专题6 平面向量（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题6 平面向量 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 6 考点一：向量的概念 6 考点二：向量加减法运算律的应用 9 考点三：利用已知向量表示其他向量 10 考点四：向量的线性运算 12 考点五：共线向量定理及其应用 13 考点六：平面向量坐标的基本运算 13 考点七：向量平行(共线)的判定 15 考点八：三点共线的判定及应用 17 考点九：平面向量的数量积运算 18 考点十：利用数量积解决求模问题 19 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 21 【考纲要求】 （1）平面向量的概念：了解平面向量、有向线段及有关概念；了解单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义. （2）平面向量的线性运算：理解向量的加法、减法和数乘运算及几何意义. （3）平面向量的内积：了解平面向量内积的概念、运算和性质；了解平面向量内积的几何应用. （4）平面向量的坐标表示：理解向量的坐标表示；了解向量坐标的加法、减法、数乘和内积运算；初步掌握向量坐标运算的几何应用. 【考向预测】 1. 向量相等、向量共线； 2. 向量加减法运算律的应用； 3. 向量的线性运算； 4. 共线向量定理及其应用； 5. 向量平行(共线)的判定； 6. 三点共线的判定及应用． 7. 平面向量数量积的运算； 8. 利用数量积解决求模问题； 9. 两向量的夹角和垂直问题． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 5. 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 6. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 7. 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 8. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 9. 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 10. 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 11. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念 例1．下列命题正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．零向量的方向是任意的，且长度为0 D．向量的长度与向量的长度相等 【答案】BCD 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来，故A错误； 根据向量的概念，可知B、C、D正确. 故选：BCD. 例2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形． 在图中所示的向量中： (1)分别写出与、相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)向量与是否相等？ [解析]　(1)＝，＝. (2)与共线的向量为：，，. (3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||. (4)不相等． 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量 C．若，则 D．零向量与任意向量平行 【答案】D 【分析】根据向量的有关概念确定正确选项. 【详解】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确. 故选：D 2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为( ) A．1    B．2    C．3    D．4 【答案】B 【解析】略 14．给出下列命题 ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据向量的基本概念和性质，逐个分析判断即可得解. 【详解】∵向量的长度与向量的长度相等即||＝||， ∴①正确， ∵向量与向量平行，则两个向量的方向相同或相反或是有一个是零向量， ∴②不正确， ∵两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ∴③正确， ∵两个有共同终点的向量，不一定是共线向量，这样的向量起点可以在以终点为圆心的圆上． ④不正确， ∵向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D不一定在同一条直线上 ⑤不正确， ∵有向线段可以表示向量，向量可以用有向线段来表示， ∴⑥不正确 ∴有四个假命题， 故答案为：4 考点二：向量加减法运算律的应用 例1．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为(　C　) A． B． C． D． 【解析】　原式＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝. 例2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　B　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 【解析】　连接CF，取CF中点O，连接OE，CE. 则＋＋＝(＋)＋＝. 【变式探究】1．向量加法运算： 【答案】 【分析】利用向量加法的运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2． ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算法则直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 考点三：利用已知向量表示其他向量 例1．如图，已知正方形ABCD的边长为1，，则 ； ． 【答案】 2 2 【分析】根据平面向量加法和减法的运算法则，结合正方形的性质、勾股定理进行求解即可. 【详解】因为正方形ABCD的边长为1，所以， ， ， 故答案为：； 【变式探究】1. 如图，矩形与矩形全等，且. (1)用向量与表示； (2)用向量与表示. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答. 【详解】（1）. （2）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为矩形与矩形全等，且， 所以，则，，，，， 所以，，，故. 考点四：向量的线性运算 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果； （2）按照向量的运算法则依次计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 【变式探究】1. 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）. （2） . （3）. 考点五：共线向量定理及其应用 例1．已知空间向量，，，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得. 【详解】 ， 由于，且， 所以，则， 所以，则， 所以. 故答案为： 【方法归纳】　用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 【变式探究】1. 已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 【答案】 【分析】由向量共线定理、平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】由题意设，而、是两个不平行的向量， 从而，解得. 故答案为：. 考点六：平面向量坐标的基本运算 例1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. [解析]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 例2．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解. 【详解】（1） （2）设，由可得，所以 ，故 【方法归纳】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 【变式探究】1. 平面向量，，则 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题知，，， 则. 故答案为： 故选：A. 2．已知，满足的点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意设，由平面向量的坐标运算，直接代入计算即可得到结果. 【详解】设，因为，则， 且，则，解得，所以 故答案为: 考点七：向量平行(共线)的判定 例1．已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． 【详解】（1）因为，，，． （2），， ，， 解得． 例2．若，，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设并写出坐标，根据及线性关系的坐标表示列方程求坐标值. 【详解】令，则，而， 所以，即，可得， 所以. 故答案为： 【方法归纳】1．向量共线的判定方法 2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 【变式探究】1．已知向量，若，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标表示，列式计算作答. 【详解】向量，且，则， 所以. 故选：D 2．已知向量，与共线，则 ． 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由题知，， 因为与共线， 所以， 解得. 故答案为： 考点八：三点共线的判定及应用 例1．已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线； [解析]证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)， ∴＝，即与共线. 又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线. 例2．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，设，根据平面向量基本定理得到方程组，即可得解. 【详解】∵向量与不共线，∴向量与可以作为平面内的一组基底， ∵，，三点共线，∴，设，即， 则，∴. 故选C. 【方法归纳】　若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断. 【变式探究】1．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ [解析]若A，B，C三点共线，则，共线， ∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0． 解得k＝－2或k＝11． 考点九：平面向量的数量积运算 例1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). 【解析】　①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－)＝－3． ②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5． ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34． 例2. 已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积得坐标公式计算即可. 【详解】，解得. 故选：C. 【变式探究】1．已知，与的夹角是120°，则等于（　　） A．3 B．－3 C．－3 D．3 【答案】B 【分析】由数量积的定义计算即可得出答案. 【详解】因为，与的夹角是120°， 由数量积的定义，得. 故选：B 2．已知，，则（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将表示为，展开后将坐标代入即可得出结果. 【详解】解：因为，， 所以 . 故选：C 考点十：利用数量积解决求模问题 例1．已知向量与的夹角为，，，则 . 【答案】6 【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解. 【详解】由题意，向量与的夹角为，，， 所以， 所以, 故答案为：6 例2．已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再利用坐标求出模即可 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 例3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【解析】　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. 【方法归纳】　1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. 2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 【变式探究】1．已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据求得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 2. 已知向量，，那么 . 【答案】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为： 3．已知向量，，且，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求. 【详解】，，，解得， ， ， . 故选：A. 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 例1．若向量满足，则向量夹角的大小为（    ） A． B．. C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式展开可求得，再结合向量夹角的范围即得夹角. 【详解】由两边取平方，， 设向量夹角为，则有，则， 因，故. 故选：D. 例2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设向量与夹角为， 向量，， 则，，， 则． 故选：A． 例3．已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接求解. 【详解】由， 可得， 解得， 故答案为：. 【方法归纳】　1．求向量夹角的方法 求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解. 2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝. 3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数. 【变式探究】1. 已知，，则，夹角的大小为 ． 【答案】120° 【分析】根据向量的夹角公式计算求解即可. 【详解】设，夹角为，， 故答案为：120°. 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】先求出，根据即可求解. 【详解】， 由，可得， 即，解得. 故选：D. 3．，依照下列条件求实数k的值. (1)与相互平行； (2)与相互垂直. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为与相互平行， 所以，解得； （2）解：因为， 所以，， 因为与相互垂直， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 平面向量 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 6 考点一：向量的概念 6 考点二：向量加减法运算律的应用 9 考点三：利用已知向量表示其他向量 10 考点四：向量的线性运算 12 考点五：共线向量定理及其应用 13 考点六：平面向量坐标的基本运算 13 考点七：向量平行(共线)的判定 15 考点八：三点共线的判定及应用 17 考点九：平面向量的数量积运算 18 考点十：利用数量积解决求模问题 19 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 21 【考纲要求】 （1）平面向量的概念：了解平面向量、有向线段及有关概念；了解单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义. （2）平面向量的线性运算：理解向量的加法、减法和数乘运算及几何意义. （3）平面向量的内积：了解平面向量内积的概念、运算和性质；了解平面向量内积的几何应用. （4）平面向量的坐标表示：理解向量的坐标表示；了解向量坐标的加法、减法、数乘和内积运算；初步掌握向量坐标运算的几何应用. 【考向预测】 1. 向量相等、向量共线； 2. 向量加减法运算律的应用； 3. 向量的线性运算； 4. 共线向量定理及其应用； 5. 向量平行(共线)的判定； 6. 三点共线的判定及应用． 7. 平面向量数量积的运算； 8. 利用数量积解决求模问题； 9. 两向量的夹角和垂直问题． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 5. 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 6. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 7. 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 8. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 9. 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 10. 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 11. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念 例1．下列命题正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．零向量的方向是任意的，且长度为0 D．向量的长度与向量的长度相等 例2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形． 在图中所示的向量中： (1)分别写出与、相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量 C．若，则 D．零向量与任意向量平行 2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为( ) A．1    B．2    C．3    D．4 14．给出下列命题 ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为 ． 考点二：向量加减法运算律的应用 例1．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为(　C　) A． B． C． D． 例2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　B　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 【变式探究】1．向量加法运算： 2． ． 考点三：利用已知向量表示其他向量 例1．如图，已知正方形ABCD的边长为1，，则 ； ． 【变式探究】1. 如图，矩形与矩形全等，且. (1)用向量与表示； (2)用向量与表示. 【答案】(1) (2) 考点四：向量的线性运算 例1．计算： (1)； (2)． 【变式探究】1. 化简： (1)； (2)； (3)． 考点五：共线向量定理及其应用 例1．已知空间向量，，，且，，若，则 ． 【方法归纳】　用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 【变式探究】1. 已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 考点六：平面向量坐标的基本运算 例1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 例2．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【方法归纳】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 【变式探究】1. 平面向量，，则 . 2．已知，满足的点C的坐标是 ． 考点七：向量平行(共线)的判定 例1．已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． 例2．若，，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为 . 【方法归纳】1．向量共线的判定方法 2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 【变式探究】1．已知向量，若，则（    ） A． B． C．6 D． 2．已知向量，与共线，则 ． 考点八：三点共线的判定及应用 例1．已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线； 例2．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　） A． B．2 C．1 D． 【方法归纳】　若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断. 【变式探究】1．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 考点九：平面向量的数量积运算 例1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). 例2. 已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【变式探究】1．已知，与的夹角是120°，则等于（　　） A．3 B．－3 C．－3 D．3 2．已知，，则（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 考点十：利用数量积解决求模问题 例1．已知向量与的夹角为，，，则 . 例2．已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 例3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【方法归纳】　1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. 2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 【变式探究】1．已知向量与的夹角为，，，则 ． 2. 已知向量，，那么 . 3．已知向量，，且，则（    ） A．5 B． C．10 D． 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 例1．若向量满足，则向量夹角的大小为（    ） A． B．. C． D． 例2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 例3．已知向量，，若，则 . 【方法归纳】　1．求向量夹角的方法 求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解. 2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝. 3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数. 【变式探究】1. 已知，，则，夹角的大小为 ． 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 3．，依照下列条件求实数k的值. (1)与相互平行； (2)与相互垂直. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$