【解析】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径， 设，则，解得， 所以的最大值是4，故B正确； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形， 所以 ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 选项D：设点为直线上一点， 则以，为直径的圆的方程为，即：， 两圆的方程相减得到直线方程为， 即，令，解得， 所以直线过定点，故D正确． 故选：BD． 2．（多选题）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ACD 【解析】A选项，将点关于直线的对称点代入曲线得， 即点满足曲线C方程，故关于直线对称，A正确； B选项，当时，满足，故原点在上， 当得， 故对应的图形为圆心为，半径为，的圆在第一象限的半圆部分， 此圆弧的长度为， 同理可得，对应的图形如下： 故曲线的周长为，B错误； C选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故C正确； D选项，其中圆心与，直线与图形交于点， 则即为曲线上的两点之间距离最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确. 故选：ACD 3．（多选题）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 4．（多选题）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．直线过定点 【答案】BCD 【解析】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由可得， 即直线AB过定点，故D正确； 故选：BCD 5．（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线围成的图形面积为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成， 令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧， 所以曲线的图形如下图示， 由图知，显然对称轴只有轴，A错； 曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对； 由上分析，易知的最大值为，C对； 由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知， 当过的直线与圆右上方相切时斜率最小， 令直线为且，联立圆得， 所以， 则，整理得， 所以，可得（正值舍），D对. 故选：BCD 6．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 【解析】（1）设， 由，得， 化简得，即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； （2）由题意知，与圆相切，为切点， 则，则四点共圆 在以为直径的圆上， ，又， 则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，①， 又在上，②， 由两圆方程作差即②-①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标点. 7．已知圆经过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若经过点的直线与直线垂直，且与圆相交于两点，求． 【解析】（1）设圆的标准方程为：， 则，解得， 故； （2）因为l与垂直，即其斜率为， 由点斜式知， 由（1）知圆心，半径， 则M到l的距离为， 所以. 8．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【解析】（1）由题意， 在圆中， ，圆心,半径, 由,可得点在圆外, 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为， 即, 则圆心到直线的距离为,解得：, ∴的方程为,即, 当过点的直线斜率不存在时, 的方程为,此时与圆相切, ∴的方程为或； 综上，的方程为：或 （2）由题意及（1）得， 设点到直线的距离为，中点为， ， 在中，， 由几何知识得，, ， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 9．已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【解析】（1）由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； （2）如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 10．已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【解析】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 11．材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【解析】（1）由. 所以“共点”的坐标为： （2）圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. （3）由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 12．古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）设，根据，得， 即，所以的方程为. （2）根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$