专题04 圆锥曲线离心率精通指南：十大经典模型解析（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题04 圆锥曲线离心率精通指南：十大经典模型解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 题型二：利用圆锥曲线的定义 题型三：利用正弦定理 题型四：利用余弦定理 题型五：椭圆与双曲线共焦点 题型六：利用最大顶角 题型七：中点弦问题 题型八：已知焦点三角形两底角 题型九：坐标法 题型十：四心问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 1．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 利用圆锥曲线的定义 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与的左､右两支分别交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 利用正弦定理 1．（2024·江西赣州·二模）已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点.设，，且，则C的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 2．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 利用余弦定理 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 3.（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 椭圆与双曲线共焦点 1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，的一个公共点恰在以为直径的圆上，，分别为椭圆与双曲线的离心率，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 3．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 4．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 利用最大顶角 1．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 中点弦问题 1．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________. 已知焦点三角形两底角 1．已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （       ） A． B． C． D．2 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 坐标法 1．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 2．已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P是C上一点，直线PA，PB的斜率分别为和3，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 四心问题 1．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 2．设I、G分别是的内心和重心，若于F，则以B、C为焦点且过点A的椭圆的离心率是 ． 3．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 4．双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 5．已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 . 1．如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（    ）    A．椭圆的长轴长等于2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 2．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．如图，双曲线的左､右焦点分别为是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 4．已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．6 D． 8．（多选题）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（    ） A． B．的离心率为 C． D． 9．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 . 13．已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为 . 1．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作的一条渐近线的垂线，直线与交于，两点，若的面积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，.则的取值范围是 . 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 7．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 8．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为 . 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为 ． 11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 12．已知圆，圆，若椭圆与圆和圆都只有两个公共点，则椭圆E的离心率为 ． 13．如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 . 1．若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于 ． 6．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率 ． 7．已知是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为 8．如图所示，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线离心率精通指南：十大经典模型解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 题型二：利用圆锥曲线的定义 题型三：利用正弦定理 题型四：利用余弦定理 题型五：椭圆与双曲线共焦点 题型六：利用最大顶角 题型七：中点弦问题 题型八：已知焦点三角形两底角 题型九：坐标法 题型十：四心问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 1．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得. 故选：D. 2．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以. 故选：C. 3．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 易知， 所以，又为等边三角形，所以， 可得，所以离心率为. 故选：A 4．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设是母线的中点，是中线，又也是中线， 设，则是重心，设的中点为，即椭圆的中心， 设，，，作平面平面，，，． 对椭圆如图建系，，故，， 根据平行四边形的性质，知，， 于是，，． 故选：C. 利用圆锥曲线的定义 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与的左､右两支分别交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 设的平分线与直线PQ交于点D，如图， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故选：A 2．如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 4．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 利用正弦定理 1．（2024·江西赣州·二模）已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点.设，，且，则C的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【解析】 因为， 且，可知， 两边同时乘以可得， 即， 设， 因为M为C左支上一点，由双曲线定义可得， 在中，由正弦定理可得， 即， 又 ， 所以离心率， 故选：D. 2．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设O为坐标原点，由，得，又两渐近线关于轴对称，所以 直线斜率为，则， 令，则， 中，由正弦定理得， 即，解得，故， 所以的离心率 故选：B 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设在第二象限，则在等腰中，，如下图所示： 设，则为锐角． 外接圆周长为， 则其半径为，由正弦定理可得， 因此， 设点坐标为，则， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得， 整理得， 所以离心率， 故选：C． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】/ 【解析】如图，设，则，因，故， 由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 利用余弦定理 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 2．已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】如图，因为分别为双曲线的右焦点和左顶点，所以． 因为，所以． 因为直线的斜率为，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以．因为， 所以，所以. 故选：A． 3.（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 4.（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由于， 且， 设，则，故， 可得，故， 在与中由余弦定理可得： ，解得，故， 又根据题意可知，故离心率 故选：B. 椭圆与双曲线共焦点 1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，的一个公共点恰在以为直径的圆上，，分别为椭圆与双曲线的离心率，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，焦距为，设点在第一象限， 所以，，两个式子平方和为， 且点在以为直径的圆上，所以， 所以，，即， 所以. 故选：A 2．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】C 【解析】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中， ∵，∴，即，即，故A选项错误； 由正弦定理可知在中，∴， ∵，∴， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ∴， 即，∴， ∴，B选项错误； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误. 故选：C. 3．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【解析】对于A, 双曲线的渐近线为,故A错误， 对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故， 设椭圆方程，则，故，又， 故，则椭圆方程为，C错误， 离心率为，B错误， 对于D，, 故， 故的面积为,故D正确， 故选：D 4．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 利用最大顶角 1．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 当P在上顶点时，最大，此时， 则， 所以， 即，， 所以， 则， 所以椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A 2．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当椭圆的焦点在轴上时， 由椭圆的对称性得,所以， 所以， 所以椭圆的离心率， 因为椭圆的离心率. 当椭圆的焦点在轴上时，同理可得. 综合得. 故选：B 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，， ∵存在、使得，∴，即， 又，∴， 连接，则，∴． 又是上任意一点，则， 又，∴， 则由，得， 又，∴． 故选：C． 4．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为， ， 点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆， 又点总在椭圆内部， 该圆内含于椭圆，即，， ，． 故选：A． 中点弦问题 1．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 2．已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，记直线交轴于点，连接，如下图： 设，，， 则，. 又，所以， 所以，即. 由图易知与圆分别相切于，则， 由，则，即， 由直线与圆，则， 在中，则， 由，则，可得， 所以直线CD的斜率， 因为，所以直线AB的斜率，即. 又直线OD的斜率为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 3．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 4．（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________. 【答案】 【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，， ∴ 当且仅当取等号， ∵直线l上存在点P满足 ∴ 即， ∴，即， 所以， 故椭圆离心率的最大值为. 故答案为：. 已知焦点三角形两底角 1．已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以； 故选：B 2．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （       ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】∵，则离心率，则排除A； 记，，， 则， 由正弦定理结合分比定理可知：， 则， 所以B，C是正确的，D不正确. 故选：BC. 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 故选：D. 坐标法 1．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得，又， 则，， 于是，即，有，而，所以. 故选：C 2．已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 3．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 4．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P是C上一点，直线PA，PB的斜率分别为和3，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，因为，，所以，则C的离心率. 故选：D. 四心问题 1．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 【答案】 / 【解析】由题意得椭圆与双曲线的焦距为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义：，由椭圆的定义：， 可得：，又，由余弦定理得： ， 即 整理得：，所以：； 则，当且仅当时取等号. 为的内心，所以为的角平分线， 由于,则有， 同理：，所以，所以， 即， 因为，所以，故， 为的内心，三点共线， 即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， ， ，即为的角平分线. ， 即为的角平分线， 则有，又， 所以，即， 因为，所以，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：， 2．设I、G分别是的内心和重心，若于F，则以B、C为焦点且过点A的椭圆的离心率是 ． 【答案】 【解析】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点， 设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，， 因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而 所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，化简得,解得. 故答案为：. 3．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【解析】不妨取的中点. 因为的重心为，且在中线上， 所以. 由中点弦结论知，， ， ， 因为， 所以， ， 又由，可得的外心为的中点， 于是由中点弦结论知，又， 所以，即. 由得，， 解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：2. 4．双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 【答案】 【解析】 设，，. 由于，故的外心就是线段的中点，即. 而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故，. 所以. 而都在上，，故，. 这就得到. 而的斜率为，故，所以. 由又可以得到，，. 从而，，. 故，所以. 这就得到，所以离心率. 故答案为：. 5．已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 . 【答案】 【解析】如图，设的垂心为，则有, 不妨设,则， 因为在渐近线上，所以， 直线与交于，两点， 所以，解得， 所以 又因为, 所以， 整理得，，所以， 故答案为: . 1．如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（    ）    A．椭圆的长轴长等于2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】C 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面所成锐二面角得，解得，故A不正确； 显然，则，离心率，故B不正确； 当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D不正确. 故选：C 2．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为， 因为直线斜率为过原点且与双曲线无交点， 所以 ，所以即，故即， 又，所以. 故选：C. 3．如图，双曲线的左､右焦点分别为是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，设、与的内切圆切于点、， 由对称性可得内切圆圆心在轴上， 结合切线长定理可得，， 则，即， 故，则， 因此，. 故选：D. 4．已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 5．、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设关于渐近线的对称点为， 易知，且为中点，， 则，， 所以，， 则， 即一条渐近线倾斜角为， 所以斜率， 所以离心率， 故选：A. 6．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 7．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】 因为的垂直平分线经过点， 则， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为 由椭圆定义得，所以， 由双曲线定义知：，所以， 故，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 8．（多选题）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（    ） A． B．的离心率为 C． D． 【答案】ACD 【解析】 由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上， 所以，即，A对； 若，则，B错； ，C对； 设的内切圆半径为，则，，， ， ，即，D对. 故选：ACD 9．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 10．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【解析】双曲线的方程为，一条渐近线方程为， 设，可得， 若，则，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，，， 在中， ， 即有， 所以，即， 则. 故答案为：. 13．已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为 . 【答案】/0.25 【解析】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上， 令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为， 因此，所以的离心率为. 故答案为： 1．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作的一条渐近线的垂线，直线与交于，两点，若的面积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，，则， 不妨取一条渐近线为，则， 联立方程，解得， 由对称性可知：点为线段的中点， 则， 即，解得， 则， 所以的离心率为.   故选：B. 2．已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 3．如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示： 根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D 5．已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，.则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示. 根据椭圆的定义以及双曲线的定义可得解得 显然，可得.又，且， 其中，， 可得，所以. 令，则.因为，所以. 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以可得. 设函数，而函数在区间上单调递增， 所以，所以.即的取值范围是. 故答案为：. 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则， ， ， ，即，又， 椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 7．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【解析】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 8．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】双曲线：的右顶点为，一条渐近线，即， ∵圆的半径为，且， ∴， ∴到渐近线的距离为， 又到渐近线的距离， ∴，则，则的离心率为． 故答案为：． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【解析】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】设，，． 所以，所以，所以， 令，，则，，， 解得，则，． 在中，由，得， 则，所以双曲线的离心率为． 故答案为：． 11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为： 12．已知圆，圆，若椭圆与圆和圆都只有两个公共点，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】∵椭圆与圆和圆都只有两个公共点， 由椭圆对称性可知，交点必为椭圆顶点， 故，∴， ∴椭圆的方程为， ∴，∴，所以离心率为． 故答案为： 13．如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【解析】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 . 【答案】 【解析】由椭圆为“黄金椭圆”， 则离心率， 可得， 所以； 如图所示，连接， 设的内切圆半径为， 则， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：； 1．若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离为，而该点到左准线的距离为． 故由条件知． 整理得． 综合，解得． 故选：B 2．椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的准线方程为，所以，又因为， 则由，得到，所以，又因为，所以， 故， 故选：D. 3．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点， 因为线段的中垂线过点，所以，即， 化简得， 因为，所以，即， 所以， 又因为，所以，解得. 故选：D. 4．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，得，则, 又在椭圆中通径的长度为，， 故, 即, 解得 故选：C 5．已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于 ． 【答案】/0.5 【解析】因为椭圆方程为，所以，右准线为，如图， 又因为，，垂足为，所以， 因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 6．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的方程为，设两切点为，由圆的性质和题意可知： ，且，因此是直角三角形， 故， 故答案为： 7．已知是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为 【答案】 【解析】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，＝(xD－c，yD)， ∵＝2，∴ ∴ ∴＋＝1，即e2＝，∴e＝． 8．如图所示，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 【答案】/0.5 【解析】令AB=4m（），则AC=3m，BC=5m，则，∴，，∴，∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$